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Grundwissen

WIENscher Geschwindigkeitsfilter

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Ein WIENscher Geschwindigkeitsfilter besteht aus einem homogenen elektrischen Feld und einem homogenen magnetischem Feld, die senkrecht zueinander stehen. Die Elektronen treten senkrecht zu beiden Feldern ein.
  • Nur wenn ein Elektron die passende Geschwindigkeit \(v=\frac{E}{B}\) besitzt, sind die elektrische Kraft und die LORENTZ-Kraft auf das Elektronen gleich groß und es passiert den Geschwindigkeitsfilter.
Aufgaben Aufgaben
unbekannter Autor [Public domain], via Wikimedia Commons
Abb. 1 Wilhelm WIEN (1864-1928)

Vom deutschen Physiker Wilhelm WIEN (1864 - 1928) stammt die Idee für den sogenannten WIENschen Geschwindigkeitsfilter, der nur geladene Teilchen einer bestimmten Geschwindigkeit passieren lässt.

Im Alltag werden fast ausschließlich positiv geladene Teilchen (Ionen) durch einen WIENschen Geschwindigkeitsfilter gefiltert. In der Schule wird die Funktionsweise allerdings mit (negativ geladenen) Elektronen demonstriert.

Aufbau und Funktionsweise

Wir betrachten die Situation, dass Elektronen (z.B. nach der Beschleunigung durch eine Beschleunigungsspannung \({{U_{\rm{B}}}}\) in einer "Elektronenkanone") mit der Geschwindigkeit \(v_0\) (z.B. \(v_0 = \sqrt {\frac{{2 \cdot e \cdot {U_{\rm{B}}}}}{{{m_e}}}} \)) in einen Bereich eintreten, in dem sowohl ein homogenes Elektrisches Feld (z.B. das eines Plattenkondensators mit dem Plattenabstand \(d\), an dem eine Spannung \({{U_{\rm{K}}}}\) anliegt) als auch ein homogenes Magnetisches Feld (z.B. das in der Mittelebene eines HELMHOLTZ-Spulenpaares mit dem Spulenradius \(R\) und der Windungszahl \(N\), durch das ein Strom der Stärke \({{I_{\rm{S}}}}\) fließt) wirken, wobei die Feldlinien dieser beiden Felder senkrecht zueinander stehen. Die Elektronen treten dabei so in diesen Bereich ein, dass ihr Geschwindigkeitsvektor beim Eintritt sowohl senkrecht zu den Elektrischen als auch zu den Magnetischen Feldlinien steht.

Abb. 1 Aufbau und Funktionsweise eines WIENschen Geschwindigkeitsfilters

Simulation

Heizspannung
UH
Beschleunigungsspannung
UB
Kondensatorspannung
UK
Spulenstrom
IS
Position des Elektrons
HTML5-Canvas nicht unterstützt!
Abb. 2 WIENsches Geschwindigkeitsfilter mit Veranschaulichung wichtiger physikalischer Größen
Elektronen in orthogonalen homogenen Elektrischen und Magnetischen Feldern (Eintritt senkrecht zu den Feldlinien)

Bei geeigneter Wahl des Betrages \(E\) der Elektrischen Feldstärke und des Betrages \(B\) der Magnetischen Feldstärke bewegen sich die Elektronen auf einer geradlinigen Bahn durch den von den beiden Feldern erfüllten Bereich. In diesem Fall bleibt die Geschwindigkeit \(\vec v\) konstant und für ihren Betrag \(v\) gilt
\[v = \frac{E}{B} \quad(1)\]
Elektronen, die beim Eintritt in den von den beiden Feldern erfüllten Bereich einen anderen Geschwindigkeitsbetrag \(v\) haben, bewegen sich in diesem Fall nicht geradlinig, sondern werden in Richtung der Platten abgelenkt.

Für den Fall der Beschleunigung der Elektronen in einer "Elektronenkanone" mit der Beschleunigungsspannung \({{U_{\rm{B}}}}\), der Erzeugung des homogenen Elektrischen Feldes durch einen Plattenkondensator mit dem Plattenabstand \(d\), an dem eine Spannung \({{U_{\rm{K}}}}\) anliegt und der Erzeugung des homogenen Magnetischen Feldes durch ein HELMHOLTZ-Spulenpaar mit Spulenradius \(R\) und Windungszahl \(N\), durch das ein Strom der Stärke \({{I_{\rm{S}}}}\) fließt, ergibt sich
\[\frac{e}{{{m_e}}} = \frac{{125 \cdot {R^2}}}{{128 \cdot {\mu _0}^2 \cdot {d^2} \cdot {N^2}}} \cdot \frac{{{U_{\rm{K}}}^2}}{{{I_{\rm{S}}}^2 \cdot {U_{\rm{B}}}}}\quad(2)\]

Durch Messen der relevanten Größen lässt sich die spezifische Ladung \(\frac{e}{{{m_e}}}\) des Elektrons und damit bei bekannter Ladung \(e\) die Masse \(m_e\) des Elektrons bestimmen. Es ergibt sich
\[\frac{e}{{{m_e}}} = 1{,}76 \cdot {10^{11}}\frac{{{\rm{As}}}}{{{\rm{kg}}}}\]
sowie
\[{{m_e} = 9{,}11 \cdot {{10}^{ - 31}}{\rm{kg}}}\]

Aufgaben
Aufgabe

Leite Gleichung \((1)\) für die Bedingung der geradlinigen Bewegung der Elektronen her.

Lösung

Die Elektronen bewegen sich genau dann geradlinig durch den von den beiden Feldern erfüllten Bereich, wenn die Elektrische Kraft \({\vec F_{{\rm{el}}}}\) und die LORENTZ-Kraft \({\vec F_{\rm{L}}}\) entgegengesetzt gerichtet und betraglich gleich groß sind. Dann gilt
\[{F_{\rm{L}}} = {F_{{\rm{el}}}} \Leftrightarrow e \cdot v \cdot B = e \cdot E \Leftrightarrow v = \frac{E}{B}\]

Begründe, warum Elektronen mit anderer als der durch die obige Bedingung festgelegten Geschwindigkeit den von den beiden Feldern erfüllten Bereich nicht geradlinig durchlaufen.

Lösung

Der Betrag der LORENTZ-Kraft ist wegen \({F_{\rm{L}}} = e \cdot v \cdot B\) u.a. von der Geschwindigkeit der Elektronen abhängig; ist diese Geschwindigkeit nun kleiner als in der obigen Bedingung angegeben, so ist der Betrag der LORENTZ-Kraft kleiner als der der Elektrischen Kraft, die beiden Kräfte heben sich nicht mehr gegenseitig auf und die Elektronen werden aufgrund der resultierenden Kraft stärker in Richtung der positiven Platte abgelenkt. Ist dagegen die Geschwindigkeit größer als in der obigen Bedingung angegeben, so ist der Betrag der LORENTZ-Kraft größer als der der Elektrischen Kraft, die beiden Kräfte heben sich ebenfalls nicht mehr gegenseitig auf und die Elektronen werden aufgrund der resultierenden Kraft stärker in die andere Richtung abgelenkt.

Aufgaben