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Aufgabe

Dritte kosmische Geschwindigkeit

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Als dritte kosmische Geschwindigkeit \(v_3\) bezeichnet man diejenige Geschwindigkeit, mit der ein Körper von der Erdoberfläche abgeschossen werden müsste, um antriebslos die Gravitationsfelder von Sonne und Erde zu verlassen. Die Bahngeschwindigkeit der Erde um die Sonne soll dabei berücksichtigt werden, die Eigenrotation der Erde und mögliche Swing-By-Manöver am Mond oder anderen Planeten dagegen nicht.

Das Verlassen der Gravitationsfelder von Sonne und Erde allein durch diese Anfangsgeschwindigkeit ist allerdings praktisch wegen des hohen Luftwiderstands an der Erdoberfläche nicht möglich.

Da hier drei Körper, d.h. z.B. eine Sonde, die Erde und die Sonne mit ihren gegenseitigen Kräften ein Rolle spielen, handelt es sich um ein sogenanntes Dreikörper-Problem. Dreikörper-Probleme können (genau wie Probleme mit noch mehr Körpern) prinzipiell nicht exakt gelöst werden. Wir zeigen dir mit dieser Aufgabe aber einen Weg auf, wie man die dritte kosmische Geschwindigkeit näherungsweise bestimmen kann.

Rechne dabei mit folgenden Werten:

  • Gravitationskonstante: \(G={6{,}674 \cdot {{10}^{-11}}\,\frac{{{{\rm{m}}^3}}}{{{\rm{kg}}\,{{\rm{s}}^2}}}}\)
  • Masse der Sonne: \(M_{\rm{S}}= 1{,}989 \cdot 10^{30}\,\rm{kg}\)
  • Masse der Erde: \(M_{\rm{E}}= 5{,}972 \cdot 10^{24}\,\rm{kg}\)
  • mittlerer Abstand der Erde zur Sonne: \(a = 1{,}496 \cdot {{10}^{11}}\,{\rm{m}}\)
  • mittlerer Erdradius: \(r_{\rm{E}} = 6{,}371 \cdot 10^3\,\rm{m}\)

Im ersten Schritt untersuchen wir in einem Bezugssystem, in dem die Sonne im Ursprung ruht, wie wir den Körper aus dem Gravitationsfeld der Sonne entfernen können. Das Gravitationsfeld der Erde wird dabei nicht berücksichtigt. Bei den Rechnungen müssen wir beachten, dass sich der Körper zusammen mit der Erde um die Sonne bewegt.

a)
Abb. 1 Skizze zu den Aufgabenteilen a) - c)

Gib einen Term an für die Gesamtenergie \(E_{\rm{ges,S}}\) des Körpers, wenn er sich (im Gravitationsfeld der Sonne) gemeinsam mit der Erde auf einer stabilen Kreisbahn befindet.

b)

Leite einen Term her für die kinetische Energie \(E_{\rm{kin,B}}\) des Körpers auf dieser stabilen Kreisbahn.

Leite einen Term her für den Betrag \(v_{\rm{B}}\) der Bahngeschwindigkeit des Körpers auf dieser stabilen Kreisbahn.

Berechne den Wert dieses Geschwindigkeitsbetrags.

c)

Leite einen Term her für die kinetische Energie \(\Delta E'_{\rm{kin,S}}\), die der Körper zusätzlich zur bereits vorhandenen kinetischen Energie benötigt, um das Gravitationsfeld der Sonne zu verlassen.

Leite einen Term her für den Betrag \(\Delta v_{\rm{S}}\) der zusätzlichen Geschwindigkeit, die der Körper benötigt, um das Gravitationsfeld der Sonne zu verlassen. Vorsicht!

Berechne den Wert dieses Geschwindigkeitsbetrags.

Im zweiten Schritt wechseln wir - wie auch für alle folgenden Aufgabenteile - in ein Bezugssystem, in dem die Erde im Koordinatenursprung ruht, und beschreiben die bisherigen Ergebnisse in diesem Bezugssystem.

d)

Leite einen Term her für die kinetische Energie \(\Delta E_{\rm{kin,S}}\), die der Körper im neuen Bezugssytem benötigt, um die zusätzliche Geschwindigkeit \(\Delta v_{\rm{S}}\) zu erreichen.

