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Aufgabe

Bodycheck

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Beim Eishockey prallt ein unvorsichtiger Spieler (\(80\,{\rm{kg}}\)) in vollem Lauf gegen den ahnungslos dastehenden Schiedsrichter (\(70\,{\rm{kg}}\)). Beide rutschen (\({\mu _{{\rm{GR}}}} = 0{,}1\)) nach dem Zusammenprall gemeinsam noch \(4\,\rm{m}\) weit über das Eis, bis sie, zum Glück unverletzt, zur Ruhe kommen.

a)Berechne die Geschwindigkeit, mit der sich Spieler und Schiedsrichter direkt nach dem Stoß bewegen (Kontrollergebnis: \(2{,}8\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\)).

b)Berechne die Geschwindigkeit des Spielers vor dem Bodycheck und die bei diesem Bodycheck entwertete kinetische Energie.

Hinweis: Bei der Lösung dieser Teilaufgabe kann dir ein Computeralgebrasystem wie z.B. GeoGebra CAS gute Dienste leisten. Mit wenigen Befehlen kannst du die Rechnungen online selbst durchführen.

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Wir nutzen folgende Bezeichnungen: \({{m_1} = {m_1}^\prime = 80\,{\rm{kg}}}\), \({{m_2} = {m_2}^\prime=70\,{\rm{g}} = 0{,}010\,{\rm{kg}}}\), \(m=m_1+m_2\), \({{v_2} = 0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}\), \({{v_1}^\prime = {v_2}^\prime = {v^\prime}}\).

a)Wir nehmen an, dass es sich beim "Bremsen" von Spieler und Schiedsrichter um eine gleichmäßig verzögerte Bewegung mit der Anfangsgeschwindigkeit \(v_0=v\) und der Endgeschwindigkeit \(v_{\rm{E}} = 0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) handelt. Für die Verzögerung bei dieser Bewegung gilt\[a = \frac{F}{m} = \frac{{ - m \cdot g \cdot {\mu _{{\rm{GR}}}}}}{m} = - g \cdot {\mu _{{\rm{GR}}}}\quad(1)\]Weiter gilt die Bewegungsgleichung\[{v_{\rm{E}}^2} - {v_0}^2 = 2 \cdot a \cdot s \Leftrightarrow {v_0} = \sqrt { - 2 \cdot a \cdot s - {v_{\rm{E}}^2}} \]und mit Gleichung \((1)\)\[{v_0} = \sqrt { - 2 \cdot \left( { - g \cdot {\mu _{{\rm{GR}}}}} \right) \cdot s - {v_{\rm{E}}^2}} \]Einsetzen der gegebenen Werte liefert mit \(v_0={v^\prime}\)\[{v^\prime} = \sqrt { - 2 \cdot \left( { - 9{,}81\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot {\mu _{{\rm{GR}}}}} \right) \cdot 4{,}0\,{\rm{m}} - {{\left( {0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}} = 2{,}8\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]

b)Bei der Lösung der Aufgabe setzen wir alle Geschwindigkeiten positiv.

Aus dem Impulserhaltungssatz für den vollkommen unelastischen Stoß\[{m_1} \cdot {v_1} + {m_2} \cdot {v_2} = \left( {{m_1} + {m_2}} \right) \cdot {v^\prime } \Leftrightarrow {v_1} = \frac{{\left( {{m_1} + {m_2}} \right) \cdot v' - {m_2} \cdot {v_2}}}{{{m_1}}}\]ergibt sich nach Einsetzen der gegebenen Werte\[{v_1} = \frac{{\left( {80\,{\rm{kg}} + 70\,{\rm{kg}}} \right) \cdot 2{,}8\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} - 70\,{\rm{kg}} \cdot 0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{80\,{\rm{kg}}}} = 5{,}3\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]Mit diesem Ergebnis ergibt sich aus dem Energieerhaltungssatz für den vollkommen unelastischen Stoß\[\frac{1}{2} \cdot {m_1} \cdot {v_1}^2 + \frac{1}{2} \cdot {m_2} \cdot {v_2}^2 = \frac{1}{2} \cdot \left( {{m_1} + {m_2}} \right) \cdot {v^\prime }^2 + \Delta E \Leftrightarrow \Delta E = \frac{1}{2} \cdot {m_1} \cdot {v_1}^2 + \frac{1}{2} \cdot {m_2} \cdot {v_2}^2-\frac{1}{2} \cdot \left( {{m_1} + {m_2}} \right) \cdot {v^\prime }^2\]nach Einsetzen der gegebenen Größen\[\Delta E = \frac{1}{2} \cdot 80\,{\rm{kg}} \cdot {\left( {5{,}3\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)^2} + \frac{1}{2} \cdot 70{\rm{kg}} \cdot {\left( {0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)^2} - \frac{1}{2} \cdot \left( {80\,{\rm{kg}} + 70\,{\rm{kg}}} \right) \cdot {\left( {2{,}8\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)^2} = 540\,{\rm{J}}\]

Die Lösung der Teilaufgabe mit GeoGebra findest du hier.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Impulserhaltung und Stöße