Bewegte Ladungen in Feldern

Elektrizitätslehre

Bewegte Ladungen in Feldern

  • Wie funktioniert eine Bildröhre?
  • Warum schützt das Erdmagnetfeld vor kosmischer Strahlung?
  • Wie funktionieren Teilchenbeschleuniger?
  • Kann man die Masse von Elektronen messen?
  • Wie groß ist die kleinste Ladung?

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Geladene Teilchen, die in einem elektrischen Feld ruhen, werden in Richtung der Feldlinien beschleunigt.

  • Geladene Teilchen, die sich parallel zu den Feldlinien eines elektrischen Feldes bewegen, werden in Bewegungsrichtung (d.h. in Richtung der Feldlinien) beschleunigt oder abgebremst. Ist das Feld homogen, so ist die Beschleunigung oder Abbremsung gleichmäßig.

Die folgende Simulation zeigt dir das Verhalten eines geladenen Teilchens, das sich in einem homogenen elektrischen Feld befindet. Dabei kann das Teilchen beim Start der Animation entweder im Feld ruhen (\({v_{x,0}} = 0\)) oder aber sich mit einer Anfangsgeschwindigkeit \({v_{x,0}} \ne 0\) parallel zu den Feldlinien bewegen. Du kannst außerdem die elektrische Feldstärke \(E\), die Masse \(m\) und die Ladung \(q\) des Teilchens sowie dessen Startort \(x_0\) verändern, so dass sich verschiedene Situationen beobachten lassen.

Außerdem hast du die Möglichkeit, dir weitere physikalische Größen anzeigen zu lassen.

Elektrisches Feld
E
Teilchen
m
q
xo
vx,o
HTML5-Canvas nicht unterstützt!
1 Geladene Teilchen im elektrischen Längsfeld

Drei Situationen sind in der Praxis von besonderer Bedeutung:

  • Mit den Einstellungen \(E < 0\), \(m\) klein, \(q < 0\), \({x_0} = 0\) und \({v_{x,0}} = 0\) zeigt die Animation, wie mit Hilfe von elektrischen Feldern Elektronenstrahlen erzeugt werden. Dabei werden Elektronen, die aus einem negativ geladenen Glühdraht austreten und fast ruhen, zu einer positiv geladenen Platte hin beschleunigt. Die Elektronen können durch ein kleines Loch durch die Platte hindurch, so dass man hinter der Platte mit den Elektronen experimentieren kann. Auch zukünftige Antriebe von Raumschiffen sollen auf diesem Prinzip beruhen.

  • Mit den Einstellungen \(E > 0\), \(m\) mittel, \(q > 0\), \({x_0} = 0\) und \({v_{x,0}} > 0\) zeigt die Animation, wie mit Hilfe von elektrischen Feldern in Teilchenbeschleunigern Protonen bis auf nahezu Lichtgeschwindigkeit beschleunigt werden.  Dabei treten die Protonen bereits mit einer hohen Geschwindigkeit parallel zu den Feldlinien in das elektrische Feld ein und werden in Richtung der Feldlinien weiter beschleunigt.

  • Mit den Einstellungen \(E>0\), \(m\) klein, \(q \ll 0\), \({x_0} = 0\) und \({v_{x,0}} \gg 0\) zeigt die Animation, wie mit Hilfe eines geeignet gerichteten elektrischen Feldes Elektronen, die bereits eine bestimmte Geschwindigkeit besitzen, abgebremst werden können. Deshalb erreichen sie möglicherweise die geladenen Platte, auf die sie sich zubewegen, nicht mehr. Ein solches Feld nennt man dann ein Gegenfeld. In der Atomphysik spielen Gegenfelder zur Bestimmung der Geschwindigkeit geladener Teilchen eine große Rolle.

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Geladene Teilchen, die in einem elektrischen Feld ruhen, werden in Richtung der Feldlinien beschleunigt.

  • Geladenen Teilchen, die sich senkrecht zu den Feldlinien eines elektrischen Feldes bewegen, werden in Richtung der Feldlinien beschleunigt. Ist das elektrische Feld homogen, so bewegen sich die Teilchen dabei auf einer Parabelbahn.