Im dritten Schritt untersuchen wir im neuen Bezugssystem, wie wir den Körper aus dem Gravitationsfeld der Erde entfernen können. Das Gravitationsfeld der Sonne wird dabei nicht berücksichtigt.

e)
Abb. 2 Skizze zu den Aufgabenteilen e) und f)

Gib einen Term an für die potenzielle Energie \(E_{\rm{pot,E}}\) des Körpers, wenn er sich (im Gravitationsfeld der Erde) auf der Erdoberfläche befindet.

f)

Leite einen Term her für die kinetische Energie \(\Delta E_{\rm{kin,E}}\), die der Körper benötigt, um das Gravitationsfeld der Erde zu verlassen.

Leite einen Term her für den Betrag \(v_{\rm{E}}\) der Geschwindigkeit, mit der der Körper von der Erde abgeschossen werden müsste, um das Gravitationsfeld der Erde zu verlassen.

Berechne den Wert dieses Geschwindigkeitsbetrags.

Im vierten Schritt fassen wir die bisherigen Ergebnisse zusammen und berechnen so die dritte kosmische Geschwindigkeit.

g)

Leite einen Term her für die gesamte kinetische Energie \(\Delta E_{\rm{kin,S,E}}\), die der Körper benötigt, um die Gravitationsfelder von Sonne und Erde zu verlassen.

Berechne hieraus den Betrag \(v_3\) der dritten kosmischen Geschwindigkeit, mit der der Körper von der Erde abgeschossen werden müsste, um die Gravitationsfelder von Sonne und Erde zu verlassen.

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a)
Abb. 3 Skizze zur Lösung der Aufgabenteile a) - c)

Bezeichnen wir mit \(m\) die Masse des Körpers, so gilt (vgl. Grundwissen und Abb. 3) für die Gesamtenergie des Körpers (im Gravitationsfeld der Sonne) auf der Erde\[{E_{{\rm{ges,S}}}}\left( a \right) =  - \frac{1}{2} \cdot G \cdot \frac{m \cdot {M_{\rm{S}}}}{a}\quad(1)\]

b)

Der Körper befindet sich (zusammen mit der Erde) auf einer stabilen Kreisbahn um die Sonne. Somit gilt (vgl. Grundwissen) für die kinetische Energie des Körpers \({E_{{\rm{kin}}}} = \frac{1}{2} \cdot \left| {{E_{{\rm{pot}}}}} \right|\) und damit\[{E_{{\rm{kin,B}}}}\left( a \right) = \frac{1}{2} \cdot G \cdot \frac{m \cdot {M_{\rm{S}}}}{a} \quad (2)\]Hieraus ergibt sich für die Bahngeschwindigkeit \(v_{\rm{B}}\)\[\frac{1}{2} \cdot m \cdot v_{\rm{B}}^2 = \frac{1}{2} \cdot G \cdot \frac{m \cdot {M_{\rm{S}}}}{a} \Rightarrow {v_{\rm{B}}} = \sqrt {G \cdot \frac{{M_{\rm{S}}}}{a}} \quad (3)\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{v_{\rm{B}}} = \sqrt {6{,}674 \cdot {{10}^{-11}}\,\frac{{{{\rm{m}}^3}}}{{{\rm{kg}}\,{{\rm{s}}^2}}} \cdot \frac{1{,}989 \cdot {{10}^{30}}\,{\rm{kg}}}{{1{,}496 \cdot {{10}^{11}}\,{\rm{m}}}}}  = 2{,}979 \cdot {10^4}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 29{,}79\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{s}}}\]

c)

