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Aufgabe

Rosetta-Mission (Abitur BY 2010 GK A5-1)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Am 27. Februar 2004 wurde von der European Space Agency (ESA) die Sonde Rosetta gestartet. Sie wird im Jahr 2014 den Kometen Tschurjumov- Gerasimenko erreichen. Rosetta soll den Kometenkern, der die Masse \({m_{{\rm{TG}}}} = 3{,}35 \cdot {10^{13}}\,{\rm{kg}}\) hat, auf einer kreisförmigen Bahn mit Radius \(r=3\,\rm{km}\) umrunden und auf ihm einen Lander der Masse \({m_{\rm{L}}} = 100{\rm{kg}}\) absetzen. Für die Bahn des Kometen Tschurjumov-Gerasimenko um die Sonne gelten die folgenden Daten: Umlaufzeit \(T = 6{,}56\,{\rm{a}}\); numerische Exzentrizität \(\varepsilon  = 0{,}60\).

a)Berechnen Sie die Länge \(a\) der großen Halbachse sowie die Apheldistanz \(r_{\rm{A}}\) und die Periheldistanz \(r_{\rm{P}}\) der Kometenbahn. [zur Kontrolle: \({r_{\rm{P}}} = 1{,}4\,{\rm{AE}}\)] (6 BE)

b)Berechnen Sie die Bahngeschwindigkeit \(v_{\rm{P}}\) des Kometen Tschurjumov- Gerasimenko im Perihel und begründen Sie, warum diese deutlich größer als die Aphelgeschwindigkeit ist. (5 BE)

c)Berechnen Sie die Umlaufdauer \(T_{\rm{R}}\) von Rosetta um den Kometen. (4 BE)

Für die Dichte des Kometenkerns nimmt man an, dass sie etwa gleich der von Eis (\({\rho _{{\rm{Eis}}}} = 9 \cdot {10^2}\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\)) ist.

d) Erläutern Sie kurz den Aufbau eines Kometen, sein Verhalten in Sonnennähe und begründen Sie, warum die Annahme über die Dichte sinnvoll ist. (5 BE)

e) Berechnen Sie den Radius \({r_{{\rm{TG}}}}\) des Kometenkerns, wenn dieser als kugelförmig angenommen wird. [zur Kontrolle: \({r_{{\rm{TG}}}} = 2\,{\rm{km}}\)] (4 BE)

f) Berechnen Sie die Gravitationskraft zwischen Lander und Kometenkern, wenn der Lander auf dessen Oberfläche aufgesetzt hat und begründen Sie, warum der Lander mithilfe einer Harpune landen und mit Bohrern befestigt werden muss. (5 BE)

Der Komet Tschurjumov-Gerasimenko hatte bis zum Jahr 1840 eine Periheldistanz von \(4\,{\rm{AE}}\), diese änderte sich innerhalb kurzer Zeit auf \(3\,{\rm{AE}}\). Seit 1959 beträgt die Periheldistanz nur noch \(1{,}4\,{\rm{AE}}\).

g) Erläutern Sie, durch welchen Prozess solch sprunghafte Änderungen der Umlaufbahn bewirkt werden können. (4 BE)

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a)Nach dem 3. Keplerschen Gesetz gilt
\[\frac{{T_{{\rm{TG}}}^2}}{{a_{{\rm{TG}}}^3}} = \frac{{T_{\rm{E}}^2}}{{a_{\rm{E}}^3}} \Rightarrow {a_{{\rm{TG}}}} = \sqrt[3]{{\frac{{T_{{\rm{TG}}}^2}}{{T_{\rm{E}}^2}}}} \cdot {a_{\rm{E}}} \Rightarrow {a_{{\rm{TG}}}} = \sqrt[3]{{\frac{{{{(6,56{\rm{a}})}^2}}}{{{{(1{\rm{a}})}^2}}}}} \cdot 1{\rm{AE}} = 3,50{\rm{AE}}\]
Für die Apheldistanz \({r_{\rm{A}}}\) gilt \({r_{\rm{A}}} = (1 + \varepsilon ) \cdot {A_{{\rm{TG}}}} \Rightarrow {r_{\rm{A}}} = (1 + 0,60) \cdot 3,50{\rm{AE}} = 5,60{\rm{AE}}\).
Für die Periheldistanz \({r_{\rm{P}}}\) gilt \({r_{\rm{P}}} = (1 - \varepsilon ) \cdot {A_{{\rm{TG}}}} \Rightarrow {r_{\rm{P}}} = (1 - 0,60) \cdot 3,50{\rm{AE}} = 1,40{\rm{AE}}\).

