a)Kräftegleichgewicht der Gravitationskräfte:
\[ \begin{array}{I} G \cdot \frac{ m_E \cdot m }{ r_0^2 } = G \cdot \frac{ m_M \cdot m }{ ( r_{EM} - r_0)^2 } \Rightarrow \frac{m_E}{r_0^2} = \frac{m_M}{(r_{EM} - r_0)^2} \\\\
\Rightarrow (r_{EM} - r_0)^2 \cdot m_E = r_0^2 \cdot m_M \Rightarrow (r_{EM} - r_0) \cdot \sqrt{m_E} = r_0 \cdot \sqrt{m_M} \\\\
\Rightarrow r_{EM} \cdot \sqrt{m_E} - r_0 \cdot \sqrt{m_E} = r_0 \cdot \sqrt{m_M} \Rightarrow r_{EM} \cdot \sqrt{m_E} = r_0 \cdot ( \sqrt{m_M} + \sqrt{m_E} ) \\\\
\Rightarrow r_0 = \frac{ \sqrt{m_E} }{ \sqrt{m_M} + \sqrt{m_E} } \cdot r_{EM} \end{array} \]
\[ r_0 = \frac{ \sqrt{m_E} }{ \sqrt{ 1,23 \cdot 10^{-2} \cdot m_E + \sqrt{m_E} } } \cdot 3{,}84 \cdot 10^5\,\rm{km} = \frac{ 1 }{ \sqrt{1,23 \cdot 10^{-2} + 1} } \cdot 3{,}84 \cdot 10^5\,\rm{km} = 3{,}46 \cdot 10^5\,\rm{km} \]
b)\( r_{Min} = R_{Erde} + 190\,\rm{km} = 6368\,\rm{km} + 190\,\rm{km} = 6558\,\rm{km} \)
\( r_{Max} = r_0 = 3{,}46 \cdot 10^5\,\rm{km} \)
Große Halbachse der Hohmannbahn \( a = \frac{ (r_{Min} + r_{Max}) }{2} = 1{,}76 \cdot 10^5\,\rm{km} \)
Allgemein gilt
\[ v^\ast = \sqrt{ G \cdot m_E \cdot \left( \frac{2}{r_{min}} - \frac{1}{a} \right) }\]
\[\Rightarrow v^\ast = \sqrt{ 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{m^3}{\,\rm{kg} \cdot \rm{s}^2} \cdot 6,0 \cdot 10^{24}\,\rm{kg} \left( \frac{2}{6,56 \cdot 10^6\,\rm{m}} - \frac{1}{1,76 \cdot 10^8\,\rm{m}} \right) } \Rightarrow v^\ast = 10{,}9\,\rm{\frac{km}{s}} \]
c)Die Anziehungskraft des Mondes wurde bei Teilaufgabe b) nicht berücksichtigt, sie hilft, den Körper in die höhere Bahn zu bringen, wenn man den Zeitpunkt richtig wählt, so dass die benötigte Geschwindigkeit nicht so groß wie \(v^\ast\) sein muss.
