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Grundwissen

Bahnen im Gravitationsfeld

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Abb. 1 Mögliche Bahnen im Gravitationsfeld

Schießt man von einem über die Atmosphäre hinaus ragenden Berg auf der Erde einen Körper mit der Geschwindigkeit \(v\) parallel zur Erdoberfläche, so ergeben sich folgende Bahnkurven:

1)Für kleine v eine "Wurfparabel", die eigentlich ein Teil einer Ellipse ist, aber beim Auftreffen auf die Erde beendet wird. (Kurve 1)

2)Wenn die Geschwindigkeit groß genug ist ergibt sich ein Kreis mit Mittelpunkt im Erdmittelpunkt (Kurve 2).
Daher entspricht die Gravitationskraft der Zentripetalkraft. Somit folgt: \({F_G} = {F_Z} \Rightarrow \frac{{m \cdot {v^2}}}{r} = \frac{{G \cdot m \cdot M}}{{{r^2}}}\)

Der Körper hat eine kinetische Energie \({E_{kin}} = \frac{1}{2}m \cdot {v^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{G \cdot m \cdot M}}{r}\)
(Das ist die Hälfte der negativen potentiellen Energie)

Daraus ergibt sich eine Geschwindigkeit von \(v = \sqrt {\frac{{G \cdot M}}{r}} \), also \(v = \frac{{{v_{\rm{Flucht}}}}}{{\sqrt 2 }}\).

Die Gesamtenergie des kreisenden Körpers ist in Abhängigkeit von \(r\) (Energie im Unendlichen wird als Null angenommen):\[{E_0} = {E_{kin}} + {E_{pot}} = \frac{1}{2}\cdot\frac{{G \cdot {\rm{m}} \cdot {\rm{M}}}}{r} - \frac{{G \cdot {\rm{m}} \cdot {\rm{M}}}}{r} = -\frac{1}{2}\cdot\frac{{G \cdot {\rm{m}} \cdot {\rm{M}}}}{r}\]

Diese Energiebeziehung gilt für sämtliche Kreisbahnen und ebenso für Ellipsenbahnen, wenn man r durch a ersetzt.

3)Wird die Geschwindigkeit größer, so ergeben sich Ellipsenbahnen, mit der Abschussstelle im Perigäum, solange \(v < v_{\rm{Flucht}}\). Die Gesamtenergie ist immer noch kleiner als 0. (Kurve 3)

Für \(v = v_{\rm{Flucht}}\) ergäbe sich eine Parabel. Der Körper kehrt nicht zurück und hat die Gesamtenergie 0 (außerhalb des Anziehungsbereichs der Erde hat er keine Bewegungsenergie mehr). Die Fluchtgeschwindigkeit der Erde beträgt \(v_{\rm{Flucht}}=11{,}2\,\rm{\frac{km}{s}}\)

4)Für \(v > v_{\rm{Flucht}}\) ergibt sich eine Hyperbelbahn (Kurve 4). Die Gesamtenergie des Körpers ist größer als 0.

Herleitung für die Gesamtenergie einer Ellipsenbahn

Die Gesamtenergie \(E_0=E_{\rm{kin}}+E_{\rm{pot}}\) ist überall auf der Ellipse gleich groß. In großer Entfernung vom Zentralkörper ist \(E_{\rm{pot}}\) größer und \(E_{\rm{kin}}\) kleiner, in der Nähe ist es umgekehrt.

Für Perihel gilt \({E_0} = \frac{1}{2}m\cdot{v_{Perihel}}^2 - \frac{{G \cdot {\rm{m}} \cdot {\rm{M}}}}{{{r_{Perihel}}}}\) ; für Aphel gilt \({E_0} = \frac{1}{2}m\cdot{v_{Aphel}}^2 - \frac{{G \cdot {\rm{m}} \cdot {\rm{M}}}}{{{r_{Aphel}}}}\)
Multiplizieren der Gleichungen mit \(r_{Perihel}^2\) bzw. \(r_{{Aphel}}^2\) führt zu den Gleichungen \[{E_0}\cdot{r_{Perihel}}^2 = \frac{1}{2}m\cdot{v_{Perihel}}^2\cdot{r_{Perihel}}^2 - G \cdot {\rm{m}} \cdot {\rm{M}}\cdot{r_{Perihel}}\tag{1}\] \[{E_0}\cdot{r_{Aphel}}^2 = \frac{1}{2}m\cdot{v_{Aphel}}^2\cdot{r_{Aphel}}^2 - G \cdot {\rm{m}} \cdot {\rm{M}}\cdot{r_{Aphel}}\tag{2}\] Außerdem gilt: \({v_{Perihel}} \cdot {r_{Perihel}} = {v_{Aphel}} \cdot {r_{Aphel}} \Rightarrow \frac{1}{2}m \cdot {v_{Perihel}}^2 \cdot {r_{Perihel}}^2 = \frac{1}{2}m \cdot {v_{Aphel}}^2 \cdot {r_{Aphel}}^2\).

Zieht man Gleichung (1) von Gleichung (2) ab, so ergibt sich:

\[E_0\cdot r_{{Aphel}}^2-E_0 \cdot r_{{Perihel}}^2=-G\cdot m\cdot M\cdot r_{{Aphel}}+G\cdot m\cdot M\cdot r_{{Perihel}}\] \[\Rightarrow E_0\cdot \left(r_{Aphel}^2-r_{{Perihel}}^2\right)=-G\cdot m\cdot M\cdot \left(r_{Aphel}-r_{{Perihel}}\right)\] \[\Rightarrow {E_0} = - G \cdot m \cdot M \cdot \frac{{{r_{Aphel}} - {r_{Perihel}}}}{{{r_{Aphel}}^2 - {r_{Perihel}}^2}}\] \[\bbox[aquamarine,10pt,border:2px solid black]{{E_0} = - \frac{{G \cdot m \cdot M}}{{{r_{Aphel}} + {r_{Perihel}}}} = - \frac{{G \cdot m \cdot M}}{{2a}}}\]

Für \(a = r\) folgt daraus die Gesamtenergie einer Kreisbahn, wie oben bereits gezeigt.

Bahngeschwindigkeit

Für die Bahngeschwindigkeit eines Körpers auf der Ellipse im Abstand \(r\) gilt \[\frac{1}{2}m{v^2} - \frac{{G \cdot m \cdot M}}{r} = - \frac{{G \cdot m \cdot M}}{{2a}}\]Somit ergibt sich die Bahngeschwindigkeit \(v\) aus \[\bbox[aquamarine,10pt,border:2px solid black]{v = \sqrt {2GM \cdot \left( {\frac{1}{r} - \frac{1}{{2a}}} \right)}} \]