Damit ein Fußball mit der Masse \({m_{\rm{B}}} = 550\,{\rm{g}}\) nicht ins Tor geht, springt der Torwart mit der Masse \({m_{\rm{T}}} = 60\,{\rm{kg}}\) nach oben in Richtung der Ecke seines Tores, Er fängt den Ball gerade in dem Augenblick, in dem er selbst seinen höchsten Punkt erreicht hat und der Ball gerade die horizontale Geschwindigkeit \({v_{{\rm{B}}{\rm{,x}}}} = 35\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) hat.
a)
Berechne den Betrag \({v_{{\rm{0,x}}}}\) der Geschwindigkeit, mit der Ball und Torwart unmittelbar nach dem als sehr kurz angenommenen Fangvorgang der Dauer \(\Delta t = 0{,}01\,{\rm{s}}\) in horizontaler Richtung auf das Tor zufliegen.
b)
Berechne den Betrag der mittleren Kraft, die während des Fangvorganges auf den Torwart wirkt.
c)
Der Fangvorgang findet \(0{,}2\,{\rm{m}}\) vor der Torlinie statt und die Füße des Torwarts sind als tiefster Punkt des Torhüters dabei in einer Höhe von \(h = 0{,}75\,\rm{m}\).
Untersuche rechnerisch, ob der Torwart mit dem Ball vor oder hinter der Torlinie landet.
Beim Fangen des Balls gilt die Impulserhaltung, daher ergibt sich
\[{p_{\rm{B}}} = {p_0} \Leftrightarrow {m_{\rm{B}}} \cdot {v_{{\rm{Bx}}}} = \left( {{m_{\rm{B}}} + {m_{\rm{T}}}} \right) \cdot {v_{{\rm{0}}{\rm{,x}}}} \Leftrightarrow {v_{{\rm{0}}{\rm{,x}}}} = \frac{{{m_{\rm{B}}} \cdot {v_{{\rm{Bx}}}}}}{{{m_{\rm{B}}} + {m_{\rm{T}}}}} \Rightarrow {v_{{\rm{0}}{\rm{,x}}}} = \frac{{0{,}55\,{\rm{kg}} \cdot 35\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{0{,}55{\rm{kg}} + 60\,{\rm{kg}}}} = 0{,}32\, \frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
b)
Die Kraft ergibt sich durch das Abbremsen des Balls beim Fangen. Daher gilt
\[F = {m_{\rm{B}}} \cdot a = {m_{\rm{B}}} \cdot \frac{{\Delta v}}{{\Delta t}} = {m_{\rm{B}}} \cdot \frac{{{v_{{\rm{B}}{\rm{,x}}}} - {v_{{\rm{0}}{\rm{,x}}}}}}{{\Delta t}} \Rightarrow F = 0,55{\rm{kg}} \cdot \frac{{35\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} - 0{,}32\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{0{,}01\,{\rm{s}}}} = 1900\,{\rm{N}}\]
c)
Der Torwart muss landen, bevor er sich mitsamt dem Ball über die Torlinie bewegt hat.
\[h = \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2} \Rightarrow t = \sqrt {\frac{{2 \cdot h}}{g}}\Rightarrow t = \sqrt {\frac{{2 \cdot 0{,}75\,{\rm{m}}}}{{9{,}81\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}}} = 0{,}39\,{\rm{s}}\]
In dieser Zeit legt er in \(x\)-Richtung auf das Tor die Strecke \( l \) zurück:
\[l = {v_{{\rm{0,x}}}} \cdot t \Rightarrow l = 0{,}32\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot 0{,}39\,{\rm{s}} = 0{,}12\,{\rm{m}} < 0{,}2\,{\rm{m}}\]
Der Torwart landet also vor der Torlinie.
