Als dritte kosmische Geschwindigkeit \(v_3\) bezeichnet man diejenige Geschwindigkeit, mit der ein Körper von der Erdoberfläche abgeschossen werden müsste, um antriebslos die Gravitationsfelder von Sonne und Erde zu verlassen. Die Bahngeschwindigkeit der Erde um die Sonne soll dabei berücksichtigt werden, die Eigenrotation der Erde und mögliche Swing-By-Manöver am Mond oder anderen Planeten dagegen nicht.
Das Verlassen der Gravitationsfelder von Sonne und Erde allein durch diese Anfangsgeschwindigkeit ist allerdings praktisch wegen des hohen Luftwiderstands an der Erdoberfläche nicht möglich.
Da hier drei Körper, d.h. z.B. eine Sonde, die Erde und die Sonne mit ihren gegenseitigen Kräften ein Rolle spielen, handelt es sich um ein sogenanntes Dreikörper-Problem. Dreikörper-Probleme können (genau wie Probleme mit noch mehr Körpern) prinzipiell nicht exakt gelöst werden. Wir zeigen dir mit dieser Aufgabe aber einen Weg auf, wie man die dritte kosmische Geschwindigkeit näherungsweise bestimmen kann.
Rechne dabei mit folgenden Werten:
- Gravitationskonstante: \(G={6{,}674 \cdot {{10}^{-11}}\,\frac{{{{\rm{m}}^3}}}{{{\rm{kg}}\,{{\rm{s}}^2}}}}\)
- Masse der Sonne: \(M_{\rm{S}}= 1{,}989 \cdot 10^{30}\,\rm{kg}\)
- Masse der Erde: \(M_{\rm{E}}= 5{,}972 \cdot 10^{24}\,\rm{kg}\)
- mittlerer Abstand der Erde zur Sonne: \(a = 1{,}496 \cdot {{10}^{11}}\,{\rm{m}}\)
- mittlerer Erdradius: \(r_{\rm{E}} = 6{,}371 \cdot 10^3\,\rm{m}\)
Im ersten Schritt untersuchen wir in einem Bezugssystem, in dem die Sonne im Ursprung ruht, wie wir den Körper aus dem Gravitationsfeld der Sonne entfernen können. Das Gravitationsfeld der Erde wird dabei nicht berücksichtigt. Bei den Rechnungen müssen wir beachten, dass sich der Körper zusammen mit der Erde um die Sonne bewegt.
Im zweiten Schritt wechseln wir - wie auch für alle folgenden Aufgabenteile - in ein Bezugssystem, in dem die Erde im Koordinatenursprung ruht, und beschreiben die bisherigen Ergebnisse in diesem Bezugssystem.
Im dritten Schritt untersuchen wir im neuen Bezugssystem, wie wir den Körper aus dem Gravitationsfeld der Erde entfernen können. Das Gravitationsfeld der Sonne wird dabei nicht berücksichtigt.
Im vierten Schritt fassen wir die bisherigen Ergebnisse zusammen und berechnen so die dritte kosmische Geschwindigkeit.
