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Aufgabe

Stabile Kreisbahnen

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Warum bleiben z.B. der Mond, ein geostationärer Satellit oder die Raumstation ISS auf ihrer festen Umlaufbahn und bewegen sich nicht näher oder weiter von der Erde entfernt? Aus energetischen Gesichtspunkten wäre dies doch möglich, die Energie wäre lediglich anders zwischen potenzieller und kinetischer Energie verteilt. Dennoch passiert dies nicht. Durch die Bearbeitung dieser Aufgabe kannst du dieses Phänomen verstehen.

Wir betrachten einen geostationären Satelliten der Masse \(m=500{,}0\,\rm{kg}\), der sich in einem Abstand von \(r=42240\,\rm{km}\) vom Erdmittelpunkt um die Erde bewegt.

a)

Berechne

  • die Gesamtenergie \(E_{\rm{ges}}\),
  • die potenzielle Energie \(E_{\rm{pot}}\) und
  • die kinetische Energie \(E_{\rm{kin}}\)

des Satelliten auf der Bahn mit dem Radius \(r\).

b)

Berechne für die Bahn mit dem Radius \(r\)

  • den Betrag \(F_{\rm{G}}\) der Gravitationskraft und
  • den Betrag \(F_{\rm{ZP}}\) der für die Bahn notwendigen Zentripetalkraft.

Beurteile die Ergebnisse.

Nun untersuchen wir die Kräfte auf den Satelliten, wenn er sich bei konstanter Gesamtenergie auf einer Bahn mit kleinerem Abstand \(r_{\rm{k}}=40000\,\rm{km}\) (4 gültige Ziffern) bewegen würde.

c)

Berechne für die Bahn mit dem kleinerem Radius \(r_{\rm{k}}\)

  • die potenzielle Energie \(E_{\rm{pot}}\) und
  • die kinetische Energie \(E_{\rm{kin}}\)

des Satelliten.

d)

Berechne für die Bahn mit dem kleinerem Radius \(r_{\rm{k}}\)

  • den Betrag \(F_{\rm{G}}\) der Gravitationskraft und
  • den Betrag \(F_{\rm{ZP}}\) der für die Bahn notwendigen Zentripetalkraft.

Beurteile nun diese Ergebnisse.

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Wir rechnen mit \(G = 6{,}674 \cdot {10^{ - 11}}\,\frac{{{{\rm{m}}^3}}}{{{\rm{kg}}\,{{\rm{s}}^2}}}\), \(M={m_{{\rm{Erde}}}} = 5{,}972 \cdot {10^{24}}\,{\rm{kg}}\), \(r = 42240\,{\rm{km}} = 4{,}224 \cdot {10^7}\,{\rm{m}}\) und \(r_{\rm{k}}=40000\,\rm{km}=4{,}000 \cdot {10^7}\,{\rm{m}}\).

a)

Aus\[{E_{{\rm{pot}}}}(r) =  - G \cdot m \cdot M \cdot \frac{1}{r}\]ergibt sich durch Einsetzen der gegebenen Werte\[{E_{{\rm{pot}}}}(r) =  - 6{,}674 \cdot {10^{ - 11}}\,\frac{{{{\rm{m}}^3}}}{{{\rm{kg}} \, {{\rm{s}}^2}}} \cdot 500{,}0\,{\rm{kg}} \cdot 5{,}972 \cdot {10^{24}}\,{\rm{kg}} \cdot \frac{1}{{4{,}224 \cdot {{10}^7}\,{\rm{m}}}} =  - 4{,}718 \cdot {10^9}\,{\rm{J}}\]Die Gesamtenergie ist auf einer stabilen Kreisbahn wegen \({E_{{\rm{ges}}}} = \frac{1}{2} \cdot {E_{{\rm{pot}}}}\)\[{E_{{\rm{ges}}}} =  - 2{,}359 \cdot {10^9}\,{\rm{J}}\]und die kinetische Energie wegen \({E_{{\rm{kin}}}}(r) = \left| {{E_{{\rm{ges}}}}} \right|\)\[{E_{{\rm{kin}}}}(r) = 2{,}359 \cdot {10^9}\,{\rm{J}}\]

b)

