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Aufgabe

Geostationäre Satelliten

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Illustration eines Meteosat Wettersatelliten,
Copyright: ESA/D.Ducros

Ein Satellit der Masse \(m_\rm{S}=500\,\rm{kg}\) soll in eine geostationäre Umlaufbahn gebracht werden. Man spricht von einer geostationären Umlaufbahn eines Satelliten, wenn er die gleiche Winkelgeschwindigkeit wie die Erde hat und somit scheinbar fest über einem Punkt der Erdoberfläche steht.

Folgende Konstanten benötigst du zum Lösen der Aufgaben:

Erdradius: \({r_{{\rm{E}}}}\approx 6400\,\rm{km}\)

Erdmasse: \(m_\rm{E}\approx 5{,}97\cdot10^{24}\,\rm{kg}\)

a)

Zeige, dass die Höhe \(h_\rm{S}\) über der Erdoberfläche, die der Satellit in einer geostationären Umlaufbahn hat, ca. \(35800\,\rm{km}\) beträgt.

b)

Berechne die potentielle Energie \({E_{{\rm{pot}}}}\), die der Satellit in dieser Höhe (bezüglich dem Unendlichen als Nullpunkt) hat.

c)

Zeige, dass die Bahngeschwindigkeit \(v\), die der Satellit in einer geostationären Umlaufbahn hat, ca. \(3\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{s}}}\) beträgt.

d)

Berechne die kinetische Energie \({E_{{\rm{kin}}}}\), die der Satellit bei dieser Geschwindigkeit hat.

e)

Berechne die Gesamtenergie \({E_{{\rm{ges}}}}\) des Satelliten (bezüglich dem Unendlichen als Nullpunkt).

f)

Berechne die Energie, die nötig ist, um den Satelliten von der Erdoberfläche in seine geostationäre Umlaufbahn zu bringen. Vernachlässige dabei die Eigendrehung der Erde.

g)

Erläutere, welche der in den Teilaufgaben a) bis e) berechneten Werten von der Masse des Satelliten unabhängig sind.

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a)

Gegeben:

  • Masse des Satelliten: \(m_\rm{S}=500\,\rm{kg}\)

Gesucht:

  • Höhe des Satelliten \(h_\rm{S}\) über der Erdoberfläche (Kontrollösung: \(h_\rm{S}=35800\,\rm{km}\)

Ansatz:

Der Satellit befindet sich auf einer stabilen, kreisförmigen Umlaufbahn um die Erde. Die Kraft, die den Satelliten auf seiner Kreisbahn hält, ist die Gravitationskraft \(F_\rm{G}\), die auf den Satelliten als Zentripetalkraft wirkt. Da bei der Berechnung der Gravitationskraft alle Abstände vom Erdmittelpunkt aus gemessen werden, muss zur Höhe des Satelltiten noch der Erdradius hinzugerechnet werden:

\[F_\rm{ZP} = F_\rm{G}\Leftrightarrow m_\rm{S} \cdot (h_\rm{S}+r_\rm{E}) \cdot \omega_\rm{s} ^2 = G \cdot \frac{m_\rm{S} \cdot m_\rm{E}}{(h_\rm{S}+r_\rm{E})^2}\]

Da der Satellit von der Erdoberfläche aus gesehen aus scheinbar stillsteht, muss er außerdem die gleiche Winkelgeschwindigkeit besitzen wie die Erde bei ihrer Rotation um sich selbst:

\[\omega_\rm{S}=\omega_ \rm{E}=\frac{2\pi}{T_\rm{E}}=\frac{2\pi}{24\,\rm{h}}=\frac{2\pi}{86400\,\rm{s}}\]

Berechnung:

Einstzen der Bedingung für die Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) (zweite Gleichung) in den Kraftansatz (erste Gleichung):

\[m_\rm{S} \cdot (h_\rm{S}+r_\rm{E}) \cdot \left(\frac{2\pi}{T_\rm{E}}\right) ^2 = G \cdot \frac{m_\rm{S} \cdot m_\rm{E}}{\left(h_\rm{S}+r_\rm{E}\right)^2}\]

\[ \Rightarrow m_\rm{S} \cdot \left(h_\rm{S}+r_\rm{E}\right)^3 \cdot \left(\frac{2\pi}{T_\rm{E}}\right) ^2= G \cdot m_\rm{S} \cdot m_\rm{E}\]

\[ \Rightarrow \left(h_\rm{S}+r_\rm{E}\right)^3 = \frac{G \cdot m_\rm{E}\cdot T_\rm{E}^2}{4\pi^2}\]

\[\Rightarrow h_\rm{S}=\sqrt[3]{\frac{G \cdot m_\rm{E}\cdot T_\rm{E}^2}{4\pi^2}}\]


