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Aufgabe

A4-Rakete

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

Bei der A4-Rakete strömten die Verbrennungsgase mit einer Geschwindigkeit von \(2{,}0\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{s}}}\) aus.

a)Berechne, wie viel Treibstoff pro Sekunde verbrannt werden musste, wenn die Rakete eine Schubkraft von \(2{,}0 \cdot {10^5}\,{\rm{N}}\) entwickeln sollte.

b)Berechne die Brenndauer, wenn die Rakete \(5{,}0\,{\rm{t}}\) Treibstoff enthielt.

c)Die Masse der vollgetankten Rakete betrug \(10\,{\rm{t}}\).

Berechne, mit welcher Beschleunigung die Rakete in lotrechter Richtung vom Startplatz abhob.

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a)Die pro Sekunde verbrannte Treibstoffmenge berechnet man mit Hilfe der NEWTONschen Formulierung seines 2.Axioms; dort gilt\[\bar F = \frac{{\Delta \left( {m \cdot v} \right)}}{{\Delta t}} = \frac{{\Delta m \cdot v}}{{\Delta t}} \Leftrightarrow \frac{{\Delta m}}{{\Delta t}} = \frac{{\bar F}}{v}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[\frac{{\Delta m}}{{\Delta t}} = \frac{{2{,}0 \cdot {{10}^5}\,{\rm{N}}}}{{2{,}0 \cdot {{10}^3}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}} = 1{,}0 \cdot {10^2}\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{\rm{s}}}\]

b)Die Brenndauer berechnet sich leicht als Quotient aus der gesamten und der pro Sekunde ausströmenden Treibstoffmasse:\[\Delta t = \frac{{{m_{{\rm{ges}}}}}}{{\frac{{\Delta m}}{{\Delta t}}}} \Rightarrow \Delta t = \frac{{5{,}0 \cdot {{10}^3}\,{\rm{kg}}}}{{1{,}0 \cdot {{10}^2}\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{\rm{s}}}}} = 50\,{\rm{s}}\]

c)Zur Berechnung der Startbeschleunigung berechnet man zuerst die zur Beschleunigung zur Verfügung stehende Kraft; dies ist die Differenz aus der Schubkraft und der Gewichtskraft der Rakete \[F = {F_{{\rm{Schub}}}} - {F_{\rm{G}}} = {F_{{\rm{Schub}}}} - m \cdot g\]Dann ergibt sich mit dem 2. NEWTONschen Axiom\[F = m \cdot a \Leftrightarrow a = \frac{F}{m} \Rightarrow a = \frac{{{F_{{\rm{Schub}}}} - m \cdot g}}{m}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[a = \frac{{20 \cdot {{10}^4}\,{\rm{N}} - 10 \cdot {{10}^3}\,{\rm{kg}} \cdot 9{,}8\,\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}}}}{{10 \cdot {{10}^3}\,{\rm{kg}}}} = 10\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Impulserhaltung und Stöße