Der Betrag \({F_{\rm{G}}}(r)\) der Gravitationskraft berechnet sich wegen\[{F_{\rm{G}}}(r) = G \cdot m \cdot M \cdot \frac{1}{{{r^2}}} = \frac{{\left| {{E_{{\rm{pot}}}}} \right|}}{r}\]durch Einsetzen der gegebenen Werte zu\[{F_{\rm{G}}}(r) = \frac{{\left| { - 4{,}718 \cdot {{10}^9}\,{\rm{J}}} \right|}}{{4{,}224 \cdot {{10}^7}\,{\rm{m}}}} = 1{,}117 \cdot {10^2}\,{\rm{N}}\]Der Betrag \({F_{\rm{ZP}}}(r)\) der für die Kreisbewegung notwendigen Zentripetalkraft berechnet sich wegen\[{F_{{\rm{ZP}}}}(r) = m \cdot \frac{{{v^2}}}{r} = \frac{{2 \cdot {E_{{\rm{kin}}}}}}{r}\]durch Einsetzen der gegebenen Werte zu\[{F_{{\rm{ZP}}}}(r) = \frac{{2 \cdot 2{,}359 \cdot {{10}^9}\,{\rm{J}}}}{{4{,}224 \cdot {{10}^7}\,{\rm{m}}}} = 1{,}117 \cdot {10^2}\,{\rm{N}}\]Die Gravitation bringt also genau die notwenige Kraft auf, um als Zentripetalkraft für eine gleichförmige Kreisbewegung mit dem Radius \(r\) zu wirken.

c)

Wenn sich der Satellit nun auf einer Kreisbahn mit dem Abstand \(r_{\rm{k}}=4{,}000 \cdot 10^7\,\rm{m}\) vom Erdmittelpunkt bewegt, so beträgt seine potenzielle Energie nur noch\[{E_{{\rm{pot}}}}({r_{\rm{k}}}) =  - 6{,}674 \cdot {10^{ - 11}}\,\frac{{{{\rm{m}}^3}}}{{{\rm{kg}} \, {{\rm{s}}^2}}} \cdot 500{,}0\,{\rm{kg}} \cdot 5{,}972 \cdot {10^{24}}\,{\rm{kg}} \cdot \frac{1}{{4{,}000 \cdot {{10}^7}\,{\rm{m}}}} =  - 4{,}982 \cdot {10^9}\,{\rm{J}}\]Da die Gesamtenergie des Satelliten konstant bleiben soll, beträgt die kinetische Energie nun\[{E_{{\rm{kin}}}}({r_{\rm{k}}}) = {E_{{\rm{ges}}}} - {E_{{\rm{pot}}}}({r_{\rm{k}}}) =  - 2{,}359 \cdot {10^9}\,{\rm{J}} - \left( { - 4{,}982 \cdot {{10}^9}\,{\rm{J}}} \right) = 2{,}623 \cdot {10^9}\,{\rm{J}}\]

d)

Analog zu Aufgabenteil b) berechnet sich der Betrag \({F_{\rm{G}}}(r_{\rm{k}})\) der nun wirkenden Gravitationskraft zu\[{F_{\rm{G}}}(r_{\rm{k}}) = \frac{{\left| {{E_{{\rm{pot}}}}} \right|}}{r} \Rightarrow {F_{\rm{G}}} = \frac{{\left| { - 4{,}982 \cdot {{10}^9}{\rm{J}}} \right|}}{{4{,}000 \cdot {{10}^7}{\rm{m}}}} = 1{,}246 \cdot {10^2}{\rm{N}}\]und der Betrag \({F_{\rm{ZP}}}(r_{\rm{k}})\) der nun nötigen Zentripetalkraft zu\[{F_{{\rm{ZP}}}}(r_{\rm{k}}) = \frac{{2 \cdot {E_{{\rm{kin}}}}}}{r} \Rightarrow {F_{{\rm{ZP}}}} = \frac{{2 \cdot 2{,}623 \cdot {{10}^9}{\rm{J}}}}{{4{,}000 \cdot {{10}^7}{\rm{m}}}} = 1{,}312 \cdot {10^2}{\rm{N}}\]Man kann erkennen, dass die im Abstand \(r_{\rm{k}}\) wirkende Gravitatonskraft nicht mehr ausreicht, um den Satelliten auf der Kreisbahn mit diesem Radius zu halten. Der Satellit wird sich also so lange von der Erde wegbewegen, bis er sich wieder auf der stabilen Kreisbahn befindet. Analoge Ergebniss erhält man, wenn man einen Vergleich von Gravitationskraft und Zentripetalkraft für eine größeren Kreisradius \(r_{\rm{k}}\) berechnet. Dann ist die Gravitationskraft größer als die notwendige Zentripetalkraft und der Satellit wird sich so lange zur Erde hinbewegen, bis er wieder auf der stabilen Kreisbahn befindet.