Einsetzen der Werte liefert:

\[h_\rm{S}=\sqrt[3]{\frac{6{,}67 \cdot 10^{ - 11}\,\frac{\rm{m}^3}{\rm{kg}\cdot\rm{s}^2}\cdot 5{,}97\cdot10^{24}\,\rm{kg}\cdot 86400\,\rm{s}}{4\pi^2}}-6400\,\rm{km}=35800\,\rm{km} \]

b)

Ansatz:

Im Grundwissen wird für den Nullpunkt der Energie im Unendlichen  die folgende Formel für die potentielle Energie im Graviationsfeld hergeleitet:

\[E_\rm{pot}(r)=-G\cdot m\cdot m_\rm{E}\cdot\frac{1}{r};\,r\geq r_\rm{E}\]

Berechnung:

Einsetzen der Werte mit \(r=h_\rm{S}+r_\rm{E}=42200\,\rm{km}\) liefert:

\[E_\rm{pot}(4{,}22\cdot 10^7\,\rm{m})=-6{,}67 \cdot 10^{ - 11}\,\frac{\rm{m}^3}{\rm{kg}\cdot\rm{s}^2}\cdot 500\,\rm{kg}\cdot5{,}97\cdot10^{24}\,\rm{kg}\cdot\frac{1}{4{,}22\cdot10^7\,\rm{m}}=-4{,}72\cdot10^9\,\rm{J}\]

c)

Ansatz:

Für die Bahngeschwindigkeit gilt:

\[v=\frac{u}{T} =\frac{2\pi\cdot (h_\rm{S}+r_\rm{E})}{T_\rm{E}}\]

Berechnung:

Einsetzen der Werte liefert:

\[v=\frac{2\pi\cdot 4{,}22\cdot 10^7\,\rm{m}}{86400\,\rm{s}}=3{,}07\cdot 10^3\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}=3{,}07\,\frac{\rm{km}}{\rm{s}}\]

d)

Ansatz:

Formel für die kinetische Energie:

\[{E_{kin}} = \frac{1}{2} \cdot {m_{\rm{S}}} \cdot {v^2} \]

Berechnung:

\[ {E_{kin}} = \frac{1}{2} \cdot 500{\rm{kg}} \cdot {\left( {3,07 \cdot {{10}^3}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)^2} = 2,36 \cdot {10^9}{\rm{J}}\]

e)

Ansatz:

Die Gesamtenergie \({E_{{\rm{ges}}}}\) ist die Summe aus potenzieller und kinetischer Energie:

\[{E_{ges}} = {E_{pot}} + {E_{kin}}\]

Beide Energieformen wurden bereits in den Teilaufgaben b) und d) berechnet und müssen lediglich addiert werden.

Berechnung:

\[{E_{ges}} =  - 4,72 \cdot {10^9}{\rm{J}} + 2,36 \cdot {10^9}{\rm{J}} =  - 2,36 \cdot {10^9}{\rm{J}}\]

f)

Ansatz:

Um den Satelliten auf seine Bahn zu bringen muss man ihm - ausgehend von seiner potenziellen Energie \({E_{{\rm{pot}}}}({r_{\rm{E}}})\), die er auf der Erdoberfläche besitzt - so viel Energie \(\Delta E\) mitgeben, dass er die in Teilaufgabe e) berechnete Gesamtenergie \({E_{ges}}\) besitzt. Somit gilt\[\Delta E = {E_{ges}} - {E_{{\rm{pot}}}}({r_{\rm{E}}})\]

Berechnung:

Mit \({E_{{\rm{pot}}}}({r_{\rm{E}}}) =  - G \cdot m \cdot M \cdot \frac{1}{{{r_{{\rm{Erde}}}}}} =  - 3,11 \cdot {10^{10}}{\rm{J}}\) ergibt sich\[\Delta E =  - 2,36 \cdot {10^9}{\rm{J}} - \left( { - 3,11 \cdot {{10}^{10}}{\rm{J}}} \right) = 2,87 \cdot {10^{10}}{\rm{J}}\]

g)

Die Ergebnisse der Teilaufgaben a) und c) sind unabhängig von der Masse des Satelliten und gelten damit für alle geostationären Satelliten.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Gravitationsgesetz und -feld