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Aufgabe

Auffahrunfall

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

Eine schwere Limousine der Masse \(1{,}5\,{\rm{t}}\) fährt mit einer Geschwindigkeit von \(150\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\) von hinten auf ein in gleicher Richtung fahrendes Auto der Masse \(800\,{\rm{kg}}\) und der Geschwindigkeit \(80\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\) auf und verhakt sich mit diesem.

Berechne die gemeinsame Geschwindigkeit der beiden Fahrzeuge unmittelbar nach dem Aufprall und die bei diesem Zusammenstoß entwertete kinetische Energie.

Hinweis: Bei der Lösung dieser Aufgabe kann dir ein Computeralgebrasystem wie z.B. GeoGebra CAS gute Dienste leisten. Mit wenigen Befehlen kannst du die Rechnungen online selbst durchführen.

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Bei der Lösung der Aufgabe setzen wir alle Geschwindigkeiten positiv.

Aus dem Impulserhaltungssatz für den vollkommen unelastischen Stoß\[{m_1} \cdot {v_1} + {m_2} \cdot {v_2} = \left( {{m_1} + {m_2}} \right) \cdot {v^\prime } \Leftrightarrow {v^\prime } = \frac{{{m_1} \cdot {v_1} + {m_2} \cdot {v_2}}}{{{m_1} + {m_2}}}\]ergibt sich nach Einsetzen der gegebenen Werte\[{v^\prime } = \frac{{1500\,{\rm{kg}} \cdot 150\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}} + 800\,{\rm{kg}} \cdot 80\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}}}{{1500\,{\rm{kg}} + 800\,{\rm{kg}}}} = 126\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\]Mit diesem Ergebnis ergibt sich aus dem Energieerhaltungssatz für den vollkommen unelastischen Stoß\[\frac{1}{2} \cdot {m_1} \cdot {v_1}^2 + \frac{1}{2} \cdot {m_2} \cdot {v_2}^2 = \frac{1}{2} \cdot \left( {{m_1} + {m_2}} \right) \cdot {v^\prime }^2 + \Delta E \Leftrightarrow \Delta E = \frac{1}{2} \cdot {m_1} \cdot {v_1}^2 + \frac{1}{2} \cdot {m_2} \cdot {v_2}^2-\frac{1}{2} \cdot \left( {{m_1} + {m_2}} \right) \cdot {v^\prime }^2\]nach Einsetzen der gegebenen Größen\[\Delta E = \frac{1}{2} \cdot 1500\,{\rm{kg}} \cdot {\left( {150\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}} \right)^2} + \frac{1}{2} \cdot 800\,{\rm{kg}} \cdot {\left( {80\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}} \right)^2}-\frac{1}{2} \cdot \left( {1500\,{\rm{kg}} + 800\,{\rm{kg}}} \right) \cdot {\left( {126\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}} \right)^2} = 1200000\,{\rm{kg}} \cdot {\left( {\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}} \right)^2}\]Rechnen wir die \({\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}}\) noch in \({\frac{{{\rm{m}}}}{{\rm{s}}}}\) um, so erhalten wir\[\Delta E = 1200000\,{\rm{kg}} \cdot {\left( {\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}} \right)^2} = 1200000\,{\rm{kg}} \cdot {\left( {\frac{1}{{3{,}6}}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)^2} = 93000\,{\rm{J}} = 93\,{\rm{kJ}}\]

Die Lösung der Aufgabe mit GeoGebra findest du hier.