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Grundwissen

Zentraler vollkommen unelastischer Stoß

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Abb. 1 Zentraler vollkommen unelastischer Stoß

Wir bezeichen einen unelastischen Stoß als vollkommen unelastisch, wenn sich die beiden Stoßpartner nach dem Stoß mit gleicher Geschwindigkeit in die gleiche Richtung bewegen (Abb. 1). Dieser Sonderfall liegt z.B. vor, wenn sich die Stoßpartner beim Stoß ineinander verhaken und sich zusammen weiterbewegen müssen.

Für einen vollkommen unelastischen Stoß gilt deshalb für die Werte \({v_1}^\prime\) und \({v_2}^\prime\) im Impulserhaltungssatz \((1)\) und im Energieerhaltungsatz \((2)\)\[{v_1}^\prime = {v_2}^\prime =:v^\prime\]und für den Wert \(\Delta E\) im Energieerhaltungsatz \((2)\)\[\Delta E > 0\]

Impulserhaltungssatz \((1)\) und Energieerhaltungssatz \((2)\) stellen zwei unabhängige Gleichungen dar. Aus diesen lassen sich nun - je nach bekannten Vorgaben - zwei beliebige Unbekannte berechnen. Meist sind die Massen \(m_1\) und \(m_2\) sowie die Geschwindigkeiten \(v_1\) und \(v_2\) vor dem Stoß bekannt. Dann lässt sich aus dem Impulserhaltungssatz \((1)\) leicht die unbekannte Geschwindigkeit \(v^\prime\) nach dem Stoß und danach mit dem Energieerhaltungssatz \((2)\) die Änderung der inneren Energie \(\Delta E\) berechnen.

Zentraler vollkommen unelastischer Stoß

Wir bezeichen einen unelastischen Stoß als vollkommen unelastisch, wenn sich die beiden Stoßpartner nach dem Stoß mit gleicher Geschwindigkeit in die gleiche Richtung bewegen. Dieser Sonderfall liegt z.B. vor, wenn sich die Stoßpartner beim Stoß ineinander verhaken und sich zusammen weiterbewegen müssen.

Für die Geschwindigkeiten \({v_1}^\prime\) und \({v_2}^\prime\) im Impulserhaltungssatz \((1)\) und im Energieerhaltungsatz \((2)\) gilt deshalb\[{v_1}^\prime = {v_2}^\prime =:v^\prime\]und für den Wert \(\Delta E\) im Energieerhaltungsatz \((2)\) gilt deshalb\[\Delta E > 0\]

Somit lautet der Impulserhaltungssatz für den zentralen vollkommen unelastischen Stoß\[{m_1} \cdot {v_1} + {m_2} \cdot {v_2} = \left( {{m_1} + {m_2}} \right) \cdot v^\prime\]und der Energieerhaltungssatz für den zentralen vollkommen unelastischen Stoß\[\frac{1}{2} \cdot {m_1} \cdot {v_1}^2 + \frac{1}{2} \cdot {m_2} \cdot {v_2}^2 = \frac{1}{2} \cdot \left( {{m_1} + {m_2}} \right) \cdot {{v^\prime}^2} + \Delta E\;\;\rm{mit}\;\;\Delta E >0\]Dabei sind \({m_1}\) und \({m_2}\) die Massen der beiden Stoßpartner, \({{v_1}}\) und \({{v_2}}\) die Geschwindigkeiten der beiden Stoßpartner vor dem Stoß, \({{v}^\prime}\) die Geschwindigkeit der beiden Stoßpartner nach dem Stoß und \(\Delta E\) die innere Energie der beiden Stoßpartner nach dem Stoß.

Dieses System aus zwei Gleichungen lässt sich z.B. nach den Größen \(v^\prime\) und \(\Delta E\) auflösen (vgl. die entsprechende Erarbeitungsaufgabe) . Man erhält\[v^\prime = \frac{{{m_1} \cdot {v_1} + {m_2} \cdot {v_2}}}{{{m_1} + {m_2}}}\]\[\Delta E = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{m_1} \cdot {m_2}}}{{{m_1} + {m_2}}} \cdot {\left( {{v_1} - {v_2}} \right)^2}\]

Hinweise

Bei den konkreten Rechnungen führt man eine positive Zählrichtung z.B. von links nach rechts ein. Alle Geschwindigkeiten und Impulse in diese Richtung werden positiv gezählt, alle Geschwindigkeiten und Impulse in die Gegenrichtung zählt man negativ.

Bei den Rechnungen zu den folgenden Sonderfällen oder bei der Lösung von Aufgaben zu zentralen vollkommen unelastischen Stößen kann dir ein Computeralgebrasystem wie z.B. GeoGebra CAS gute Dienste leisten. Mit wenigen Befehlen kannst du die Rechnungen online selbst durchführen. Wir bieten dir hier eine Rechenvorlage an, die du herunterladen und mit der du dann arbeiten kannst.

Sonderfälle

Sonderfall 1

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Abb. 2 Zentraler vollkommen unelastischer Stoß mit \(m_1=m_2\) und \(v_2 = 0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\)

Körper 1 und Körper 2 haben die gleiche Masse: \({m_1} = {m_2} =: m\)

Körper 2 ruht vor dem Stoß: \({v_2} = 0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\)

Ergebnis  (vgl. die entsprechende Erarbeitungsaufgabe)\[v^\prime = \frac{1}{2} \cdot {v_1}\]\[\Delta E = \frac{1}{4} \cdot m \cdot {v_1}^2\]Die beiden Körper bewegen sich nach der Wechselwirkung mit "halber Geschwindigkeit" weiter; beim Stoß wird die Hälfte der ursprünglich vorhandenen kinetischen Energie in innere Energie umgesetzt.

Sonderfall 2

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Abb. 3 Zentraler vollkommen unelastischer Stoß mit \(m_1=m_2\) und \(v_2 = -v_1\)

Körper 1 und Körper 2 haben die gleiche Masse: \(m_1 = m_2 =: m\)

Körper 1 und Körper 2 haben vor dem Stoß gleich große, aber entgegengesetzt gerichtete Geschwindigkeiten: \(v_2 = -v_1\)

Ergebnis (vgl. die entsprechende Erarbeitungsaufgabe)\[v^\prime = 0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]\[\Delta E = m \cdot {{v_1}^2}\]Die beiden Körper ruhen nach der Wechselwirkung; beim Stoß wird die gesamte, ursprünglich vorhandene kinetische Energie in innere Energie umgesetzt.

Sonderfall 3

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Abb. 4 Zentraler vollkommen unelastischer Stoß mit \({m_1} \ll {m_2}\) und \(v_2 = 0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\)

Körper 1 hat eine wesentlich kleinere Masse als Körper 2: \({m_1} \ll {m_2}\)

Körper 2 ruht vor dem Stoß: \({v_2} = 0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\)

Ergebnis (vgl. die entsprechende Erarbeitungsaufgabe)\[v^\prime = 0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]\[\Delta E = \frac{1}{2} \cdot {m_1} \cdot {v_1}^2\]Die beiden Körper ruhen nach der Wechselwirkung; beim Stoß wird die gesamte, ursprünglich vorhandene kinetische Energie in innere Energie umgesetzt.