Die folgende Simulation zeigt dir das Verhalten eines geladenen Teilchens, das sich in einem homogenen elektrischen Feld befindet. Dabei kann das Teilchen beim Start der Animation entweder im Feld ruhen (\({v_{x,0}} = 0\)) oder aber sich mit einer Anfangsgeschwindigkeit \({v_{x,0}} \ne 0\) senkrecht zu den Feldlinien bewegen. Du kannst außerdem die elektrische Feldstärke \(E\), die Masse \(m\) und die Ladung \(q\) des Teilchens sowie dessen Startort \(x_0\) verändern, so dass sich verschiedene Situationen beobachten lassen.

Außerdem hast du die Möglichkeit, dir weitere physikalische Größen anzeigen zu lassen.

Elektrisches Feld
E
Teilchen
m
q
xo
vx,o
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1 Geladene Teilchen im elektrischen Querfeld

Eine Situationen ist in der Praxis von besonderer Bedeutung:

  • Mit den Einstellungen \(E > 0\), \(m\) klein, \(q < 0\), \({x_0} = 0\) und \({v_{x,0}} > 0\) zeigt die Animation, wie mit Hilfe von elektrischen Feldern Elektronenstrahlen abgelenkt werden. Dieses Verfahren wurde in alten Röhrenfernsehern oder Oszilloskopen genutzt, um auf einem Bildschirm verschiedene Stellen zum Leuchten zu bringen. Heutzutage nutzt man den Effekt in vielen technischen Anwendungen, z.B. um Rauchpartikel aus Abgasen herauszufiltern.

In der Elektronenstrahlablenkröhre geschieht Folgendes:

In einer "Elektronenkanone" werden Elektronen durch eine Beschleunigungsspannung \({{U_{\rm{B}}}}\) auf die (Anfangs-)Geschwindigkeit \({v_{{\rm{x,0}}}} = \sqrt {\frac{{2 \cdot e \cdot {U_{\rm{B}}}}}{{{m_e}}}} \) gebracht.

Dann treten die Elektronen senkrecht zu den Feldlinien in ein homogenes elektrisches Feld eines Plattenkondensators mit dem Plattenabstand \(d\), an dem eine Spannung \({{U_{\rm{K}}}}\) anliegt, ein.

Die folgende Simulation zeigt die wichtigsten Bestandteile einer Elektronenstrahlablenkröhre, ermöglicht die Veränderung aller relevanten Parameter, zeigt die Bahn des Elektronenstrahls in einem geeigneten Koordinatensystem und veranschaulicht die wichtigsten physikalischen Größen, die zur Analyse des Experimentes notwendig sind.

Heizspannung
UH
Beschleunigungsspannung
UB
Kondensatorspannung
UK
Position des Elektrons
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1 Elektronenstrahlablenkröhre mit Veranschaulichung wichtiger physikalischer Größen

Man wählt das Koordinatensystem zur Beschreibung der Bahn der Elektronen üblicherweise so, dass dessen \(x\)-Achse parallel und damit die \(y\)-Achse senkrecht zu den Platten des Kondensators verläuft. Als Koordinatenursprung wählt man den Punkt, an dem die Elektronen parallel zur \(x\)-Achse in das homogene elektrische Feld eintreten. Dann gilt

Elektronenstrahlablenkröhre

Im Bereich des homogenen elektrischen Feldes bewegen sich die Elektronen auf einer Parabelbahn mit der Bahnkurve\[y(x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{{{U_{\rm{K}}}}}{{d \cdot {U_{\rm{B}}}}} \cdot {x^2}\]Dabei ist \({{U_{\rm{B}}}}\) die Beschleunigungsspannung der "Elektronenkanone", \({{U_{\rm{K}}}}\) die am Plattenkondensator anliegende Spannung und \(d\) der Plattenabstand dieses Kondensators.

