Mechanik

Erhaltungssätze und Stöße

Kraftstoß

  • Warum ist die Energieerhaltung ein so wichtiges Prinzip?
  • Was versteht man eigentlich unter dem Rückstoßprinzip?
  • Was hat Billardspielen mit der Impulserhaltung zu tun?

Kraftstoß

1 Impulsänderung eines sich bewegenden Wagens, auf den kurzzeitig eine Kraft wirkt

Der Impulserhaltungssatz besagt, dass in einem abgeschlossenen System der Impuls eine Erhaltungsgröße ist.

Was passiert nun, wenn auf das abgeschlossene System (im Beispiel ein reibungsfrei beweglicher Wagen) von außen eine Kraft wirkt?

Sie werden richtig vermuten, dass sich hierdurch der Impuls des Systems ändert. Der genaue Zusammenhang zwischen Impulsänderung und Kraft soll nun hergeleitet werden.

Hinweis: Das rosafarbene Rechteck soll das abgeschlossene System symbolisieren, in das von außen eingegriffen wird.

Wirkt auf den Wagen während der Wechselwirkung mit dem Hammer die Kraft F, so kann man nach dem newtonschen Kraftgesetz schreiben
\[F = m \cdot a\]
Nimmt man vereinfachend an, dass die Beschleunigung des Wagens während der Wechselwirkungsdauer \(\Delta t\) konstant ist, so gilt auch
\[F = m \cdot \frac{{\Delta v}}{{\Delta t}} \Leftrightarrow F \cdot \Delta t = m \cdot \Delta v\]
Dabei ist \(\Delta v = {v_e} - {v_a}\)

 

Das Produkt auf der linken Seite der letzten Gleichung wird als Kraftstoß bezeichnet, die rechte Gleichungsseite stellt die Impulsänderung \(\Delta p\) dar. Somit gilt unter Berücksichtigung des Vektorcharakters von Kraft und Impulsänderung:

Kraftstoß = Impulsänderung
\[\vec F \cdot \Delta t = \Delta \vec p\]

Hinweis: Obige Formel lässt sich auch in der Form \(F = \frac{{\Delta p}}{{\Delta t}}\) schreiben. Sie stellt eine Verallgemeinerung des Kraftgesetzes \(F = m \cdot a\) dar, da sie nicht nur den Zusammenhang zwischen Kraft und Geschwindigkeitsänderung, sondern auch den Zusammenhang zwischen Kraft und Massenänderung beschreibt. Dies ist dann von Interesse, wenn der beschleunigte Körper seine Masse nicht beibehält (vgl. Raketenphysik).

Anwendungen

Eine bestimmte Impulsänderung (z.B. 100 Ns) kann erreicht werden, indem man eine große Kraft (z.B. 1000 N) für eine kurze Zeit (z.B. 0,1 s) oder eine kleinere Kraft (z.B. 100 N) für eine längere Zeit (z.B. 1 s) wirken lässt.

Bei einem Unfall kann der Impuls eines Autofahrers auf Null reduziert werden, indem er auf seine Windschutzscheibe "knallt". Dieser Vorgang läuft in sehr kurzer Zeit ab, die wirkende Kraft ist daher entsprechend groß.

Löst dagegen der Airbag aus, so läuft der Abbremsvorgang des Fahrers über eine längere Zeit, wodurch die wirkende Kraft entsprechend kleiner ist.

Aus diesem Grund hat man auch Kletterseile bis zu einem gewissen Grad elastisch gemacht, so dass bei einem Sturz ins Seil der Abbremsvorgang länger dauert und dadurch die Kraft auf den Gestürzten kleiner wird.

Beim Zusammenstoß eines Autos mit einer Wand könnte man vielleicht meinen, dass der links dargestellte Fall für die Insassen ungünstiger ist. Dies ist jedoch ein Trugschluss, da im linken Fall die Impulsänderung kleiner ist als im rechten Fall. Dementsprechend ist auch die Wechselwirkungskraft bei gleicher Wechselwirkungsdauer im rechten Fall größer.

Aufgabe: Sicherheitsgurt

Das nebenstehende \(t\)-\(F\)-Diagramm zeigt den Verlauf der Kraft auf einen Autofahrer bei einem Frontalzusammenstoß, einmal mit und einmal ohne Sicherheitsgurt.

Begründe mit Hilfe der obigen Formulierung des Kraftgesetzes, wie dieser Unterschied zustande kommt.

 
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