Um das Gravitationsfeld der Sonne verlassen zu können benötigt der Körper die zusätzliche kinetische Energie \(\Delta E'_{\rm{kin,S}}\). Für diese zusätzliche kinetische Energie gilt (vgl. Abb. 3)\[\Delta E'_{\rm{kin,S}} =  - E_{\rm{ges,S}}\left( a \right) = \frac{1}{2} \cdot G \cdot \frac{m \cdot {M_{\rm{S}}}}{a}\]Nun hat der Körper aufgrund der Bahngeschwindigkeit \(v_{\rm{B}}\) bereits die kinetische Energie \(E_{\rm{kin,B}}\). Durch die zusätzliche Geschwindigkeit \(\Delta v_{\rm{S}}\) erhält der Körper somit die zusätzliche kinetische Energie\[\Delta E'_{\rm{kin,S}} = E_{\rm{kin}}\left( {v_{\rm{B}} + \Delta v_{\rm{S}}} \right) - E_{\rm{kin}}\left( {{v_{\rm{B}}}} \right) = {E_{{\rm{kin}}}}\left( {{v_{\rm{B}}} + \Delta {v_{\rm{S}}}} \right) - E_{\rm{kin,B}}\]Damit ergibt sich\[\Delta E{'_{{\rm{kin,S}}}} = {E_{{\rm{kin}}}}\left( {{v_{\rm{B}}} + \Delta {v_{\rm{S}}}} \right) - {E_{{\rm{kin,B}}}} =  - {E_{{\rm{ges}}{\rm{,S}}}}\left( a \right)\]und\[{E_{{\rm{kin}}}}\left( {{v_{\rm{B}}} + \Delta {v_{\rm{S}}}} \right) =  - {E_{{\rm{ges,S}}}}\left( a \right) + {E_{{\rm{kin,B}}}}\underbrace  = _{(1),(2)}\frac{1}{2} \cdot G \cdot \frac{{m \cdot {M_{\rm{S}}}}}{a} + \frac{1}{2} \cdot G \cdot \frac{{m \cdot {M_{\rm{S}}}}}{a} = G \cdot \frac{{m \cdot {M_{\rm{S}}}}}{a}\]Nutzt man nun den bekannten Term für die kinetische Energie, so erhält man\[\begin{eqnarray}\frac{1}{2} \cdot m \cdot {\left( {{v_{\rm{B}}} + \Delta {v_{\rm{S}}}} \right)^2} &=& G \cdot \frac{{m \cdot {M_{\rm{S}}}}}{a}\\{\left( {{v_{\rm{B}}} + \Delta {v_{\rm{S}}}} \right)^2} &=& 2 \cdot G \cdot \frac{{{M_{\rm{S}}}}}{a}\\{v_{\rm{B}}} + \Delta {v_{\rm{S}}} &=& \sqrt {2 \cdot G \cdot \frac{{{M_{\rm{S}}}}}{a}} \\\Delta {v_{\rm{S}}} &=& \sqrt {2 \cdot G \cdot \frac{{{M_{\rm{S}}}}}{a}}  - {v_B}\underbrace  = _{(3)}\sqrt {2 \cdot G \cdot \frac{{{M_{\rm{S}}}}}{a}}  - \sqrt {G \cdot \frac{{{M_{\rm{S}}}}}{a}}  = \left( {\sqrt 2  - 1} \right) \cdot \sqrt {G \cdot \frac{{{M_{\rm{S}}}}}{a}}\quad(4)\end{eqnarray}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[\Delta {v_{\rm{S}}} = \left( {\sqrt 2  - 1} \right) \cdot \sqrt {6{,}674 \cdot {{10}^{-11}}\,\frac{{{{\rm{m}}^3}}}{{{\rm{kg}}\,{{\rm{s}}^2}}} \cdot \frac{1{,}989 \cdot {{10}^{30}}\,{\rm{kg}}}{{1{,}496 \cdot {{10}^{11}}\,{\rm{m}}}}} = 1{,}234 \cdot {10^4}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 12{,}34\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{s}}}\]

d)

Wenn wir zum neuen Bezugssystem wechseln, müssen wir den Körper dort ebenfalls mit der Geschwindigkeit \(\Delta {v_{\rm{S}}}\) abschießen. Hierzu ist die kinetische Energie \(\Delta E_{\rm{kin,S}}\) nötig. Für diese gilt nun\[\Delta {E_{{\rm{kin}}{\rm{,S}}}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot \Delta {v_{\rm{S}}}^2\underbrace  = _{(4)}\frac{1}{2} \cdot m \cdot {\left( {\left( {\sqrt 2  - 1} \right) \cdot \sqrt {G \cdot \frac{{{M_{\rm{S}}}}}{a}} } \right)^2} = \frac{1}{2} \cdot {\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^2} \cdot G \cdot \frac{m \cdot {{M_{\rm{S}}}}}{a} \quad(5)\]

e)
Abb. 4 Skizze zur Lösung der Aufgabenteile e) und f)

