Direkt zum Inhalt

Aufgabe

Erste kosmische Geschwindigkeit

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

Als erste kosmische Geschwindigkeit \(v_1\) bezeichnet man diejenige Geschwindigkeit, mit der ein Körper horizontal von der Erdoberfläche abgeschossen werden müsste, um antriebslos auf einer Kreisbahn an der Erdober­fläche zu bleiben, ohne auf die Erdoberfläche zurückzufallen.

Dies ist allerdings praktisch wegen des hohen Luftwiderstands an der Erdoberfläche nicht möglich.

a)

Berechne mithilfe eines geeigneten Kraftansatzes den Betrag der ersten kosmischen Geschwindigkeit.

b)

Berechne mithilfe eines geeigneten Energieansatzes den Betrag der ersten kosmischen Geschwindigkeit.

Lösung einblendenLösung verstecken Lösung einblendenLösung verstecken
a)

Wenn sich ein Körper mit der Geschwindigkeit \(v_1\) auf einer Kreisbahn mit Radius \(r_{\rm{E}}=6371\,\rm{km}\) um das Zentrum der Erde bewegt, wird seine Zentripetal­kraft \(\vec F_{\rm{ZP}}\) ausschließlich von der Gravitationskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) der Erde verursacht.

Bezeichnen wir mit \(m\) die Masse des Körpers und mit \(M_{\rm{E}}= 5{,}972 \cdot 10^{24}\,\rm{kg}\) die Masse der Erde, so ergibt sich\[\begin{eqnarray}{F_{ZP}} &=& {F_{\rm{G}}}\\m \cdot \frac{{{v_1^2}}}{{{r_{\rm{E}}}}} &=& G \cdot \frac{{m \cdot M_{\rm{E}}}}{{{r_{\rm{E}}}^2}}\\{v_1^2} &=& G \cdot \frac{M_{\rm{E}}}{{{r_{\rm{E}}}}}\\v_1 &=& \sqrt {G \cdot \frac{M_{\rm{E}}}{{{r_{\rm{E}}}}}} \end{eqnarray}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[v_1 = \sqrt {6{,}674 \cdot {{10}^{-11}}\,\frac{{{{\rm{m}}^3}}}{{{\rm{kg}}\,{{\rm{s}}^2}}} \cdot \frac{{5{,}972 \cdot {{10}^{24}}\,{\rm{kg}}}}{{6371 \cdot {{10}^3}\,{\rm{m}}}}}  = 7{,}910 \cdot 10^3\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}=7{,}910\,\frac{{\rm{km}}}{{\rm{s}}}\]

 

b)
Abb. 1 Skizze zur Lösung von Aufgabenteil b)

Die Aufgabenstellung kann auch so formuliert werden: Ein Körper, der auf der Erdoberfläche ruht (er besitzt dort die potenzielle Energie \({E_{{\rm{pot}}}}\left( {{r_{\rm{E}}}} \right)\)), soll mit der ersten kosmischen Geschwindigkeit \(v_1\) so viel kinetische Energie \(\Delta E = E_{\rm{kin,1}}\) erhalten, dass er sich auf einer stabilen Kreisbahn im Abstand des Erdradius \(r_{\rm{E}}=6371\,\rm{km}\) bewegen kann (er besitzt dann die Gesamtenergie \({E_{{\rm{ges}}}}\left( {{r_{\rm{E}}}} \right)\)).

Bezeichnen wir mit \(m\) die Masse des Körpers und mit \(M_{\rm{E}}= 5{,}972 \cdot 10^{24}\,\rm{kg}\) die Masse der Erde, so ergibt sich nach dem Energieerhaltungssatz\[\begin{eqnarray}{E_{{\rm{pot}}}}\left( {{r_{\rm{E}}}} \right) + {E_{{\rm{kin,1}}}} &=& {E_{{\rm{ges}}}}\left( {{r_{\rm{E}}}} \right)\\ - G \cdot \frac{{m \cdot M_{\rm{E}}}}{{{r_{\rm{E}}}}} + \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_1^2 &=&  - \frac{1}{2} \cdot G \cdot \frac{{m \cdot M_{\rm{E}}}}{{{r_{\rm{E}}}}}\\\frac{1}{2} \cdot m \cdot v_1^2 &=&  - \frac{1}{2} \cdot G \cdot \frac{{m \cdot M_{\rm{E}}}}{{{r_{\rm{E}}}}} + G \cdot \frac{{m \cdot M_{\rm{E}}}}{{{r_{\rm{E}}}}}\\\frac{1}{2} \cdot m \cdot v_1^2 &=& \frac{1}{2} \cdot G \cdot \frac{{m \cdot M_{\rm{E}}}}{{{r_{\rm{E}}}}}\\v_1^2 &=& G \cdot \frac{M_{\rm{E}}}{{{r_{\rm{E}}}}}\\{v_1} &=& \sqrt {G \cdot \frac{M_{\rm{E}}}{{{r_{\rm{E}}}}}} \end{eqnarray}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[v_1 = \sqrt {6{,}674 \cdot {{10}^{-11}}\,\frac{{{{\rm{m}}^3}}}{{{\rm{kg}}\,{{\rm{s}}^2}}} \cdot \frac{{5{,}972 \cdot {{10}^{24}}\,{\rm{kg}}}}{{6371 \cdot {{10}^3}\,{\rm{m}}}}}  = 7{,}910 \cdot 10^3\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}=7{,}910\,\frac{{\rm{km}}}{{\rm{s}}}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Gravitationsgesetz und -feld