Aus dem Impulserhaltungssatz \((1)\) folgt durch Ausklammern und Umstellen\[\begin{eqnarray}{m_1} \cdot {v_1} + {m_2} \cdot {v_2} &=& {m_1} \cdot {v^\prime} + {m_2} \cdot {v^\prime}\\ \Leftrightarrow {m_1} \cdot {v_1} + {m_2} \cdot {v_2} &=& {v^\prime} \cdot \left( {{m_1} + {m_2}} \right)\\ \Leftrightarrow {v^\prime} &=& \frac{{{m_1} \cdot {v_1} + {m_2} \cdot {v_2}}}{{{m_1} + {m_2}}}\quad(3)\end{eqnarray}\]Auflösen des Energieerhaltungssatzes \((2)\) nach \(\Delta E\) sowie Ausklammern ergibt\[\begin{eqnarray}\Delta E &=& \frac{1}{2} \cdot {m_1} \cdot {v_1}^2 + \frac{1}{2} \cdot {m_2} \cdot {v_2}^2 - \left( {\frac{1}{2} \cdot {m_1} \cdot {{v^\prime}^2} + \frac{1}{2} \cdot {m_2} \cdot {{v^\prime}^2}} \right)\\ &=& \frac{1}{2} \cdot {m_1} \cdot {v_1}^2 + \frac{1}{2} \cdot {m_2} \cdot {v_2}^2 - \frac{1}{2} \cdot {{v^\prime}^2}\left( {{m_1} + {m_2}} \right)\\ &=& \frac{1}{2} \cdot \left( {{m_1} \cdot {v_1}^2 + {m_2} \cdot {v_2}^2 - {{v^\prime}^2}\left( {{m_1} + {m_2}} \right)} \right)\quad(4)\end{eqnarray}\]Setzt man \((3)\) in Gleichung \((4)\) ein, so erhält man\[\begin{eqnarray}\Delta E &=& \frac{1}{2} \cdot \left( {{m_1} \cdot {v_1}^2 + {m_2} \cdot {v_2}^2 - {{\left( {\frac{{{m_1} \cdot {v_1} + {m_2} \cdot {v_2}}}{{{m_1} + {m_2}}}} \right)}^2}\left( {{m_1} + {m_2}} \right)} \right)\\ &=& \frac{1}{2} \cdot \left( {{m_1} \cdot {v_1}^2 + {m_2} \cdot {v_2}^2 - \frac{{{{\left( {{m_1} \cdot {v_1} + {m_2} \cdot {v_2}} \right)}^2}}}{{{m_1} + {m_2}}}} \right)\\ &=& \frac{1}{2} \cdot \left( {\frac{{\left( {{m_1} \cdot {v_1}^2 + {m_2} \cdot {v_2}^2} \right) \cdot \left( {{m_1} + {m_2}} \right)}}{{{m_1} + {m_2}}} - \frac{{{{\left( {{m_1} \cdot {v_1} + {m_2} \cdot {v_2}} \right)}^2}}}{{{m_1} + {m_2}}}} \right)\\ &=& \frac{1}{2} \cdot \left( {\frac{{{m_1}^2 \cdot {v_1}^2 + {m_1} \cdot {m_2} \cdot {v_2}^2 + {m_1} \cdot {m_2} \cdot {v_1}^2 + {m_2}^2 \cdot {v_2}^2}}{{{m_1} + {m_2}}} - \frac{{{m_1}^2 \cdot {v_1}^2 + 2 \cdot {m_1} \cdot {m_2} \cdot {v_1} \cdot {v_2} + {m_2}^2 \cdot {v_2}^2}}{{{m_1} + {m_2}}}} \right)\\ &=& \frac{1}{2} \cdot \left( {\frac{{{m_1} \cdot {m_2} \cdot {v_1}^2 - 2 \cdot {m_1} \cdot {m_2} \cdot {v_1} \cdot {v_2} + {m_1} \cdot {m_2} \cdot {v_2}^2}}{{{m_1} + {m_2}}}} \right)\\ &=& \frac{1}{2} \cdot \left( {\frac{{{m_1} \cdot {m_2} \cdot \left( {{v_1}^2 - 2 \cdot {v_1} \cdot {v_2} + {v_2}^2} \right)}}{{{m_1} + {m_2}}}} \right)\\ &=& \frac{1}{2} \cdot \left( {\frac{{{m_1} \cdot {m_2} \cdot {{\left( {{v_1} - {v_2}} \right)}^2}}}{{{m_1} + {m_2}}}} \right)\\ &=& \frac{1}{2} \cdot \frac{{{m_1} \cdot {m_2}}}{{{m_1} + {m_2}}} \cdot {\left( {{v_1} - {v_2}} \right)^2}\end{eqnarray}\]
Die Lösung der Aufgabe mit GeoGebra findest du hier.
