a)Nach dem 3. Keplerschen Gesetz gilt
\[\frac{{T_{{\rm{TG}}}^2}}{{a_{{\rm{TG}}}^3}} = \frac{{T_{\rm{E}}^2}}{{a_{\rm{E}}^3}} \Rightarrow {a_{{\rm{TG}}}} = \sqrt[3]{{\frac{{T_{{\rm{TG}}}^2}}{{T_{\rm{E}}^2}}}} \cdot {a_{\rm{E}}} \Rightarrow {a_{{\rm{TG}}}} = \sqrt[3]{{\frac{{{{(6,56{\rm{a}})}^2}}}{{{{(1{\rm{a}})}^2}}}}} \cdot 1{\rm{AE}} = 3,50{\rm{AE}}\]
Für die Apheldistanz \({r_{\rm{A}}}\) gilt \({r_{\rm{A}}} = (1 + \varepsilon ) \cdot {A_{{\rm{TG}}}} \Rightarrow {r_{\rm{A}}} = (1 + 0,60) \cdot 3,50{\rm{AE}} = 5,60{\rm{AE}}\).
Für die Periheldistanz \({r_{\rm{P}}}\) gilt \({r_{\rm{P}}} = (1 - \varepsilon ) \cdot {A_{{\rm{TG}}}} \Rightarrow {r_{\rm{P}}} = (1 - 0,60) \cdot 3,50{\rm{AE}} = 1,40{\rm{AE}}\).
b)Für die Bahngeschwindigkeit \({v_{\rm{P}}}\) des Kometen Tschurjumov- Gerasimenko im Perihel gilt
\[{v = \sqrt {G \cdot M \cdot \left( {\frac{2}{{{r_{\rm{P}}}}} - \frac{1}{a}} \right)} }\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[v = \sqrt {6,67 \cdot {{10}^{ - 11}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}}{\mkern 1mu} \cdot {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 1,98 \cdot {{10}^{30}}{\rm{kg}} \cdot \left( {\frac{2}{{1,4 \cdot 1,5 \cdot {{10}^{11}}{\rm{m}}}} - \frac{1}{{3,5 \cdot 1,5 \cdot {{10}^{11}}{\rm{m}}}}} \right)} = 31 \cdot {10^3}\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}}}}\]
Auf Grund des 2. Keplerschen Gesetzes (Der Fahrstrahl Sonne - Komet überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen) muss bei der deutlich kleineren Perihelentfernung die Perihelgeschwindigkeit deutlich größer als die Aphelgeschwindigkeit ist.
c)Es gilt\[\frac{{T_{\rm{R}}^2}}{{r_{\rm{R}}^3}} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{G \cdot {m_{{\rm{TG}}}}}} \Rightarrow {T_R} = \sqrt {\frac{{4{\pi ^2} \cdot r_{\rm{R}}^3}}{{G \cdot {m_{{\rm{TG}}}}}}}\]
\[\Rightarrow {T_{\rm{R}}} = \sqrt {\frac{{4{\pi ^2} \cdot {{(3000{\rm{m}})}^3}}}{{6,67 \cdot {{10}^{ - 11}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {\mkern 1mu} {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 3,35 \cdot {{10}^{13}}{\rm{kg}}}}} = 21800{\rm{s}} = 6,0{\rm{h}}\]
d)Kometen sind mit riesigen, schmutzigen Schneebällen vergleichbare Körper von einigen Kilometern Durchmesser. Daher ist auch ihre Dichte etwas die von Eis. Sie umlaufen die Sonne auf langgestreckten Ellipsenbahnen. Erst in Sonnennähe verdampft ein Teil des Kerns und es bildet sich die Koma, eine Gashülle von mehreren 1000 Kilometern. Durch den Sonnenwind werden in Sonnennähe Gaspartikel und Staubpartikel aus dem Koma weggerissen und es entstehen der Kometenschweif, der eine Länge von über \(1\rm{AE}\) erreichen kann.
e)Der Radius des Kometen ergibt sich aus der Beziehung zwischen Masse, Dichte und Volumen:\[m = \rho \cdot V \Leftrightarrow V = \frac{m}{\rho } \Rightarrow \frac{{4\pi }}{3}r_{{\rm{TG}}}^3 = \frac{{{m_{{\rm{TG}}}}}}{{{\rho _{{\rm{TG}}}}}} \Rightarrow {r_{{\rm{TG}}}} = \sqrt[3]{{\frac{{{m_{{\rm{TG}}}} \cdot 3}}{{{\rho _{{\rm{TG}}}} \cdot 4\pi }}}}\]
\[\Rightarrow {r_{TG}} = \sqrt {\frac{{3,35 \cdot {{10}^{13}}{\rm{kg}} \cdot 3}}{{9 \cdot {{10}^2}\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} \cdot 4\pi }}} = 2,0{\rm{km}}\]
f)Nach dem Gravitationsgesetz gilt \[{F_{\rm{G}}} = G \cdot \frac{{{m_{\rm{L}}} \cdot {m_{{\rm{TG}}}}}}{{r_{{\rm{TG}}}^2}}\]
\[\Rightarrow {F_{\rm{G}}} = 6,67 \cdot {10^{ - 11}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}}{\mkern 1mu} \cdot {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot \frac{{100{\rm{kg}} \cdot 3,35 \cdot {{10}^{13}}{\rm{kg}}}}{{{{(2,0 \cdot {{10}^3}{\rm{m}})}^2}}} = 5,6 \cdot {10^{ - 2}}{\rm{N}}\]
Da die Gravitationskraft so gering ist, muss man durch eine Befestigung am Boden den Lander sichern.
g)Da die Kometen in die Bahnbereiche der Planeten gelangen, kann bei Annäherung zu einem Planeten die Bahnkurve des Kometen durch diesen Planeten wesentlich geändert werden. Solche Swing-by-Manöver können zu erheblichen Änderungen der Umlaufbahn führen.