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Aufgabe

Junge im Boot

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Ein Junge mit der Masse \(50\,\rm{kg}\) steht in einem Boot mit der Masse \(150\,\rm{kg}\), das im Wasser ruht.

a)Der Junge geht nun mit der Geschwindigkeit \({0{,}75\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}\) - vom Wasser aus betrachtet - im Boot nach rechts (positive Richtung).

Gib an, wie sich das Boot verhält.

Berechne die Geschwindigkeit des Bootes relativ zum Wasser.

Berechne die Geschwindigkeit des Jungen relativ zum Boot.

b)Der Junge bleibt wieder stehen. Wie verhält sich das Boot?

c)Durch einen flachen Sprung springt er dann ans Ufer. Das Boot erhält dadurch einen Geschwindigkeitsbetrag von \({0{,}40\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}\).

Berechne, mit welcher Geschwindigkeit der Junge abgesprungen ist.

Berechne, mit welcher mittleren Kraft der Absprung erfolgte, wenn dieser \(0{,}30\,\rm{s}\) dauerte?

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a)Das Boot bewegt sich aufgrund des Impulserhaltungssatzes nach links (negative \(x\)-Richtung). Berechnung der Bootsgeschwindigkeit \({u_{\rm{B}}}\) relativ zum Wasser mit Hilfe des Impulserhaltungssatzes: Da die Summe aller Impulse vor dem Abdrücken gleich der Summe aller Impulse nachd em Abdrücke ist, gilt
\[0 = {m_{\rm{B}}} \cdot {u_{\rm{B}}} + {m_{\rm{J}}} \cdot {u_{\rm{J}}} \Leftrightarrow {u_{\rm{B}}} =  - \frac{{{m_{\rm{J}}}}}{{{m_{\rm{B}}}}} \cdot {u_{\rm{J}}}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[{u_{\rm{B}}} =  - \frac{{50{\rm{kg}}}}{{150{\rm{kg}}}} \cdot 0,75\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} =  - 0,25\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
Berechnung der Geschwindigkeit \({u_{\rm{J}}}^*\) des Jungen relativ zum Boot: Die Relativgeschwindigkeit des "Systems Boot" zum Wasser ist \({u_{{\rm{B}}{\rm{,W}}}} =  - 0,25\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\); somit gilt
\[{u_{\rm{J}}} = {u_{{\rm{B}}{\rm{,W}}}} + {u_{\rm{J}}}^* \Leftrightarrow {u_{\rm{J}}}^* = {u_{\rm{J}}} - {u_{{\rm{B}}{\rm{,W}}}} \Rightarrow {u_{\rm{J}}}^* = 0,75\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} - \left( { - 0,25\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right) = 1{,}0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]

b)Das Boot muss auch wieder zum Stehen kommen. Es handelt sich um ein abgeschlossenes System, auf das keine äußeren Kräfte wirken. Somit muss der Gesamtimpuls erhalten bleiben. Da dieser vorher Null war, muss er nachher auch Null sein. Da der ruhende Junge keinen Impuls hat, darf auch das Boot keinen Impuls haben.

c)Berechnung der Absprunggeschwindigkeit des Jungen: Es ergibt sich analog zu Teilaufgabe a)
\[{u_{\rm{J}}} =  - \frac{{{m_{\rm{B}}}}}{{{m_{\rm{J}}}}} \cdot {u_{\rm{B}}} \Rightarrow {u_{\rm{J}}} =  - \frac{{150{\rm{kg}}}}{{50{\rm{kg}}}} \cdot \left( { - 0,40\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right) = 1{,}2\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
Berechnung des Betrags der Absprungkraft:
\[\bar F \cdot \Delta t = {m_{\rm{J}}} \cdot \Delta v \Leftrightarrow \bar F = \frac{{{m_{\rm{J}}} \cdot \Delta v}}{{\Delta t}} \Rightarrow \bar F = \frac{{50{\rm{kg}} \cdot \left( {1,2\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} - 0\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}}{{0,30{\rm{s}}}} = 0{,}20\,{\rm{kN}}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Impulserhaltung und Stöße