Mit \(m\) für die Masse des Körpers gilt (vgl. Grundwissen und Abb. 4) für die potenzielle Energie des Körpers (im Gravitationsfeld der Erde) auf der Erde\[{E_{{\rm{pot,E}}}}\left( r_{\rm{E}} \right) = - \frac{1}{2} \cdot G \cdot \frac{m \cdot {M_{\rm{E}}}}{r_{\rm{E}}}\]

f)

Um das Gravitationsfeld der Erde zu verlassen benötigt der Körper die kinetische Energie \(\Delta {E_{{\rm{kin,E}}}}\). Für diese kinetische Energie gilt (vgl. Abb. 4) \[\Delta {E_{{\rm{kin,E}}}} = - {E_{{\rm{pot,E}}}}\left( r_{\rm{E}} \right) = G \cdot \frac{m \cdot {M_{\rm{E}}}}{r_{\rm{E}}} \quad (6)\]Diese kinetische Energie besitzt der Körper aufgrund der Geschwindigkeit \(v_{\rm{E}}\). Für diese gilt dann mit dem bekannten Term für die kinetische Energie\[\begin{eqnarray}\frac{1}{2} \cdot m \cdot {v_{\rm{E}}}^2 &=& G \cdot \frac{m \cdot {M_{\rm{E}}}}{{{r_{\rm{E}}}}}\\{v_{\rm{E}}} &=& \sqrt {2 \cdot G \cdot \frac{{M_{\rm{E}}}}{{{r_{\rm{E}}}}}} \end{eqnarray}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{v_{\rm{E}}} = \sqrt {2 \cdot 6{,}674 \cdot {{10}^{-11}}\,\frac{{{{\rm{m}}^3}}}{{{\rm{kg}}\,{{\rm{s}}^2}}} \cdot \frac{5{,}972 \cdot {{10}^{24}}\,{\rm{kg}}}{{6{,}371 \cdot {{10}^{6}}\,{\rm{m}}}}}= 1{,}119 \cdot {10^4}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 11{,}19\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{s}}}\]

g)

Die gesamte kinetische Energie \(\Delta E_{\rm{kin,S,E}}\), die der Körper benötigt, um die Gravitationsfelder von Sonne und Erde zu verlassen, berechnen wir nun näherungsweise als Summe aus den beiden kinetischen Energien \(\Delta E_{\rm{kin,S}}\) und \(\Delta E_{\rm{kin,E}}\). Wir erhalten mit \((5)\) und \((6)\)\[\begin{eqnarray}{\Delta E_{{\rm{kin,S}}{\rm{,E}}}} &\approx& \Delta {E_{{\rm{kin,S}}}} + \Delta {E_{{\rm{kin,E}}}}\\\frac{1}{2} \cdot m \cdot {v_{\rm{3}}}^2 &\approx& \frac{1}{2} \cdot {\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^2} \cdot G \cdot \frac{m \cdot {M_{\rm{S}}}}{a} + G \cdot \frac{m \cdot {M_{\rm{E}}}}{{{r_{\rm{E}}}}}\\{v_{\rm{3}}} &\approx& \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}^2} \cdot G \cdot \frac{{M_{\rm{S}}}}{a} + 2 \cdot G \cdot \frac{{M_{\rm{E}}}}{{{r_{\rm{E}}}}}} \end{eqnarray}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{v_{\rm{3}}} \approx \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}^2} \cdot 6{,}674 \cdot {{10}^{ - 11}}\,\frac{{{{\rm{m}}^3}}}{{{\rm{kg}}\,{{\rm{s}}^2}}} \cdot \frac{1{,}989 \cdot {{10}^{30}}\,{\rm{kg}}}{{1{,}496 \cdot {{10}^{11}}\,{\rm{m}}}} + 2 \cdot 6{,}674 \cdot {{10}^{-11}}\,\frac{{{{\rm{m}}^3}}}{{{\rm{kg}}\,{{\rm{s}}^2}}} \cdot \frac{5{,}972 \cdot {{10}^{24}}\,{\rm{kg}}}{{6{,}371 \cdot {{10}^3}\,{\rm{m}}}}} = 1{,}667 \cdot {10^4}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 16{,}67 \, \frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{s}}}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Gravitationsgesetz und -feld