a)Die minimale Entfernung Erde - Pluto ist der Perihelabstand des Plutos abzüglich des Erdradius. \[ r_{min} = r_P - 1\,\rm{AE} \Rightarrow r_{min} = 39{,}8\,\rm{AE} \cdot (1 - 0{,}25) - 1\,\rm{AE} = 29\,\rm{AE} \]
b)Der Winkeldurchmesser \(\varphi\) des Pluto ergibt sich aus der Beziehung: \[ \tan{\varphi} = \frac{ d_{Pluto} }{ r_{min} } = \tan{\varphi} = \frac{ 2 \cdot 0{,}18 \cdot 6368\,\rm{km}}{ 29 \cdot 1{,}5 \cdot 10^8\,\rm{km}} = 3{,}0 \cdot 10^{-5}\,\rm{Grad} = 0{,}11 " \]Details des Pluto sind nicht erkennbar, da das Auflösungsvermögen des Teleskops in der Größenordnung ist, in der man Pluto als ganzes sehen kann.
c)Die große Halbachse der Hohmannbahn ist die Hälfte der Summe von Erdbahn und Abstand Pluto-Sonne: \[ a_{Hoh} = 0{,}5 \cdot (1\,\rm{AE} + 33\,\rm{AE}) = 17\,\rm{AE} \] Für die Geschwindigkeit ergibt sich \[ \begin{array}{I} v = \sqrt{ G \cdot M_S \cdot \left( \frac{2}{r_E} - \frac{1}{a_{Hoh}} \right) } \\
\\
v = \sqrt{ 6,67 \cdot 10^{-11} \,\rm{\frac{m^3}{kg \cdot s^2}} \cdot 1{,}98 \cdot 10^{30}\,\rm{kg} \cdot \left( \frac{2}{1{,}5 \cdot 10^{11}\,\rm{m}} - \frac{1}{17 \cdot 1{,}5 \cdot 10^{11}\,\rm{m}} \right) } = 41\,\rm{\frac{km}{s}} \end{array} \]
Umlaufzeit mittels Kepler 3: \[ \left( \frac{T_{Hoh}}{T_{Erde}} \right)^2 = \left( \frac{a_{Hoh}}{a_{Erde}} \right)^3 \Rightarrow T_{Hoh} = \sqrt{17^3} \cdot 1\,\rm{a} = 70\,\rm{a} \]
Für den Hinflug benötigt die Sonde die Hälfte dieser Zeit, also 35 Jahre.
d)Da sich die Geschwindigkeit der Sonde aus der Startgeschwindigkeit von der Erdoberfläche, der Rotationsgeschwindigkeit der Erde um die eigene Achse und der Bahngeschwindigkeit der Erde um die Sonne zusammensetzt, können bei geschickter Nutzung von Rotationsgeschwindigkeit und vor allem Erdbahngeschwindigkeit die Startgeschwindigkeit von der Erdoberfläche deutlich geringer sein als die in c) berechnete Geschwindigkeit der Sonde.
e)\[ \frac{S_{Pluto}}{S_{Erde}} = \left( \frac{a_{Erde}}{a_{Pluto}} \right)^2 \Rightarrow S_{Pluto} = \frac{1{,}36\,\rm{\frac{kW}{m^2}}}{33^2} = 1{,}25\,\rm{\frac{W}{m^2}} \] Bei einem Wirkungsgrad von 100% würde man zur Energieversorgung ein Solarpaneel von \[\frac{200\,\rm{W}}{1{,}25\,\rm{Wm}^{-2}} = 160\,\rm{m}^2\] benötigen. Die wirkliche Fläche müsste wegen des ungünstigen Wirkungsgrad nahezu 10 mal so groß sein. Dies ist nicht realisierbar. Die Energieversorgung muss also auf andere Art (z.B. durch Plutoniumbatterien) gesichert werden.
f)Man berechnet zuerst die Gesamtmasse des Systems mittels Erweiterung des 3.Keplerschen Gesetzes (Zweikörperproblem): \[ \frac{T^2}{r^3} = \frac{4 \pi^2}{G \cdot m_{Ges}} \Rightarrow m_{Ges} = \frac{ 4 \pi^2 \cdot r^3 }{G \cdot T^2}\] \[m_{Ges} = \frac{ 4 \pi^2 \cdot (1,94 \cdot 10^7 m)^3 }{ 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{m^2}{kg \cdot s^2} \cdot (6,4 \cdot 24 \cdot 3600s)^2 } = 1,4 \cdot 10^{22}\,\rm{kg}\] Die Charonmasse macht davon 12% aus: \( m_{Charon} = 0{,}12 \cdot 1{,}4 \cdot 10^{22}\,\rm{kg} = 1{,}7 \cdot 10^{21}\,\rm{kg} \)
g)Mögliche Argumente sind (Zwei genügen!):
- Seine Bahn ist stark gegen die Ekliptik geneigt (im Gegensatz zu allen 8 Planeten)
- Seine Bahn ist wesentlich stärker exzentrisch als die der 8 Planeten
- Seine Masse (Größe) ist wesentlich geringer als die der 8 Planeten
- Man hat in letzter Zeit mehrere dem Pluto entsprechende Körper im Sonnensystem gefunden und stand vor der Entscheidung, entweder auch diese Körper zu Planeten zu erklären oder Pluto aus der Planetenliste zu streichen
- Pluto ist ein Doppelkörper, bei dem nicht wie bei den 8 Planeten der Unterschied zwischen Hauptkörper(Planet) und Monden eindeutig ist, das der gemeinsame Schwerpunkt im Gegensatz zu Pluto-Charon bei den Planeten im Planeteninneren liegt.
- Seine Umlaufbahn wird außer durch die Gravitationswechselwirkung mit der Sonne auch noch von vielen anderen Dingen wesentlich beeinflusst.
Anmerkung: Nach der neuen Definition von 2006 gelten als Planeten alle Himmelskörper, die auf einer kreisnahen Bahn die Sonne umlaufen und ausreichend Masse haben, damit die eigene Schwerkraft sie zu annähernd kugelförmiger Gestalt (hydrostatisches Gleichgewicht) zusammenzieht. Außerdem müssen sie ihre Nachbarschaft von anderem kosmischen Material freigeräumt haben.