Hat der Plattenkondensator die Länge \(l\), so beträgt die Ablenkung der Elektronen beim Austritt aus dem Plattenkondensator\[y(l) = \frac{1}{4} \cdot \frac{{{U_{\rm{K}}}}}{{d \cdot {U_{\rm{B}}}}} \cdot {l^2}\]Die Elektronen treten dabei unter einem Winkel der Weite \(\alpha\) mit\[\tan \left( \alpha  \right) = y'\left( l \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{U_{\rm{K}}}}}{{d \cdot {U_{\rm{B}}}}} \cdot l\]aus dem Plattenkondensator aus.

Weder durch Ausmessen der Bahnkurve \(y(x)\) noch durch Messen der Ablenkung \(y(l)\) oder der Weite \(\alpha \) des Austrittswinkels lassen sich Informationen über Ladung \(e\), die Masse \(m_e\) oder die spezifische Ladung \(\frac{e}{{{m_e}}}\) der Elektronen gewinnen.

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Geladene Teilchen, die in einem magnetischen Feld ruhen, erfahren keine Kraft und bleiben in Ruhe.

  • Geladene Teilchen, die sich parallel zu den Feldlinien eines magnetischen Feldes bewegen, erfahren ebenfalls keine Kraft und bewegen sich geradlinig gleichförmig weiter.

Die folgende Simulation zeigt dir das Verhalten eines geladenen Teilchens, das sich in einem homogenen magnetischen Feld befindet. Dabei kann das Teilchen beim Start der Animation entweder im Feld ruhen (\({v_{x,0}} = 0\)) oder aber sich mit einer Anfangsgeschwindigkeit \({v_{x,0}} \ne 0\) parallel zu den Feldlinien bewegen. Du kannst außerdem die magnetische Feldstärke (Flussdichte) \(B\), die Masse \(m\) und die Ladung \(q\) des Teilchens sowie dessen Startort \(x_0\) verändern, so dass sich verschiedene Situationen beobachten lassen.

Außerdem hast du die Möglichkeit, dir weitere physikalische Größen anzeigen zu lassen.

Magnetisches Feld
B
Teilchen
m
q
xo
vx,o
HTML5-Canvas nicht unterstützt!
1 Geladene Teilchen im magnetischen Längsfeld

Unabhängig davon, welche Einstellungen man auch vornimmt, wirkt auf das geladene Teilchen keine Kraft:

Ist das Teilchen in Ruhe, so bleibt es auch in Ruhe.

Bewegt sich das Teilchen parallel zu den Feldlinien, so wirkt auf das Teilchen ebenfalls keine Kraft und es bewegt sich geradlinig gleichförmig (d.h. in Richtung der Feldlinien) weiter.

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Geladene Teilchen, die in einem magnetischen Feld ruhen, erfahren keine Kraft und bleiben in Ruhe.

  • Geladenen Teilchen, die sich senkrecht zu den Feldlinien eines magnetischen Feldes bewegen, erfahren eine Kraft, die senkrecht zur Bewegungsrichtung und senkrecht zu den Feldlinien gerichtet ist und werden in Richtung dieser Kraft beschleunigt. Dabei ändert sich nur die Richtung, nicht aber der Betrag der Geschwindigkeit. Ist das magnetische Feld homogen, so bewegen sich die Teilchen dabei auf einer Kreisbahn.

Die folgende Simulation zeigt dir das Verhalten eines geladenen Teilchens, das sich in einem homogenen magnetischen Feld befindet. Dabei kann das Teilchen beim Start der Animation entweder im Feld ruhen (\({v_{x,0}} = 0\)) oder aber sich mit einer Anfangsgeschwindigkeit \({v_{x,0}} \ne 0\) senkrecht zu den Feldlinien bewegen. Du kannst außerdem die magnetische Feldstärke (Flussdichte) \(B\), die Masse \(m\) und die Ladung \(q\) des Teilchens sowie dessen Startort \(x_0\) verändern, so dass sich verschiedene Situationen beobachten lassen.

Außerdem hast du die Möglichkeit, dir weitere physikalische Größen anzeigen zu lassen.