b)Für die Bahngeschwindigkeit \({v_{\rm{P}}}\) des Kometen Tschurjumov- Gerasimenko im Perihel gilt
\[{v = \sqrt {G \cdot M \cdot \left( {\frac{2}{{{r_{\rm{P}}}}} - \frac{1}{a}} \right)} }\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[v = \sqrt {6,67 \cdot {{10}^{ - 11}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}}{\mkern 1mu}  \cdot {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 1,98 \cdot {{10}^{30}}{\rm{kg}} \cdot \left( {\frac{2}{{1,4 \cdot 1,5 \cdot {{10}^{11}}{\rm{m}}}} - \frac{1}{{3,5 \cdot 1,5 \cdot {{10}^{11}}{\rm{m}}}}} \right)}  = 31 \cdot {10^3}\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}}}}\]
Auf Grund des 2. Keplerschen Gesetzes (Der Fahrstrahl Sonne - Komet überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen) muss bei der deutlich kleineren Perihelentfernung die Perihelgeschwindigkeit deutlich größer als die Aphelgeschwindigkeit ist.

c)Es gilt\[\frac{{T_{\rm{R}}^2}}{{r_{\rm{R}}^3}} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{G \cdot {m_{{\rm{TG}}}}}} \Rightarrow {T_R} = \sqrt {\frac{{4{\pi ^2} \cdot r_{\rm{R}}^3}}{{G \cdot {m_{{\rm{TG}}}}}}}\] \[\Rightarrow {T_{\rm{R}}} = \sqrt {\frac{{4{\pi ^2} \cdot {{(3000{\rm{m}})}^3}}}{{6,67 \cdot {{10}^{ - 11}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {\mkern 1mu} {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 3,35 \cdot {{10}^{13}}{\rm{kg}}}}}  = 21800{\rm{s}} = 6,0{\rm{h}}\]

d)Kometen sind mit riesigen, schmutzigen Schneebällen vergleichbare Körper von einigen Kilometern Durchmesser. Daher ist auch ihre Dichte etwas die von Eis. Sie umlaufen die Sonne auf langgestreckten Ellipsenbahnen. Erst in Sonnennähe verdampft ein Teil des Kerns und es bildet sich die Koma, eine Gashülle von mehreren 1000 Kilometern. Durch den Sonnenwind werden in Sonnennähe Gaspartikel und Staubpartikel aus dem Koma weggerissen und es entstehen der Kometenschweif, der eine Länge von über \(1\rm{AE}\) erreichen kann.

e)Der Radius des Kometen ergibt sich aus der Beziehung zwischen Masse, Dichte und Volumen:\[m = \rho  \cdot V \Leftrightarrow V = \frac{m}{\rho } \Rightarrow \frac{{4\pi }}{3}r_{{\rm{TG}}}^3 = \frac{{{m_{{\rm{TG}}}}}}{{{\rho _{{\rm{TG}}}}}} \Rightarrow {r_{{\rm{TG}}}} = \sqrt[3]{{\frac{{{m_{{\rm{TG}}}} \cdot 3}}{{{\rho _{{\rm{TG}}}} \cdot 4\pi }}}}\] \[\Rightarrow {r_{TG}} = \sqrt {\frac{{3,35 \cdot {{10}^{13}}{\rm{kg}} \cdot 3}}{{9 \cdot {{10}^2}\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} \cdot 4\pi }}}  = 2,0{\rm{km}}\]

f)Nach dem Gravitationsgesetz gilt \[{F_{\rm{G}}} = G \cdot \frac{{{m_{\rm{L}}} \cdot {m_{{\rm{TG}}}}}}{{r_{{\rm{TG}}}^2}}\] \[\Rightarrow {F_{\rm{G}}} = 6,67 \cdot {10^{ - 11}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}}{\mkern 1mu}  \cdot {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot \frac{{100{\rm{kg}} \cdot 3,35 \cdot {{10}^{13}}{\rm{kg}}}}{{{{(2,0 \cdot {{10}^3}{\rm{m}})}^2}}} = 5,6 \cdot {10^{ - 2}}{\rm{N}}\] Da die Gravitationskraft so gering ist, muss man durch eine Befestigung am Boden den Lander sichern.

g)Da die Kometen in die Bahnbereiche der Planeten gelangen, kann bei Annäherung zu einem Planeten die Bahnkurve des Kometen durch diesen Planeten wesentlich geändert werden. Solche Swing-by-Manöver können zu erheblichen Änderungen der Umlaufbahn führen.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Astronomie

Planetensystem