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Aufgabe

Pluto (Abitur BY 2008 GK A5-1)

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Größenvergleich

Quelle: NASA

Am 19. Januar 2006 startete die Nasa-Sonde New Horizons zur Erforschung des Zwergplaneten Pluto aus nächster Nähe.
Nach einem Swing-by-Manöver an Jupiter im Februar 2007 soll sie Pluto im Juli 2015 passieren. Dieses Rendezvous wird in einer Entfernung von 33 AE zur Sonne stattfinden.

a)Berechnen Sie die minimale Entfernung Erde - Pluto. [Zur Kontrolle: rmin = 29 AE] (4 BE)

b)Begründen Sie, dass mit dem Hubble-Teleskop, das eine Auflösung von 0,1´´ hat, keine Oberflächendetails von Pluto erkennbar sind. Berechnen Sie dazu den größten Winkel φ, unter dem Pluto von der Erde aus erscheint. (3 BE)

c)Welche Startgeschwindigkeit wäre nötig, um von einem Punkt der Erdbahn aus auf einer Hohmann-Ellipse zum Rendezvous mit Pluto im Juli 2015 zu gelangen? Wie lange würde in diesem Fall die Hinreise dauern? (9 BE)

d)Tatsächlich genügt eine deutlich kleinere Startgeschwindigkeit bezüglich der Erde als die in Teilaufgabe 1c berechnete. Erläutern Sie dies. (4 BE)

e)Berechnen Sie die Bestrahlungsstärke auf Pluto im Juli 2015. Welche Auswirkung hat dieses Ergebnis auf die Energieversorgungssysteme der Sonde, die zum Betrieb \(200\,\rm{W}\) benötigt? (5 BE)

f)Plutos Begleiter Charon hat ungefähr 12% der Gesamtmasse des Systems Pluto-Charon. Beide umkreisen sich in 6,4 Tagen mit einem Mittelpunktsabstand von \(d=1{,}94\cdot 10^4\,\rm{km}\). Berechnen Sie daraus die Masse Charons. (6 BE)

g)Im August 2006 strich die Internationale Astronomische Union Pluto aus der Liste der Planeten und ordnete ihn in die neue Klasse der Zwergplaneten ein. Geben Sie zwei physikalische Argumente an, die diese Einstufung plausibel machen. (4 BE)

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a)Die minimale Entfernung Erde - Pluto ist der Perihelabstand des Plutos abzüglich des Erdradius. \[ r_{min} = r_P - 1\,\rm{AE} \Rightarrow r_{min} = 39{,}8\,\rm{AE} \cdot (1 - 0{,}25) - 1\,\rm{AE} = 29\,\rm{AE} \]

b)Der Winkeldurchmesser \(\varphi\) des Pluto ergibt sich aus der Beziehung: \[ \tan{\varphi} = \frac{ d_{Pluto} }{ r_{min} } = \tan{\varphi} = \frac{ 2 \cdot 0{,}18 \cdot 6368\,\rm{km}}{ 29 \cdot 1{,}5 \cdot 10^8\,\rm{km}} = 3{,}0 \cdot 10^{-5}\,\rm{Grad} = 0{,}11 " \]Details des Pluto sind nicht erkennbar, da das Auflösungsvermögen des Teleskops in der Größenordnung ist, in der man Pluto als ganzes sehen kann.

c)Die große Halbachse der Hohmannbahn ist die Hälfte der Summe von Erdbahn und Abstand Pluto-Sonne: \[ a_{Hoh} = 0{,}5 \cdot (1\,\rm{AE} + 33\,\rm{AE}) = 17\,\rm{AE} \] Für die Geschwindigkeit ergibt sich \[ \begin{array}{I} v = \sqrt{ G \cdot M_S \cdot \left( \frac{2}{r_E} - \frac{1}{a_{Hoh}} \right) } \\
\\
v = \sqrt{ 6,67 \cdot 10^{-11} \,\rm{\frac{m^3}{kg \cdot s^2}} \cdot 1{,}98 \cdot 10^{30}\,\rm{kg} \cdot \left( \frac{2}{1{,}5 \cdot 10^{11}\,\rm{m}} - \frac{1}{17 \cdot 1{,}5 \cdot 10^{11}\,\rm{m}} \right) } = 41\,\rm{\frac{km}{s}} \end{array} \]