Magnetisches Feld
B
Teilchen
m
q
xo
vx,o
HTML5-Canvas nicht unterstützt!
1 Geladene Teilchen im magnetischen Querfeld

Eine Situationen ist in der Praxis von besonderer Bedeutung:

  • Mit den Einstellungen \(B \gg 0\), \(m\) klein, \(q\) beliebig, \({x_0} \approx 5{\rm{LE}}\) und \({v_{x,0}} > 0\) zeigt die Animation, wie mit Hilfe von magnetischen Feldern in Teilchenbeschleunigern geladene Teilchen auf einer Kreisbahn gehalten werden. Im LHC am CERN in der Nähe von Genf werden so mit Hilfe von magnetischen Feldern Protonen auf einer Kreisbahn mit mehr als 26 Kilometern Länge gehalten.

Im Fadenstrahlrohr geschieht Folgendes:

In einer "Elektronenkanone" werden Elektronen durch eine Beschleunigungsspannung \({{U_{\rm{B}}}}\) auf die (Anfangs-)Geschwindigkeit \({v_{{\rm{x,0}}}} = \sqrt {\frac{{2 \cdot e \cdot {U_{\rm{B}}}}}{{{m_e}}}} \) gebracht.

Dann treten die Elektronen senkrecht zu den Feldlinien in ein homogenes magnetisches Feld in der Mittelebene eines HELMHOLTZ-Spulenpaares mit dem Spulenradius \(R\) und der Windungszahl \(N\), durch das ein Strom der Stärke \({{I_{\rm{S}}}}\) fließt, ein.

Die folgende Simulation zeigt die wichtigsten Bestandteile eines Fadenstrahlrohrs, ermöglicht die Veränderung aller relevanten Parameter, zeigt die Bahn des Elektronenstrahls in einem geeigneten Koordinatensystem und veranschaulicht die wichtigsten physikalischen Größen, die zur Analyse des Experimentes notwendig sind.

Heizspannung
UH
Beschleunigungsspannung
UB
Spulenstrom
IS
Position des Elektrons
HTML5-Canvas nicht unterstützt!
1 Fadenstrahlrohr mit Veranschaulichung wichtiger physikalischer Größen

Fadenstrahlrohr

Im Bereich des homogenen magnetischen Feldes bewegen sich die Elektronen mit konstanter Bahngeschwindigkeit auf einer Kreisbahn; für den Radius dieser Kreisbahn gilt\[r = \frac{{m_e \cdot v_0}}{{e \cdot B}} \quad (1)\]Dabei ist \(e\) die Ladung der Elektronen, \(m_e\) die Masse der Elektronen, \(v_0\) die Geschwindigkeit der Elektronen beim Eintritt in das magnetische Feld und \(B\) der Betrag der Flussdichte des magnetischen Feldes.

Für die Umlaufdauer \(T\), d.h. die Zeit, die die Elektronen für einen Umlauf der Kreisbahn benötigen, gilt\[T = \frac{{2 \cdot \pi  \cdot m_e}}{{e \cdot B}}\]Auffällig ist, dass die Umlaufdauer \(T\) unabhängig von der Bahngeschwindigkeit \(v_0\) des Teilchens ist.

Für den Fall der Beschleunigung der Elektronen in einer "Elektronenkanone" mit der Beschleunigungsspannung \({{U_{\rm{B}}}}\) und der Erzeugung des homogenen magnetischen Feldes durch ein HELMHOLTZ-Spulenpaar mit Spulenradius \(R\) und Windungszahl \(N\), durch das ein Strom der Stärke \({{I_{\rm{S}}}}\) fließt, ergibt sich für den Radius der Kreisbahn\[r = \frac{{\sqrt 2  \cdot }}{{\sqrt {\frac{e}{{{m_e}}}}  \cdot {\mu _0} \cdot \frac{8}{{{{\sqrt 5 }^3}}} \cdot \frac{N}{R}}} \cdot \frac{{\sqrt {{U_{\rm{B}}}} }}{{{I_{\rm{S}}}}} \quad (2)\]Umformen dieser Gleichung liefert\[\frac{e}{{{m_e}}} = \frac{{125 \cdot {R^2}}}{{32 \cdot {\mu _0}^2 \cdot {N^2}}} \cdot \frac{{{U_{\rm{B}}}}}{{{r^2} \cdot {I_{\rm{S}}}^2}} \quad (2')\]Durch Ausmessen des Kreisradius \(r\) und Messen der anderen relevanten Größen lässt sich die spezifische Ladung \(\frac{e}{{{m_e}}}\) des Elektrons und damit bei bekannter Ladung \(e\) die Masse \(m_e\) des Elektrons bestimmen. Es ergibt sich\[\frac{e}{{{m_e}}} = 1,76 \cdot {10^{11}}\frac{{{\rm{As}}}}{{{\rm{kg}}}}\]sowie\[{{m_e} = 9,11 \cdot {{10}^{ - 31}}{\rm{kg}}}\]

