Ein Satellit der Masse \(m_\rm{S}=500\,\rm{kg}\) soll in eine geostationäre Umlaufbahn gebracht werden. Man spricht von einer geostationären Umlaufbahn eines Satelliten, wenn er die gleiche Winkelgeschwindigkeit wie die Erde hat und somit scheinbar fest über einem Punkt der Erdoberfläche steht.
Folgende Konstanten benötigst du zum Lösen der Aufgaben:
Zeige, dass die Höhe \(h_\rm{S}\) über der Erdoberfläche, die der Satellit in einer geostationären Umlaufbahn hat, ca. \(35800\,\rm{km}\) beträgt.
b)
Berechne die potentielle Energie \({E_{{\rm{pot}}}}\), die der Satellit in dieser Höhe (bezüglich dem Unendlichen als Nullpunkt) hat.
c)
Zeige, dass die Bahngeschwindigkeit \(v\), die der Satellit in einer geostationären Umlaufbahn hat, ca. \(3\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{s}}}\) beträgt.
d)
Berechne die kinetische Energie \({E_{{\rm{kin}}}}\), die der Satellit bei dieser Geschwindigkeit hat.
e)
Berechne die Gesamtenergie \({E_{{\rm{ges}}}}\) des Satelliten (bezüglich dem Unendlichen als Nullpunkt).
f)
Berechne die Energie, die nötig ist, um den Satelliten von der Erdoberfläche in seine geostationäre Umlaufbahn zu bringen. Vernachlässige dabei die Eigendrehung der Erde.
g)
Erläutere, welche der in den Teilaufgaben a) bis e) berechneten Werten von der Masse des Satelliten unabhängig sind.
Höhe des Satelliten über der Erdoberfläche: \(h_\rm{S}=?\) (Kontrolllösung: \(h_\rm{S}=35800\,\rm{km}\))
Ansatz:
Der Satellit befindet sich auf einer stabilen, kreisförmigen Umlaufbahn um die Erde. Die Kraft, die den Satelliten auf seiner Kreisbahn hält, ist die Gravitationskraft \(F_\rm{G}\), die auf den Satelliten als Zentripetalkraft wirkt. Da bei der Berechnung der Gravitationskraft alle Abstände vom Erdmittelpunkt aus gemessen werden, muss zur Höhe des Satelltiten noch der Erdradius hinzugerechnet werden:\[F_{\rm{ZP}} = F_{\rm{G}}\Leftrightarrow m_{\rm{S}} \cdot (h_{\rm{S}}+r_{\rm{E}}) \cdot \omega_{\rm{s}} ^2 = G \cdot \frac{m_{\rm{S}} \cdot m_{\rm{E}}}{(h_{\rm{S}}+r_{\rm{E}})^2} \quad(1)\]Da der Satellit von der Erdoberfläche aus gesehen aus scheinbar stillsteht, muss er außerdem die gleiche Winkelgeschwindigkeit besitzen wie die Erde bei ihrer Rotation um sich selbst:\[\omega_{\rm{S}}=\omega_{\rm{E}}=\frac{2 \cdot \pi}{T_{\rm{E}}}\quad(2)\]wobei gilt \(T_{\rm{E}}=24\,\rm{h}=86400\,\rm{s}\).
