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Grundwissen

Bahnen im Gravitationsfeld

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Schießt man auf der Erde von einem hohen Turm einen Körper parallel zur Erdoberfläche ab, so gibt es je nach Abschussgeschwindigkeit \(v\) vier mögliche Bahnkurven.
  • Für kleine \(v\) trifft der Körper die Erde.
  • Wenn \(v\) so groß ist, dass das \(F_{\rm{Z}}=F_{\rm{Z}}\) gilt, ergibt sich eine Kreisbahn.
  • Bei größerem \(v\) ergeben sich zunächst Ellipsenbahnen und bei \(v>v_{\rm{Flucht}}\) Hyperbelbahnen und der Körper entfernt sich.
Aufgaben Aufgaben
Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Mögliche Bahnen im Gravitationsfeld

Vier mögliche Bahnformen im Gravitationsfeld

Schießt man auf einem Planeten wie z.B. der Erde von einem über die Atmosphäre hinaus ragenden Turm einen Körper mit der Geschwindigkeit \(v\) parallel zur Oberfläche des Planeten ab, so ergeben sich in Abhängigkeit der Abschussgeschwindigkeit \(v\) folgende vier Bahnkurven (vgl. Abb. 1):

1)Für kleine Geschwindigkeiten \(v\) ergibt sich eine "Wurfparabel", die eigentlich ein Teil einer Ellipse ist, aber beim Auftreffen auf die Erde beendet wird. (Kurve 1)

2)Wenn die Geschwindigkeit \(v\) groß genug ist ergibt sich ein Kreis mit Mittelpunkt im Erdmittelpunkt (Kurve 2).
Daher ist die Gravitationskraft \(F_{\rm{G}}\) gerade die für die Kreisbahn notwendigen Zentripetalkraft \(F_{\rm{Z}}\). Somit folgt: \[{F_{\rm{Z}}} = {F_{\rm{G}}} \Rightarrow \frac{{m \cdot {v^2}}}{r} = \frac{{G \cdot m \cdot M}}{{{r^2}}}\]

Der Körper hat eine kinetische Energie von \[{E_{kin}} = \frac{1}{2}m \cdot {v^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{G \cdot m \cdot M}}{r}\] Das ist die Hälfte der negativen potentiellen Energie.

Daraus ergibt sich eine Geschwindigkeit von \(v = \sqrt {\frac{{G \cdot M}}{r}} \), also \(v = \frac{{{v_{\rm{Flucht}}}}}{{\sqrt 2 }}\).

Die Gesamtenergie des kreisenden Körpers ist in Abhängigkeit von \(r\) (Energie im Unendlichen wird als Null angenommen):\[{E_0} = {E_{kin}} + {E_{pot}} = \frac{1}{2}\cdot\frac{{G \cdot {\rm{m}} \cdot {\rm{M}}}}{r} - \frac{{G \cdot {\rm{m}} \cdot {\rm{M}}}}{r} = -\frac{1}{2}\cdot\frac{{G \cdot {\rm{m}} \cdot {\rm{M}}}}{r}\]

Diese Energiebeziehung gilt für sämtliche Kreisbahnen und ebenso für Ellipsenbahnen, wenn man den Radius \(r\) durch \(a\) ersetzt.

3)Wird die Geschwindigkeit größer, so ergeben sich Ellipsenbahnen mit der Abschussstelle als nächstem Punkt seiner Bahn zur Erden (Perigäum). Dies gilt solange \(v < v_{\rm{Flucht}}\) erfüllt ist. Die Gesamtenergie ist immer noch kleiner als 0. (Kurve 3)

Für \(v = v_{\rm{Flucht}}\) ergäbe sich eine Parabel. Der Körper kehrt nicht zurück und hat die Gesamtenergie 0 (außerhalb des Anziehungsbereichs der Erde hat er keine Bewegungsenergie mehr). Die Fluchtgeschwindigkeit der Erde beträgt \(v_{\rm{Flucht}}=11{,}2\,\rm{\frac{km}{s}}\)

4)Für \(v > v_{\rm{Flucht}}\) ergibt sich eine Hyperbelbahn (Kurve 4). Die Gesamtenergie des Körpers ist größer als 0.

