Hinweis: Anlass zu dieser Aufgabe ist ein Märchen der Gebrüder Grimm, auf das K. Beuche hingewiesen hat.
"Das tapfere Schneiderlein musste im Wald mit dem Riesen seine Kräfte messen. Unter anderem ging es darum, wer einen Stein höher werfen kann. Da hob der Riese einen Stein auf und warf ihn so hoch, dass man ihn mit den Augen kaum noch sehen kann: "Nun du Erperlmännchen, das tu mir nach." - "Gut geworfen", sagte der Schneider, "aber der Stein hat doch wieder zur Erde herabfallen müssen; ich will dir einen werfen, der soll gar nicht wiederkommen", griff in die Tasche, nahm den Vogel und warf ihn in die Luft. Der Vogel, froh über seine Freiheit, stieg auf, flog fort und kam nicht wieder."
a)
Angenommen, der Riese wartet 4 Minuten auf das Herunterfallen des Steines und geht dann fort.
Berechne, mit welcher Anfangsgeschwindigkeit der Schneider einen Stein senkrecht nach oben hätte werfen müssen, damit dieser erst nach 5 Minuten wieder unten ankommt.
Berechne weiter, welche maximale Höhe dieser Stein erreichen würde.
Hinweis: Gehe bei dieser Teilaufgabe davon aus, dass die Erdbeschleunigung längs der Flugbahn überall \({g = 9{,}81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}\) beträgt und die Luftreibung zu vernachlässigen ist.
b)
Berechne, um wie viel Prozent die Erdbeschleunigung in der maximalen Höhe von der Erdbeschleunigung am Boden abweichen würde.
c)
Erläutere, mit welcher Geschwindigkeit der Schneider den Stein mindestens hätte abwerfen müssen, damit dieser in eine Umlaufbahn um die Erde gelangte.
Der Wurf zerfällt in zwei Phasen (Aufstiegsphase und Absturzphase) die beide gleich lange dauern. Bei einer Gesamtflugdauer von \(5\,{\rm{min}} = 300\,{\rm{s}}\) bleibt für die Absturzphase (freier Fall) die Zeit von \(150\,{\rm{s}}\). In dieser Zeit erreicht der Stein eine Fallhöhe von
\[h = \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2} \Rightarrow h = \frac{1}{2} \cdot 9,81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot {\left( {150{\rm{s}}} \right)^2} = 1{,}10 \cdot {10^5}{\rm{m}} = 110\,{\rm{km}}\]
Mit Hilfe des Energiesatzes kann nun die Abwurfgeschwindigkeit berechnet werden:
\[{E_{{\rm{ges}}{\rm{,1}}}} = {E_{{\rm{ges}}{\rm{,2}}}} \Leftrightarrow {E_{{\rm{kin}}{\rm{,1}}}} = {E_{{\rm{pot}}{\rm{,2}}}} \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v_1}^2 = m \cdot g \cdot h \Rightarrow {v_1} = \sqrt {2 \cdot g \cdot h} \]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[{v_1} = \sqrt {2 \cdot 9,81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 1,10 \cdot {{10}^5}{\rm{m}}} = 1,47 \cdot {10^3}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 1{,}47\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{s}}}\]
b)
Für die Gravitationsbeschleunigung \(g(r)\) in Abhängigkeit von der Entfernung \(r\) vom Erdmittelpunkt gilt (die Masse des betrachteten Körpers sei \(m\))
\[g(r) = \frac{{{F_{\rm{G}}}}}{m} = \frac{{G \cdot \frac{{m \cdot {m_{{\rm{Erde}}}}}}{{{r^2}}}}}{m} = G \cdot \frac{{{m_{{\rm{Erde}}}}}}{{{r^2}}}\]
Für das Verhältnis der Beschleunigungen im Punkt 2 (höchster Punkt) und Punkt 1 (Erdoberfläche) gilt dann
\[\frac{{{g_2}}}{{{g_1}}} = \left( {\frac{{G \cdot \frac{{{m_{{\rm{Erde}}}}}}{{{r_{{\rm{Erde}}}}^2}}}}{{G \cdot \frac{{{m_{{\rm{Erde}}}}}}{{{{\left( {{r_{{\rm{Erde}}}} + h} \right)}^2}}}}}} \right) = \left( {\frac{{{r_{{\rm{Erde}}}}^2}}{{{{\left( {{r_{{\rm{Erde}}}} + h} \right)}^2}}}} \right) = {\left( {\frac{{{r_{{\rm{Erde}}}}}}{{{r_{{\rm{Erde}}}} + h}}} \right)^2}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[\frac{{{g_2}}}{{{g_1}}} = {\left( {\frac{{6368{\rm{km}}}}{{6368{\rm{km}} + 110{\rm{km}}}}} \right)^2} = {0,983^2} = 0,966 \Rightarrow {g_2} = 0,966 \cdot {g_1}\]
Die Erdbeschleunigung im Punkt 2 ist also um ca. \(3{,}4\% \) niedriger als auf der Erdoberfläche. Dies zeigt, dass der Fehler bei der in Teilaufgabe a) gemachten Vereinfachung nicht allzu groß ist.
c)
Das Schneiderlein muss den Stein mit der ersten kosmischen Geschwindigkeit von \(7{,}9\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{s}}}\) abwerfen. Vergleichen Sie hierzu die entsprechende Herleitung.