Wilhelm WIEN (1864 - 1928)
unbekannter Autor [Public domain], via Wikimedia Commons

Von Wilhelm WIEN (1864 - 1928) stammt der Vorschlag für ein Geschwindigkeitsfilter, welches nur geladene Teilchen einer bestimmten Geschwindigkeit passieren lässt.

Wir betrachten die Situation, dass Elektronen (z.B. nach der Beschleunigung durch eine Beschleunigungsspannung \({{U_{\rm{B}}}}\) in einer "Elektronenkanone") mit der Geschwindigkeit \(v_0\) (z.B. \(v_0 = \sqrt {\frac{{2 \cdot e \cdot {U_{\rm{B}}}}}{{{m_e}}}} \)) in einen Bereich eintreten, in dem sowohl ein homogenes Elektrisches Feld (z.B. das eines Plattenkondensators mit dem Plattenabstand \(d\), an dem eine Spannung \({{U_{\rm{K}}}}\) anliegt) als auch ein homogenes Magnetisches Feld (z.B. das in der Mittelebene eines HELMHOLTZ-Spulenpaares mit dem Spulenradius \(R\) und der Windungszahl \(N\), durch das ein Strom der Stärke \({{I_{\rm{S}}}}\) fließt) wirken, wobei die Feldlinien dieser beiden Felder senkrecht zueinander stehen. Die Elektronen treten dabei so in diesen Bereich ein, dass ihr Geschwindigkeitsvektor beim Eintritt sowohl senkrecht zu den Elektrischen als auch zu den Magnetischen Feldlinien steht.

Heizspannung
UH
Beschleunigungsspannung
UB
Kondensatorspannung
UK
Spulenstrom
IS
Position des Elektrons
HTML5-Canvas nicht unterstützt!
2 WIENsches Geschwindigkeitsfilter mit Veranschaulichung wichtiger physikalischer Größen

Elektronen in orthogonalen homogenen Elektrischen und Magnetischen Feldern (Eintritt senkrecht zu den Feldlinien)

Bei geeigneter Wahl des Betrages \(E\) der Elektrischen Feldstärke und des Betrages \(B\) der Magnetischen Feldstärke bewegen sich die Elektronen auf einer geradlinigen Bahn durch den von den beiden Feldern erfüllten Bereich. In diesem Fall bleibt die Geschwindigkeit \(\vec v\) konstant und für ihren Betrag \(v\) gilt
\[v = \frac{E}{B} \quad(1)\]
Elektronen, die beim Eintritt in den von den beiden Feldern erfüllten Bereich einen anderen Geschwindigkeitsbetrag \(v\) haben, bewegen sich in diesem Fall nicht geradlinig, sondern werden in Richtung der Platten abgelenkt.

Für den Fall der Beschleunigung der Elektronen in einer "Elektronenkanone" mit der Beschleunigungsspannung \({{U_{\rm{B}}}}\), der Erzeugung des homogenen Elektrischen Feldes durch einen Plattenkondensator mit dem Plattenabstand \(d\), an dem eine Spannung \({{U_{\rm{K}}}}\) anliegt und der Erzeugung des homogenen Magnetischen Feldes durch ein HELMHOLTZ-Spulenpaar mit Spulenradius \(R\) und Windungszahl \(N\), durch das ein Strom der Stärke \({{I_{\rm{S}}}}\) fließt, ergibt sich
\[\frac{e}{{{m_e}}} = \frac{{125 \cdot {R^2}}}{{128 \cdot {\mu _0}^2 \cdot {d^2} \cdot {N^2}}} \cdot \frac{{{U_{\rm{K}}}^2}}{{{I_{\rm{S}}}^2 \cdot {U_{\rm{B}}}}}\quad(2)\]