Herleitung für die Gesamtenergie einer Ellipsenbahn

Die Gesamtenergie \(E_0=E_{\rm{kin}}+E_{\rm{pot}}\) ist überall auf der Ellipse gleich groß. In großer Entfernung vom Zentralkörper ist \(E_{\rm{pot}}\) größer und \(E_{\rm{kin}}\) kleiner, in der Nähe ist es umgekehrt.

Für Perihel gilt \({E_0} = \frac{1}{2}m\cdot{v_{Perihel}}^2 - \frac{{G \cdot {\rm{m}} \cdot {\rm{M}}}}{{{r_{Perihel}}}}\) ; für Aphel gilt \({E_0} = \frac{1}{2}m\cdot{v_{Aphel}}^2 - \frac{{G \cdot {\rm{m}} \cdot {\rm{M}}}}{{{r_{Aphel}}}}\)
Multiplizieren der Gleichungen mit \(r_{Perihel}^2\) bzw. \(r_{{Aphel}}^2\) führt zu den Gleichungen \[{E_0}\cdot{r_{Perihel}}^2 = \frac{1}{2}m\cdot{v_{Perihel}}^2\cdot{r_{Perihel}}^2 - G \cdot {\rm{m}} \cdot {\rm{M}}\cdot{r_{Perihel}}\tag{1}\] \[{E_0}\cdot{r_{Aphel}}^2 = \frac{1}{2}m\cdot{v_{Aphel}}^2\cdot{r_{Aphel}}^2 - G \cdot {\rm{m}} \cdot {\rm{M}}\cdot{r_{Aphel}}\tag{2}\] Außerdem gilt: \({v_{Perihel}} \cdot {r_{Perihel}} = {v_{Aphel}} \cdot {r_{Aphel}} \Rightarrow \frac{1}{2}m \cdot {v_{Perihel}}^2 \cdot {r_{Perihel}}^2 = \frac{1}{2}m \cdot {v_{Aphel}}^2 \cdot {r_{Aphel}}^2\).

Zieht man Gleichung (1) von Gleichung (2) ab, so ergibt sich:

\[E_0\cdot r_{{Aphel}}^2-E_0 \cdot r_{{Perihel}}^2=-G\cdot m\cdot M\cdot r_{{Aphel}}+G\cdot m\cdot M\cdot r_{{Perihel}}\] \[\Rightarrow E_0\cdot \left(r_{Aphel}^2-r_{{Perihel}}^2\right)=-G\cdot m\cdot M\cdot \left(r_{Aphel}-r_{{Perihel}}\right)\] \[\Rightarrow {E_0} = - G \cdot m \cdot M \cdot \frac{{{r_{Aphel}} - {r_{Perihel}}}}{{{r_{Aphel}}^2 - {r_{Perihel}}^2}}\]

Gesamtenergie einer Elipsenbahn

\[{E_0} = - \frac{{G \cdot m \cdot M}}{{{r_{Aphel}} + {r_{Perihel}}}} = - \frac{{G \cdot m \cdot M}}{{2a}}\]

Für \(a = r\) folgt daraus die Gesamtenergie einer Kreisbahn, wie oben bereits gezeigt.

Bahngeschwindigkeit

Für die Bahngeschwindigkeit eines Körpers auf der Ellipse im Abstand \(r\) gilt \[\frac{1}{2}m{v^2} - \frac{{G \cdot m \cdot M}}{r} = - \frac{{G \cdot m \cdot M}}{{2a}}\]Somit ergibt sich die Bahngeschwindigkeit \(v\) aus:

Bahngeschwindigkeit

\[v = \sqrt {2GM \cdot \frac{1}{r} - \frac{1}{2a}}\]