Mechanik

Gravitationsgesetz und -feld

Energie im Gravitationsfeld

  • Wo endet eigentlich die Erdanziehungskraft?
  • Was ist die Ursache der Gravitation?
  • Ziehen sich wirklich alle Körper gegenseitig an?

Energie im Gravitationsfeld

Potenzielle Energie im Gravitationsfeld

Bringt man einen Körper der Masse \(m\) (z.B. einen Satelliten) im Gravitationsfeld eines Körpers der Masse \(M\) (z.B. der Erde) vom Abstand \(r_{\rm{A}}\) (A: Anfang) zum Abstand \(r_{\rm{E}}\) (E: Ende) (Abstände gemessen vom Erdmittelpunkt), so ist die dabei verrichtete Arbeit
\[\Delta W = G \cdot m \cdot M \cdot \left( {\frac{1}{{{r_{\rm{A}}}}} - \frac{1}{{{r_{\rm{E}}}}}} \right)\]
zu verrichten (die Herleitung dieser Formel erfolgte im Punkt "Arbeit im Gravitationsfeld"). Für die potenzielle Energie im Gravitationsfeld gilt
\[{E_{{\rm{pot}}{\rm{,E}}}} - {E_{{\rm{pot}}{\rm{,A}}}} = \Delta W \Leftrightarrow {E_{{\rm{pot}}{\rm{,E}}}} = {E_{{\rm{pot}}{\rm{,A}}}} + \Delta W\]
Wie du vielleicht noch aus früheren Kapiteln weißt, ist die Festlegung des Nullpunktes der potenziellen Energie freigestellt.

Wählt man z.B. als Ausgangspunkt der Reise im Gravitationsfeld der Erde einen Punkt der Erdoberfläche, so könnte man diesem Punkt die potenzielle Energie Null zuordnen, d. h. es gilt dann \({E_{{\rm{pot,A}}}} = 0\). Für die potenzielle Energie des beliebig gewählten Endabstandes \({r = {r_{\rm{E}}}}\) ergibt sich dann
\[{E_{{\rm{pot}}}}(r) = G \cdot m \cdot M \cdot \left( {\frac{1}{{{r_{{\rm{Erde}}}}}} - \frac{1}{r}} \right)\;;\;r \ge {r_{{\rm{Erde}}}}\]
Der Verlauf der potenziellen Energie in Abhängigkeit von \(r\) ist in der nebenstehenden Graphik dargestellt.

Meist wird jedoch als Nullpunkt der potenziellen Energie der unendlich ferne Punkt gewählt, da dann die Formel für die Arbeit \(\Delta W\) besonders einfach wird (\({{r_{\rm{A}}} \to \infty }\) und \({\frac{1}{{{r_{\rm{A}}}}} \to 0}\), \({r = {r_{\rm{E}}}}\))
\[\begin{eqnarray}{E_{{\rm{pot}}}}(r) &=& G \cdot m \cdot M \cdot \left( {0 - \frac{1}{r}} \right)\;\\&=&- G \cdot m \cdot M \cdot \frac{1}{r};\;r \ge {r_{{\rm{Erde}}}}\end{eqnarray}\]
Der Verlauf der potenziellen Energie in Abhängigkeit von \(r\) für diese Festsetzung des Nullpunkts der potenziellen Energie ist in der nebenstehenden Graphik dargestellt.

Man sieht, dass bei dieser Nullpunktswahl die potenzielle Energie eines Punktes auf der Erdoberfläche negativ ist.

Man sieht aber auch, dass – unabhängig von der Wahl des Nullpunktes der potenziellen Energie – die Änderung der potenziellen Energie, d.h. die verrichtete Arbeit beim Weg von einem Abstand \(r’\) zu einem Abstand \(r’’\) in beiden Systemen die gleiche ist.

Kinetische Energie

Befindet sich ein Körper der Masse \(m\) (z. B. ein Satellit) auf einer Umlaufbahn um den Zentralkörper der Masse \(M\) (z. B. die Erde), so besitzt der neben der in oben berechneten potenziellen Energie auch noch kinetische Energie (sonst würde z.B. der Satellit sofort auf die Erde stürzen). Für die kinetische Energie gilt
\[{E_{{\rm{kin}}}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2}\]
Durchläuft der Körper annähernd eine Kreisbahn, so wirkt als Zentripetalkraft die Gravitationskraft, d.h. es gilt
\[{F_{{\rm{ZP}}}} = {F_{\rm{G}}} \Leftrightarrow \frac{{m \cdot {v^2}}}{r} = G \cdot \frac{{m \cdot M}}{{{r^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2} = \frac{1}{2} \cdot G \cdot \frac{{m \cdot M}}{r}\]
Somit ergibt sich für die kinetische Energie ein stets positiver Ausdruck der dem Betrag nach halb so groß ist, wie die potenzielle Energie.
\[{E_{{\rm{kin}}}} = \frac{1}{2} \cdot G \cdot \frac{{m \cdot M}}{r} = \frac{1}{2} \cdot \left| {{E_{{\rm{pot}}}}} \right|\]

Gesamtenergie im Gravitationsfeld

Die Gesamtenergie ist die Summe aus kinetischer und potenzieller Energie:
\[{E_{{\rm{ges}}}} = {E_{{\rm{kin}}}} + {E_{{\rm{pot}}}} = \frac{1}{2} \cdot G \cdot \frac{{m \cdot M}}{r} + \left( {-G \cdot m \cdot M \cdot \frac{1}{r}} \right) =-\frac{1}{2} \cdot G \cdot \frac{{m \cdot M}}{r};\;r \ge {r_{{\rm{Erde}}}}\]
Die Gesamtenergie ist also bei der Wahl des Nullpunktes der potenziellen Energie im Unendlichen stets negativ. Man muss also Energie in das System Erde-Satellit stecken, um den Satelliten ins Unendliche (aus dem Anziehungsbereich der Erde) zu bringen. Wäre dies nicht so, so könnte die Erde keinen Satelliten in einem "gebundenen" Zustand halten (ebenso könnte die Erde in keinem "gebundenen" Zustand beim Zentralkörper Sonne sein).

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