Durch Messen der relevanten Größen lässt sich die spezifische Ladung \(\frac{e}{{{m_e}}}\) des Elektrons und damit bei bekannter Ladung \(e\) die Masse \(m_e\) des Elektrons bestimmen. Es ergibt sich
\[\frac{e}{{{m_e}}} = 1,76 \cdot {10^{11}}\frac{{{\rm{As}}}}{{{\rm{kg}}}}\]
sowie
\[{{m_e} = 9,11 \cdot {{10}^{ - 31}}{\rm{kg}}}\]

Leite Gleichung \((1)\) für die Bedingung der geradlinigen Bewegung der Elektronen her.

Begründe, warum Elektronen mit anderer als der durch die obige Bedingung festgelegten Geschwindigkeit den von den beiden Feldern erfüllten Bereich nicht geradlinig durchlaufen.

Leite Gleichung \((2)\) zur Bestimmung der spezifischen Ladung \(\frac{e}{{{m_e}}}\) von Elektronen her.

Berechne mit \(d=5,40\rm{cm}\), \(N=320\), \(R=6,80\rm{cm}\), \({U_{\rm{B}}} = 3000{\rm{V}}\), \({U_{\rm{K}}} = 1500{\rm{V}}\) und \({I_{\rm{S}}} = 0,202{\rm{A}}\) die spezifische Ladung \(\frac{e}{{{m_e}}}\) sowie die Masse \(m_e\) des Elektrons.

 

Tritt ein geladenes Teilchen nicht unter 90°, sondern schräg zu den Feldlinien in ein homogenes Magnetisches Feld ein, so durchläuft das Teilchen eine Schraubenlinie mit Radius \(r\) und Ganghöhe \(h\).

Berechnung des Radius \(r\) der Schraubenlinie

Der Betrag der zu \({\vec B}\) senkrechten Geschwindigkeitskomponente \({{{\vec v}_\bot }}\) ist \({v_\bot } = v \cdot \sin \left( \alpha  \right)\). Beim Durchlaufen der Schraubenlinie trägt nur noch diese Geschwindigkeitskomponente zur LORENTZ-Kraft bei, die wiederum als Zentripetalkraft wirkt; somit gilt
\[{F_{\rm{L}}} = {F_{{\rm{ZP}}}} \Leftrightarrow q \cdot {v_ \bot } \cdot B = \frac{{m \cdot {v_ \bot }^2}}{r} \Leftrightarrow r = \frac{{m \cdot {v_ \bot }}}{{q \cdot B}} = \frac{{m \cdot v}}{{q \cdot B}} \cdot \sin \left( \alpha  \right)\]

Berechnung der Umlaufdauer \(T\) für einen "Schraubengang"

Da die Umlaufdauer \(T\) unabhängig von der Geschwindigkeit \(v\) des Teilchens ist, ergibt sich hier der gleiche Ausdruck wie bei der Bewegung auf einer Kreisbahn:
\[T = \frac{{2 \cdot \pi  \cdot m}}{{q \cdot B}}\]

Berechnung der Ganghöhe \(h\)

Der Betrag der zu \({\vec B}\) parallelen Geschwindigkeitskomponente \({{{\vec v}_\parallel }}\) ist \({v_\parallel } = v \cdot \cos \left( \alpha  \right)\). Die Ganghöhe ist diejenige Strecke, welche das geladene Teilchen in der Zeit \(T\) mit dieser Geschwindigkeit vom Betrag  \({v_\parallel }\) zurücklegt. Damit ergibt sich
\[h = {v_{||}} \cdot T = {v_{||}} \cdot \frac{{2 \cdot \pi  \cdot m}}{{q \cdot B}} = \frac{{2 \cdot \pi  \cdot m \cdot v}}{{q \cdot B}} \cdot \cos \left( \alpha  \right)\]

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