Höhe des Satelliten vom Erdmittelpunkt: \(h_\rm{S}+r_\rm{E}=42200\,\rm{km}\)
Gesucht:
Potentielle Energie des Satelliten, wenn der Nullpunkt im Unendlichen liegt: \(E_\rm{pot}=?\)
Ansatz:
Im Grundwissen wird für den Nullpunkt der Energie im Unendlichen die folgende Formel für die potentielle Energie im Graviationsfeld hergeleitet:\[E_{\rm{pot}}(r)=-G\cdot m\cdot m_{\rm{E}}\cdot\frac{1}{r};\,r\geq r_{\rm{E}}\]
Berechnung:
Einsetzen der Werte mit \(m=m_{\rm{S}}\) und \(r=42200\,\rm{km}\) liefert\[E_{\rm{pot}}(4{,}22\cdot 10^7\,\rm{m})=-6{,}67 \cdot 10^{-11}\,\frac{\rm{m}^3}{\rm{kg}\cdot\rm{s}^2}\cdot 500\,\rm{kg}\cdot5{,}97\cdot10^{24}\,\rm{kg}\cdot\frac{1}{4{,}22\cdot10^7\,\rm{m}}=-4{,}72\cdot10^9\,\rm{J}\]
c)
Gegeben:
Zeit, die die Erde für eine Drehung um sich selbst und der Satellit für eine Umrundung seines Orbits benötigt: \(T=24\,\rm{h}=86400\,\rm{s}\)
Höhe des Satelliten vom Erdmittelpunkt: \(h_{\rm{S}}+r_{\rm{E}}=42200\,\rm{km}\)
Gesucht:
Bahngeschwindigkeit des Satelliten auf seiner Umlaufbahn: \(v=?\)
Ansatz:
Für die Bahngeschwindigkeit gilt\[v=\frac{u}{T} =\frac{2 \cdot \pi\cdot (h_{\rm{S}}+r_{\rm{E}})}{T_{\rm{E}}}\]
Berechnung:
Einsetzen der Werte liefert\[v=\frac{2 \cdot \pi\cdot 4{,}22\cdot 10^7\,\rm{m}}{86400\,\rm{s}}=3{,}07\cdot 10^3\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}=3{,}07\,\frac{\rm{km}}{\rm{s}}\]
d)
Gegeben:
Masse des Satellliten: \(m_{\rm{S}}=500\,\rm{kg}\)
Bahngeschwindigkeit des Satelliten (aus Teilaufgabe c)): \(v=3070\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\)
Ansatz:
Formel für die kinetische Energie:\[{E_{\rm{kin}}} = \frac{1}{2} \cdot {m_{\rm{S}}} \cdot {v^2} \]
Potentielle Energie des Satelliten (aus Teilaufgabe b)): \(E_{\rm{pot}}=-4{,}72\cdot 10^9\,\rm{J}\)
Kinetische Energie des Satelliten (aus Teilaufgabe d)): \(E_{\rm{kin}}=2{,}36 \cdot 10^9\,\rm{J}\)
Gesucht:
Gesamtenergie des Satelliten: \(E_{\rm{ges}}=?\)
Ansatz:
Die Gesamtenergie \({E_{{\rm{ges}}}}\) ist die Summe aus potenzieller und kinetischer Energie:\[{E_{\rm{ges}}} = {E_{\rm{pot}}} + {E_{\rm{kin}}}\]Beide Energieformen wurden bereits in den Teilaufgaben b) und d) berechnet und müssen lediglich addiert werden.
Berechnung:
\[{E_{\rm{ges}}} = - 4{,}72 \cdot {10^9}\,{\rm{J}} + 2{,}36 \cdot {10^9}\,{\rm{J}} = - 2{,}36 \cdot {10^9}\,{\rm{J}}\]Das negative Vorzeichen der Energie scheint auf den ersten Blick seltsam, ergibt aber durchaus Sinn, weil der Bezugspunkt für die potentielle Energie im Unendlichen gesetzt wurde. Eine negative Gesamtenergie ist deshalb so zu interpretieren, dass der Satellit sich noch im Einfluss des Gravitationsfeldes der Erde befindet und nicht genügend Energie hat, um diesem zu entkommen.
Benötigte Energie, um den Satelliten von der Erdoberfläche \(r_{\rm{E}}\) auf seine Umlaufbahn in Höhe \(r_{\rm{E}}+h_{\rm{S}}\) über dem Erdmittelpunkt zu bringen: \(\Delta E=?\)
Ansatz:
Um den Satelliten auf seine Bahn zu bringen muss man ihm - ausgehend von seiner potenziellen Energie \({E_{{\rm{pot}}}}({r_{\rm{E}}})\), die er auf der Erdoberfläche besitzt - so viel Energie \(\Delta E\) mitgeben, dass er die in Teilaufgabe e) berechnete Gesamtenergie \({E_{\rm{ges}}}\) besitzt. Somit gilt\[\Delta E = {E_{\rm{ges}}} - {E_{{\rm{pot}}}}({r_{\rm{E}}})\]
Berechnung:
Mit \({E_{{\rm{pot}}}}({r_{\rm{E}}}) = - G \cdot m \cdot M \cdot \frac{1}{{{r_{{\rm{Erde}}}}}} = - 3{,}11 \cdot {10^{10}}\,{\rm{J}}\) ergibt sich\[\Delta E = - 2{,}36 \cdot {10^9}\,{\rm{J}} - \left( { - 3{,}11 \cdot {{10}^{10}}\,{\rm{J}}} \right) = 2{,}87 \cdot {10^{10}}\,{\rm{J}}\]
g)
Die Ergebnisse der Teilaufgaben a) und c) sind unabhängig von der Masse des Satelliten und gelten damit für alle geostationären Satelliten.
