Ein Fadenpendel mit \(l = 2{,}0\,{\rm{m}}\) und \({m_1} = 1{,}0\,{\rm{kg}}\) wird in der Höhe \({h_1} = 0{,}80\,{\rm{m}}\) über seinem tiefsten Bahnpunkt losgelassen. Im tiefsten Punkt zerschneidet dazu die Rasierklinge R den Faden. Die Kugel landet in einem sandgefüllten Wagen der Masse \({m_2} = 3{,}0\,{\rm{kg}}\), der nach dem Einschlag auf der horizontalen Bahn (Rollreibungskoeffizient \({\mu _{{\rm{RR}}}} = 0{,}050\)) wegrollt. Die Höhe \(h_2\) beträgt \(5{,}0\,\rm{m}\).
a)
Berechne, wie lang die Strecken \(w\) sein muss, damit Wagen getroffen wird.
b)
Berechne, wie weit der Wagen nach dem völlig unelastischen Aufprall der Kugel noch weiterrollt.
Die Weite \(w\) ergibt sich aus der horizontalen Geschwindigkeit \(v_1\) des Pendels im tiefsten Punkt, also der Fluggeschwindigkeit der Kugel, und ihrer Fallzeit \(t\). Die Geschwindigkeit folgt über die Energieerhaltung. Beim Loslassen besitzt das Pendel nur potentielle, beim Nulldurchgang nur kinetische Energie:\[{E_{{\rm{pot}}}} = {E_{{\rm{kin}}}} \Leftrightarrow m \cdot g \cdot {h_1} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {{v_1}^2} \Rightarrow v_1 = \sqrt {2 \cdot g \cdot {h_1}} \]Für die Fallzeit folgt aus dem Weg-Geschwindigkeits-Gesetz\[{h_2} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2} \Rightarrow t = \sqrt {\frac{{2 \cdot {h_2}}}{g}} \]Die Weite ergibt sich durch\[w = v_1 \cdot t = \sqrt {2 \cdot g \cdot {h_1}} \cdot \sqrt {\frac{{2 \cdot {h_2}}}{g}} = 2 \cdot \sqrt {{h_1} \cdot {h_2}} \Rightarrow w = 2 \cdot \sqrt {0{,}80\,{\rm{m}} \cdot 5{,}0\,{\rm{m}}} = 4{,}0\,{\rm{m}}\]
b)
Der Wagen bleibt stehen, wenn seine kinetische Energie durch den Rollwiderstand entlang des Weges vollständig verbraucht worden ist; die für die Berechnung dieser kinetischen Energie notwendige Geschwindigkeit \(v_2\) des Wagens nach dem vollkommen unelastischen Stoß ergibt sich aus der Impulserhaltung; relevant ist hierbei nur der Impuls der Kugel in horizontaler Richtung:\[{p_1} = {p_2} \Leftrightarrow {m_1} \cdot {v_1} = \left( {{m_1} + {m_2}} \right) \cdot {v_2} \Leftrightarrow {v_2} = \frac{{{m_1}}}{{\left( {{m_1} + {m_2}} \right)}} \cdot {v_1} = \frac{{{m_1}}}{{\left( {{m_1} + {m_2}} \right)}} \cdot \sqrt {2 \cdot g \cdot {h_1}} \]Einsetzen der gegebene Werte liefert\[{v_2} = \frac{{1{,}0\,{\rm{kg}}}}{{\left( {1{,}0\,{\rm{kg}} + 3{,}0\,{\rm{kg}}} \right)}} \cdot \sqrt {2 \cdot 9{,}81\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 0{,}80\,{\rm{m}}} = 1{,}0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]Damit ergibt sich nun\[{E_{{\rm{kin}}}} = {F_{\rm{R}}} \cdot s \Leftrightarrow s = \frac{{{E_{{\rm{kin}}}}}}{{{F_{\rm{R}}}}} = \frac{{\frac{1}{2} \cdot \left( {{m_1} + {m_2}} \right) \cdot {v_2}^2}}{{{F_{\rm{G}}} \cdot {\mu _{\rm{R}}}}} = \frac{{\frac{1}{2} \cdot \left( {{m_1} + {m_2}} \right) \cdot {v_2}^2}}{{\left( {{m_1} + {m_2}} \right) \cdot g \cdot {\mu _{\rm{R}}}}} = \frac{{{v_2}^2}}{{2 \cdot g \cdot {\mu _{\rm{R}}}}}\]Einsetzen der gegebenen und berechneten Werte liefert\[s = \frac{{{{\left( {1{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}} \right)}^2}}}{2 \cdot 9{,}81\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2} \cdot 0{,}050} = 1{,}0\,\rm{m}\]
