Beim Eishockey prallt ein unvorsichtiger Spieler (\(80\,{\rm{kg}}\)) in vollem Lauf gegen den ahnungslos dastehenden Schiedsrichter (\(70\,{\rm{kg}}\)). Beide rutschen (\({\mu _{{\rm{GR}}}} = 0{,}1\)) nach dem Zusammenprall gemeinsam noch \(4\,\rm{m}\) weit über das Eis, bis sie, zum Glück unverletzt, zur Ruhe kommen.
a)
Berechne die Geschwindigkeit, mit der sich Spieler und Schiedsrichter direkt nach dem Stoß bewegen (Kontrollergebnis: \(2{,}8\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\)).
b)
Berechne die Geschwindigkeit des Spielers vor dem Bodycheck und die bei diesem Bodycheck entwertete kinetische Energie.
Hinweis: Bei der Lösung dieser Teilaufgabe kann dir ein Computeralgebrasystem wie z.B. GeoGebra CAS gute Dienste leisten. Mit wenigen Befehlen kannst du die Rechnungen online selbst durchführen.
Wir nehmen an, dass es sich beim "Bremsen" von Spieler und Schiedsrichter um eine gleichmäßig verzögerte Bewegung mit der Anfangsgeschwindigkeit \(v_0=v\) und der Endgeschwindigkeit \(v_{\rm{E}} = 0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) handelt. Für die Verzögerung bei dieser Bewegung gilt\[a = \frac{F}{m} = \frac{{ - m \cdot g \cdot {\mu _{{\rm{GR}}}}}}{m} = - g \cdot {\mu _{{\rm{GR}}}}\quad(1)\]Weiter gilt die Bewegungsgleichung\[{v_{\rm{E}}^2} - {v_0}^2 = 2 \cdot a \cdot s \Leftrightarrow {v_0} = \sqrt { - 2 \cdot a \cdot s - {v_{\rm{E}}^2}} \]und mit Gleichung \((1)\)\[{v_0} = \sqrt { - 2 \cdot \left( { - g \cdot {\mu _{{\rm{GR}}}}} \right) \cdot s - {v_{\rm{E}}^2}} \]Einsetzen der gegebenen Werte liefert mit \(v_0={v^\prime}\)\[{v^\prime} = \sqrt { - 2 \cdot \left( { - 9{,}81\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot {\mu _{{\rm{GR}}}}} \right) \cdot 4{,}0\,{\rm{m}} - {{\left( {0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}} = 2{,}8\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
b)
Bei der Lösung der Aufgabe setzen wir alle Geschwindigkeiten positiv.
Aus dem Impulserhaltungssatz für den vollkommen unelastischen Stoß\[{m_1} \cdot {v_1} + {m_2} \cdot {v_2} = \left( {{m_1} + {m_2}} \right) \cdot {v^\prime } \Leftrightarrow {v_1} = \frac{{\left( {{m_1} + {m_2}} \right) \cdot v' - {m_2} \cdot {v_2}}}{{{m_1}}}\]ergibt sich nach Einsetzen der gegebenen Werte\[{v_1} = \frac{{\left( {80\,{\rm{kg}} + 70\,{\rm{kg}}} \right) \cdot 2{,}8\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} - 70\,{\rm{kg}} \cdot 0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{80\,{\rm{kg}}}} = 5{,}3\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]Mit diesem Ergebnis ergibt sich aus dem Energieerhaltungssatz für den vollkommen unelastischen Stoß\[\frac{1}{2} \cdot {m_1} \cdot {v_1}^2 + \frac{1}{2} \cdot {m_2} \cdot {v_2}^2 = \frac{1}{2} \cdot \left( {{m_1} + {m_2}} \right) \cdot {v^\prime }^2 + \Delta E \Leftrightarrow \Delta E = \frac{1}{2} \cdot {m_1} \cdot {v_1}^2 + \frac{1}{2} \cdot {m_2} \cdot {v_2}^2-\frac{1}{2} \cdot \left( {{m_1} + {m_2}} \right) \cdot {v^\prime }^2\]nach Einsetzen der gegebenen Größen\[\Delta E = \frac{1}{2} \cdot 80\,{\rm{kg}} \cdot {\left( {5{,}3\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)^2} + \frac{1}{2} \cdot 70{\rm{kg}} \cdot {\left( {0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)^2} - \frac{1}{2} \cdot \left( {80\,{\rm{kg}} + 70\,{\rm{kg}}} \right) \cdot {\left( {2{,}8\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)^2} = 540\,{\rm{J}}\]
Die Lösung der Teilaufgabe mit GeoGebra findest du hier.
