Gravitationsgesetz und -feld

Joachim Herz Stiftung

Die Aufgabenstellung kann auch so formuliert werden: Ein Körper, der auf der Erdoberfläche ruht (er besitzt dort die potenzielle Energie \({E_{{\rm{pot}}}}\left( {{r_{\rm{E}}}} \right)\)), soll mit der ersten kosmischen Geschwindigkeit \(v_1\) so viel kinetische Energie \(\Delta E = E_{\rm{kin,1}}\) erhalten, dass er sich auf einer stabilen Kreisbahn im Abstand des Erdradius \(r_{\rm{E}}=6371\,\rm{km}\) bewegen kann (er besitzt dann die Gesamtenergie \({E_{{\rm{ges}}}}\left( {{r_{\rm{E}}}} \right)\)).

Bezeichnen wir mit \(m\) die Masse des Körpers und mit \(M_{\rm{E}}= 5{,}972 \cdot 10^{24}\,\rm{kg}\) die Masse der Erde, so ergibt sich nach dem Energieerhaltungssatz\[\begin{eqnarray}{E_{{\rm{pot}}}}\left( {{r_{\rm{E}}}} \right) + {E_{{\rm{kin,1}}}} &=& {E_{{\rm{ges}}}}\left( {{r_{\rm{E}}}} \right)\\ - G \cdot \frac{{m \cdot M_{\rm{E}}}}{{{r_{\rm{E}}}}} + \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_1^2 &=&  - \frac{1}{2} \cdot G \cdot \frac{{m \cdot M_{\rm{E}}}}{{{r_{\rm{E}}}}}\\\frac{1}{2} \cdot m \cdot v_1^2 &=&  - \frac{1}{2} \cdot G \cdot \frac{{m \cdot M_{\rm{E}}}}{{{r_{\rm{E}}}}} + G \cdot \frac{{m \cdot M_{\rm{E}}}}{{{r_{\rm{E}}}}}\\\frac{1}{2} \cdot m \cdot v_1^2 &=& \frac{1}{2} \cdot G \cdot \frac{{m \cdot M_{\rm{E}}}}{{{r_{\rm{E}}}}}\\v_1^2 &=& G \cdot \frac{M_{\rm{E}}}{{{r_{\rm{E}}}}}\\{v_1} &=& \sqrt {G \cdot \frac{M_{\rm{E}}}{{{r_{\rm{E}}}}}} \end{eqnarray}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[v_1 = \sqrt {6{,}674 \cdot {{10}^{-11}}\,\frac{{{{\rm{m}}^3}}}{{{\rm{kg}}\,{{\rm{s}}^2}}} \cdot \frac{{5{,}972 \cdot {{10}^{24}}\,{\rm{kg}}}}{{6371 \cdot {{10}^3}\,{\rm{m}}}}}  = 7{,}910 \cdot 10^3\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}=7{,}910\,\frac{{\rm{km}}}{{\rm{s}}}\]