Umlaufzeit mittels Kepler 3:  \[ \left( \frac{T_{Hoh}}{T_{Erde}} \right)^2 = \left( \frac{a_{Hoh}}{a_{Erde}} \right)^3 \Rightarrow T_{Hoh} = \sqrt{17^3} \cdot 1\,\rm{a} = 70\,\rm{a} \]

Für den Hinflug benötigt die Sonde die Hälfte dieser Zeit, also 35 Jahre.

d)Da sich die Geschwindigkeit der Sonde aus der Startgeschwindigkeit von der Erdoberfläche, der Rotationsgeschwindigkeit der Erde um die eigene Achse und der Bahngeschwindigkeit der Erde um die Sonne zusammensetzt, können bei geschickter Nutzung von Rotationsgeschwindigkeit und vor allem Erdbahngeschwindigkeit die Startgeschwindigkeit von der Erdoberfläche deutlich geringer sein als die in c) berechnete Geschwindigkeit der Sonde.

e)\[ \frac{S_{Pluto}}{S_{Erde}} = \left( \frac{a_{Erde}}{a_{Pluto}} \right)^2 \Rightarrow  S_{Pluto} = \frac{1{,}36\,\rm{\frac{kW}{m^2}}}{33^2} = 1{,}25\,\rm{\frac{W}{m^2}} \] Bei einem Wirkungsgrad von 100% würde man zur Energieversorgung ein Solarpaneel von \[\frac{200\,\rm{W}}{1{,}25\,\rm{Wm}^{-2}} = 160\,\rm{m}^2\] benötigen. Die wirkliche Fläche müsste wegen des ungünstigen Wirkungsgrad nahezu 10 mal so groß sein. Dies ist nicht realisierbar. Die Energieversorgung muss also auf andere Art (z.B. durch Plutoniumbatterien) gesichert werden.

f)Man berechnet zuerst die Gesamtmasse des Systems mittels Erweiterung des 3.Keplerschen Gesetzes (Zweikörperproblem): \[ \frac{T^2}{r^3} = \frac{4 \pi^2}{G \cdot m_{Ges}} \Rightarrow m_{Ges} = \frac{ 4 \pi^2 \cdot r^3 }{G \cdot T^2}\] \[m_{Ges} = \frac{ 4 \pi^2 \cdot (1,94 \cdot 10^7 m)^3 }{ 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{m^2}{kg \cdot s^2} \cdot (6,4 \cdot 24 \cdot 3600s)^2 } = 1,4 \cdot 10^{22}\,\rm{kg}\] Die Charonmasse macht davon 12% aus: \( m_{Charon} = 0{,}12 \cdot 1{,}4 \cdot 10^{22}\,\rm{kg} = 1{,}7 \cdot 10^{21}\,\rm{kg} \)

g)Mögliche Argumente sind (Zwei genügen!):

  • Seine Bahn ist stark gegen die Ekliptik geneigt (im Gegensatz zu allen 8 Planeten)
  • Seine Bahn ist wesentlich stärker exzentrisch als die der 8 Planeten
  • Seine Masse (Größe) ist wesentlich geringer als die der 8 Planeten
  • Man hat in letzter Zeit mehrere dem Pluto entsprechende Körper im Sonnensystem gefunden und stand vor der Entscheidung, entweder auch diese Körper zu Planeten zu erklären oder Pluto aus der Planetenliste zu streichen
  • Pluto ist ein Doppelkörper, bei dem nicht wie bei den 8 Planeten der Unterschied zwischen Hauptkörper(Planet) und Monden eindeutig ist, das der gemeinsame Schwerpunkt im Gegensatz zu Pluto-Charon bei den Planeten im Planeteninneren liegt.
  • Seine Umlaufbahn wird außer durch die Gravitationswechselwirkung mit der Sonne auch noch von vielen anderen Dingen wesentlich beeinflusst.

 

Anmerkung: Nach der neuen Definition von 2006 gelten als Planeten alle Himmelskörper, die auf einer kreisnahen Bahn die Sonne umlaufen und ausreichend Masse haben, damit die eigene Schwerkraft sie zu annähernd kugelförmiger Gestalt (hydrostatisches Gleichgewicht) zusammenzieht. Außerdem müssen sie ihre Nachbarschaft von anderem kosmischen Material freigeräumt haben.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Astronomie

Planetensystem