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Grundwissen

Energie im Gravitationsfeld

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Wiederholung aus der Mittelstufe

Für die Hubarbeit im Labor gilt:\[W = F_{\rm g}\cdot h\qquad\text{oder}\qquad E_{\rm{pot,oben}}-E_{\rm{pot,unten}}\] Dies ist ein Spezialfall der Gleichung \(W = F\cdot s\) also Arbeit gleich Kraft mal Weg.

Diese gilt nur unter folgenden 2 Bedingungen:

1) Die Kraft \(F\) wirkt immer in Wegrichtung

2) Die Kraft ist längs des Wegs konstant

Verallgemeinerungen für den Arbeitsbegriff:

1.
Ist die Kraft nicht parallel zum Weg, so nimmt man die Kraftkomponente in Wegrichtung mal den Weg oder

die Wegkomponente in Kraftrichtung mal die Kraft.

Im Gravitationsfeld ist die Arbeit ist nur von Anfangs- und Endpunkt, nicht jedoch vom Weg abhängig!

Man sucht sich deshalb den günstigsten Weg, dessen erster Teil ein Wegstück ist, bei dem Weg und Kraft parallel sind, und dessen zweiter Teil ein Wegstück ist, bei dem Weg und Kraft zueinander senkrecht stehen. So bringt nur der erste Teil einen Beitrag zur Arbeit.\[W=E_{\rm{pot,Endpunkt}}-E_{\rm{pot,Anfangspunkt}}\]

2.

Ist die Kraft längs des Weges nicht konstant, so besteht die Arbeit aus einer Summe kleiner Arbeitsbeträge längs kleiner Teilstücke des Weges, längs derer die Kraft sich nicht wesentlich ändert.
Dies führt zum Integral \(W = \int\limits_{{r_{Anf}}}^{{r_{End}}} {F \cdot dr} \)

Dies führt zur Arbeit im Gravitationsfeld: \(W = \int\limits_{{r_{Anf}}}^{{r_{End}}} {G \cdot m \cdot M \cdot \frac{1}{{{r^2}}} \cdot dr} = G \cdot m \cdot M \cdot \left[ { - \frac{1}{r}} \right]_{{r_A}}^{{r_E}}\)
\(W = - G \cdot m \cdot M \cdot \frac{1}{{{r_E}}} + G \cdot m \cdot M \cdot \frac{1}{{{r_A}}}\) = EPot,Ende - EPot,Anfang

Festlegung: \(E_{\rm{pot,}\infty}=0\). Im freien Weltall hat ein Körper keine potentielle Energie.

Gravitationsfeld in der Nähe von Körpern

 

gravitationsfeld_planeten_gru_e.gif Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Gravitationsfeld von Erde und Mond

In der Nähe eines schweren Körpers sinkt die potentielle Energie mit der Annäherung an den Körper indirekt proportional zum Abstand.

Man kann sich das Gravitationsfeld (um eine Raumdimension reduziert) in der Nähe von schweren Körpern wie nebenstehend skizziert vorstellen.
In der Nähe der Körper bilden sich wie in einer sich dehnenden Gummihaut auf Grund der Masse des Körpers Gruben, deren Wände mit 1/r² abfallen und längs deren Wänden andere Körper, wie Monde oder Satteliten, kreisen können, ohne den Anziehungsbereich verlassen zu können.

Berechnung der Fluchtgeschwindigkeit:

Die Hubarbeit von der Körperoberfläche bis ins Unendliche (negative potentielle Energie) muss in Form von kinetischer Energie dem Körper mitgegeben werden:\[\frac{1}{2}m\cdot{v^2} = \frac{{G \cdot {\rm{m}} \cdot {\rm{M}}}}{r} \Rightarrow v = \sqrt {\frac{{2 \cdot G \cdot M}}{r}} {\rm{ }}\] Diese Geschwindigkeit heißt Fluchtgeschwindigkeit.

Für die Erde ist die Fluchtgeschwindigkeit \(v_{\rm Flucht}= 11{,}2\,\rm{\frac{km}{s}}\)

Bedeutung der Fluchtgeschwindigkeit:

Je kleiner die Fluchtgeschwindigkeit, um so schwerer kann der Körper Gase halten. Die Bildung bzw. Beibehaltung einer Atmosphäre ist also von einer Mindestgröße der Fluchtgeschwindigkeit abhängig.

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Energie im Gravitationsfeld

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