Gravitationsgesetz und -feld

Aus\[{E_{{\rm{pot}}}}(r) =  - G \cdot m \cdot M \cdot \frac{1}{r}\]ergibt sich durch Einsetzen der gegebenen Werte\[{E_{{\rm{pot}}}}(r) =  - 6{,}674 \cdot {10^{ - 11}}\,\frac{{{{\rm{m}}^3}}}{{{\rm{kg}} \, {{\rm{s}}^2}}} \cdot 500{,}0\,{\rm{kg}} \cdot 5{,}972 \cdot {10^{24}}\,{\rm{kg}} \cdot \frac{1}{{4{,}224 \cdot {{10}^7}\,{\rm{m}}}} =  - 4{,}718 \cdot {10^9}\,{\rm{J}}\]Die Gesamtenergie ist auf einer stabilen Kreisbahn wegen \({E_{{\rm{ges}}}} = \frac{1}{2} \cdot {E_{{\rm{pot}}}}\)\[{E_{{\rm{ges}}}} =  - 2{,}359 \cdot {10^9}\,{\rm{J}}\]und die kinetische Energie wegen \({E_{{\rm{kin}}}}(r) = \left| {{E_{{\rm{ges}}}}} \right|\)\[{E_{{\rm{kin}}}}(r) = 2{,}359 \cdot {10^9}\,{\rm{J}}\]

Der Betrag \({F_{\rm{G}}}(r)\) der Gravitationskraft berechnet sich wegen\[{F_{\rm{G}}}(r) = G \cdot m \cdot M \cdot \frac{1}{{{r^2}}} = \frac{{\left| {{E_{{\rm{pot}}}}} \right|}}{r}\]durch Einsetzen der gegebenen Werte zu\[{F_{\rm{G}}}(r) = \frac{{\left| { - 4{,}718 \cdot {{10}^9}\,{\rm{J}}} \right|}}{{4{,}224 \cdot {{10}^7}\,{\rm{m}}}} = 1{,}117 \cdot {10^2}\,{\rm{N}}\]Der Betrag \({F_{\rm{ZP}}}(r)\) der für die Kreisbewegung notwendigen Zentripetalkraft berechnet sich wegen\[{F_{{\rm{ZP}}}}(r) = m \cdot \frac{{{v^2}}}{r} = \frac{{2 \cdot {E_{{\rm{kin}}}}}}{r}\]durch Einsetzen der gegebenen Werte zu\[{F_{{\rm{ZP}}}}(r) = \frac{{2 \cdot 2{,}359 \cdot {{10}^9}\,{\rm{J}}}}{{4{,}224 \cdot {{10}^7}\,{\rm{m}}}} = 1{,}117 \cdot {10^2}\,{\rm{N}}\]Die Gravitation bringt also genau die notwenige Kraft auf, um als Zentripetalkraft für eine gleichförmige Kreisbewegung mit dem Radius \(r\) zu wirken.

Wenn sich der Satellit nun auf einer Kreisbahn mit dem Abstand \(r_{\rm{k}}=4{,}000 \cdot 10^7\,\rm{m}\) vom Erdmittelpunkt bewegt, so beträgt seine potenzielle Energie nur noch\[{E_{{\rm{pot}}}}({r_{\rm{k}}}) =  - 6{,}674 \cdot {10^{ - 11}}\,\frac{{{{\rm{m}}^3}}}{{{\rm{kg}} \, {{\rm{s}}^2}}} \cdot 500{,}0\,{\rm{kg}} \cdot 5{,}972 \cdot {10^{24}}\,{\rm{kg}} \cdot \frac{1}{{4{,}000 \cdot {{10}^7}\,{\rm{m}}}} =  - 4{,}982 \cdot {10^9}\,{\rm{J}}\]Da die Gesamtenergie des Satelliten konstant bleiben soll, beträgt die kinetische Energie nun\[{E_{{\rm{kin}}}}({r_{\rm{k}}}) = {E_{{\rm{ges}}}} - {E_{{\rm{pot}}}}({r_{\rm{k}}}) =  - 2{,}359 \cdot {10^9}\,{\rm{J}} - \left( { - 4{,}982 \cdot {{10}^9}\,{\rm{J}}} \right) = 2{,}623 \cdot {10^9}\,{\rm{J}}\]

Analog zu Aufgabenteil b) berechnet sich der Betrag \({F_{\rm{G}}}(r_{\rm{k}})\) der nun wirkenden Gravitationskraft zu\[{F_{\rm{G}}}(r_{\rm{k}}) = \frac{{\left| {{E_{{\rm{pot}}}}} \right|}}{r_{\rm{k}}} \Rightarrow {F_{\rm{G}}} = \frac{{\left| { - 4{,}982 \cdot {{10}^9}{\rm{J}}} \right|}}{{4{,}000 \cdot {{10}^7}{\rm{m}}}} = 1{,}246 \cdot {10^2}{\rm{N}}\]und der Betrag \({F_{\rm{ZP}}}(r_{\rm{k}})\) der nun nötigen Zentripetalkraft zu\[{F_{{\rm{ZP}}}}(r_{\rm{k}}) = \frac{{2 \cdot {E_{{\rm{kin}}}}}}{r_{\rm{k}}} \Rightarrow {F_{{\rm{ZP}}}} = \frac{{2 \cdot 2{,}623 \cdot {{10}^9}{\rm{J}}}}{{4{,}000 \cdot {{10}^7}{\rm{m}}}} = 1{,}312 \cdot {10^2}{\rm{N}}\]Man kann erkennen, dass die im Abstand \(r_{\rm{k}}\) wirkende Gravitatonskraft nicht mehr ausreicht, um den Satelliten auf der Kreisbahn mit diesem Radius zu halten. Der Satellit wird sich also so lange von der Erde wegbewegen, bis er sich wieder auf der stabilen Kreisbahn befindet. Analoge Ergebnisse erhält man, wenn man einen Vergleich von Gravitationskraft und Zentripetalkraft für eine größeren Kreisradius \(r_{\rm{k}}\) berechnet. Dann ist die Gravitationskraft größer als die notwendige Zentripetalkraft und der Satellit wird sich so lange zur Erde hinbewegen, bis er wieder auf der stabilen Kreisbahn befindet.