Hinweis: In dieser Aufgabe werden zwar ein PKW und ein LKW betrachtet, die Überlegungen gelten aber genau so für Zusammenstöße zwischen einem Kleinwagen und einem SUV.
Ein PKW (\({m_{\rm{P}}} = m\), \({v_{\rm{P}}} = 2 \cdot v\)) fährt auf einen LKW (\({m_{\rm{L}}} = 2 \cdot m\), \({v_{\rm{L}}} = v\)) von hinten vollkommen unelastisch auf.
a)
Ermittle die Geschwindigkeit \(u\) nach der Kollision in Abhängigkeit von den gegebenen Größen.
b)
Ermittle den bei dem Stoß in innere Energie umgewandelten Energiebetrag \(\Delta {E_{\rm{i}}}\).
Setze \(\Delta {E_{\rm{i}}}\) in Relation zur anfänglich vorhandenen kinetischen Energie.
c)
Beantworte die Fragen der Teilaufgaben a) und b) für den ebenfalls vollkommen inelastischen Frontalzusammenstoß von PKW und LKW.
d)
Vergleiche die Unfallfolgen beim Auffahrunfall und Frontalzusammenstoß mit Hilfe der obigen Ergebnisse.
e)
Vergleiche die Kraft \({{\vec F}_{{\rm{L}} \to {\rm{P}}}}\), welche der LKW beim Frontalzusammenstoß auf den PKW ausübt mit der Kraft \({{\vec F}_{{\rm{P}} \to {\rm{L}}}}\), welche der PKW auf den LKW ausübt.
f)
Zeige unter Verwendung von Teilaufgabe e), dass der LKW beim Frontalzusammenstoß eine geringere Verzögerung erfährt als der PKW.
Erläutere, was dies für den angeschnallten LKW-Fahrer im Vergleich zum ebenfalls angeschnallten PKW-Fahrer bedeutet.
Auch beim vollkommen uneleastischen Stoß gilt der Impulserhaltungssatz, damit ergibt sich für die gemeinsame Geschwindigkeit \(u\) der beiden Fahrzeuge nach dem Stoß\[p = p' \Leftrightarrow {m_{\rm{P}}} \cdot {v_{\rm{P}}} + {m_{\rm{L}}} \cdot {v_{\rm{L}}} = \left( {{m_{\rm{P}}} + {m_{\rm{L}}}} \right) \cdot u \Leftrightarrow u = \frac{{{m_{\rm{P}}} \cdot {v_{\rm{P}}} + {m_{\rm{L}}} \cdot {v_{\rm{L}}}}}{{{m_{\rm{P}}} + {m_{\rm{L}}}}}\]und nach Einsetzen der gegebenen Werte\[u = \frac{{m \cdot 2 \cdot v + 2 \cdot m \cdot v}}{{m + 2 \cdot m}} = \frac{{4 \cdot m \cdot v}}{{3 \cdot m}} = \frac{4}{3} \cdot v\]
Die Geschwindigkeit des PKW sein weiter \({v_{\rm{P}}} = 2 \cdot v\)), die des LKW aber nun \({v_{\rm{L}}} = -v\)).
Analog zu Aufgabenteil a) ergibt sich\[p = p' \Leftrightarrow {m_{\rm{P}}} \cdot {v_{\rm{P}}} + {m_{\rm{L}}} \cdot \left( { - {v_{\rm{L}}}} \right) = \left( {{m_{\rm{P}}} + {m_{\rm{L}}}} \right) \cdot u \Leftrightarrow u = \frac{{{m_{\rm{P}}} \cdot {v_{\rm{P}}} - {m_{\rm{L}}} \cdot {v_{\rm{L}}}}}{{{m_{\rm{P}}} + {m_{\rm{L}}}}}\]und\[u = \frac{{m \cdot 2 \cdot v - 2 \cdot m \cdot v}}{{m + 2 \cdot m}} = \frac{0}{{3 \cdot m}} = 0\]Analog zu Aufgabenteil b) ergibt sich\[E = E' \Leftrightarrow {E_{{\rm{kin}}}} = {{E'}_{{\rm{kin}}}} + \Delta {E_{\rm{i}}} \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot {m_{\rm{P}}} \cdot v_{\rm{P}}^2 + \frac{1}{2} \cdot {m_{\rm{L}}} \cdot v_{\rm{L}}^2 = \frac{1}{2} \cdot \left( {{m_{\rm{P}}} + {m_{\rm{L}}}} \right) \cdot {u^2} + \Delta {E_{\rm{i}}}\]\[\Delta {E_{\rm{i}}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {\left( {2 \cdot v} \right)^2} + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot m \cdot {\left( { - v} \right)^2} - \frac{1}{2} \cdot \left( {m + 2 \cdot m} \right) \cdot {0^2} = 3 \cdot m \cdot {v^2}\]\[\frac{{\Delta {E_{\rm{i}}}}}{E} = \frac{{\Delta {E_{\rm{i}}}}}{{{E_{{\rm{kin}}}}}} = \frac{{3 \cdot m \cdot {v^2}}}{{\frac{1}{2} \cdot m \cdot {{\left( {2 \cdot v} \right)}^2} + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot m \cdot {v^2}}} = 1\]
d)
Beim Auffahrunfall wird lediglich \(\frac{1}{9}\) der kinetischen Energie in innere Energie, d.h. Verformung der Fahrzeuge umgewandelt, beim Frontalzusamenstoß dagegen die gesamte kinetische Energie - mit meist verheerenden Folgen für die Insassen.
e)
Die beiden Kräfte sind wegen des Wechselwirkungsprinzips entgegengesetzt gerichtet, aber betraglich gleich.
f)
Bezeichnen wir den Betrag der beiden Kräfte mit \(F\), so ergibt sich wegen\[F = m \cdot a \Leftrightarrow a = \frac{F}{m}\]für den PKW\[{a_{\rm{P}}} = \frac{F}{{{m_{\rm{P}}}}} = \frac{F}{m}\]und für den LKW\[{a_{\rm{L}}} = \frac{F}{{{m_{\rm{L}}}}} = \frac{F}{{2 \cdot m}} = \frac{1}{2} \cdot {a_{\rm{P}}}\]Die halb so große Beschleunigung bedeutet für den LKW-Fahrer letztendlich nur eine halb so große Kraft auf den Körper und damit wesentlich geringere Verletzungen als für den PKW-Fahrer.
