Quantenobjekt Photon

Quantenphysik

Quantenobjekt Photon

  • Wie überträgt Licht seine Energie?
  • Was sind eigentlich Photonen?
  • Licht – auch nicht mehr als Billardkugeln?
  • Können Teilchen aus Strahlung entstehen?

Das Photonenbild löst Verständnisprobleme, die bei klassischer Betrachtung des Photoeffekts auftreten.

Mit dem Photonenbild des Lichts können die mit dem klassischen Wellenmodell des Lichts schwer verständlichen Versuchsergebnisse, welche beim Photoeffekt zu beobachten sind, zwanglos erklärt werden.

Existenz einer oberen Grenzwellenlänge

Bei der Bestrahlung einer Zinkplatte mit dem Licht einer Quecksilberdampflampe stellt man fest, dass bei negativer Vorladung der Zinkplatte eine Entladung und somit der Photoeffekt stattfindet.

Filtert man nun den sehr kurzwelligen UV-Anteil der Hg-Lampe mittels einer Glasplatte heraus, so findet kein Photoeffekt statt, selbst dann nicht, wenn die Bestrahlungsintensität der Zinkplatte durch Annäherung der Hg-Lampe um ein Vielfaches gesteigert wird.

Ob überhaupt Photoeffekt an einer bestimmten Oberfläche stattfindet oder nicht hängt also von der Wellenlänge (bzw. Frequenz) der auftreffenden Strahlung ab.

Beim Überschreiten eines bestimmten Grenzwertes der Wellenlänge (obere Grenzwellenlänge λG) ist auch bei gesteigerter Intensität der Strahlung kein Photoeffekt zu erwarten.

Klassisch könnte man sich vorstellen, dass die Elektronen durch Licht höherer Intensität (→ Welle hat höhere Amplitude) aus der Materieschicht "herausgerissen" werden und so ein Strom zu beobachten sein sollte. Da dies nicht der Fall ist, waren Zweifel an der Wellentheorie des Lichts berechtigt.

Erklärung im Photonenbild

Wenn die Photonenenergie kleiner oder gleich der Austrittsarbeit ist, kommt es zu keiner Auslösung von Elektronen. \[h \cdot f \leq W_A \Rightarrow f \leq \frac{W_A}{h} \Rightarrow \frac{c}{\lambda} \leq \frac{W_A}{h}\] \[\lambda \geq \frac{h\cdot c}{W_A} \underrightarrow{\small{\text{ Grenzwellenlänge }} } \lambda_G = \frac{h \cdot c}{W_A}\]

Trägheitsloses Einsetzen

Bei der Bestrahlung einer gasgefüllten Photozelle, an der eine "Saugspannung" liegt, mit einem Stroboskop stellt man fest, dass der Photostrom fast augenblicklich auf die Einstrahlung des Lichts folgt.

Würde sich das von der Lichtquelle ausgesandte Licht "gleichmäßig" über den Raum verteilen, wie es die Wellentheorie des Lichts verlangt, so wäre ein sofortiges Einsetzen des Photoeffekts nicht verständlich, wie es die folgende - etwas waghalsige - Abschätzung und die nebenstehende Animation für die Bestrahlung einer Metallplatte mit einer Hg-Lampe zeigt.

Abschätzung der Ablösezeit für ein Elektron aus einer Zinkplatte

Es werde angenommen, dass die verwendete Quecksilberdampflampe eine elektrische Leistung von \(P=200\rm{W}\) aufnimmt. Erfahrungsgemäß beträgt die Lichtleistung der Lampe dann maximal 10% der aufgenommenen elektrischen Leistung, also \(P=20\rm{W}\). Nach der klassischen Wellenvorstellung vom Licht müsste sich die Lichtleistung der als punktförmig angenommenen Lichtquelle gleichmäßig im Raum verteilen. Die in der Entfernung \(r=1,0\rm{m}\) von der Quelle angeordnete Zinkplatte erhält dann eine "Flächen-Lichtleistung von\[\frac{{{P_{licht}}}}{A} = \frac{{{P_{licht}}}}{{4 \cdot \pi  \cdot {r^2}}} \Rightarrow \frac{{{P_{licht}}}}{A} = \frac{{20}}{{4 \cdot \pi  \cdot 1,{0^2}}}\frac{W}{{{m^2}}} \approx 1,6\frac{W}{{{m^2}}}\]Geht man weiterhin davon aus, dass sich diese Flächenleistung auch gleichmäßig auf die in der Oberfläche der Metallplatte sitzenden Zinkatome mit einer "atomaren Fläche" von\[A' = r_{atom}^2 \cdot \pi  \Rightarrow A' = {\left( {1,0 \cdot {{10}^{ - 10}}} \right)^2} \cdot \pi \,\,{m^2} \approx 3 \cdot {10^{ - 20}}{m^2}\]verteilt und berücksichtigt man, dass etwa 90% des Lichtes an der Oberfläche reflektiert wird, so kann eine Zinkatom in etwa die Leistung P'aufg aufnehmen:\[P{'_{aufg}} = 0,10 \cdot \frac{{{P_{licht}}}}{A} \cdot A' \Rightarrow P{'_{aufg}} = 0,10 \cdot 1,6 \cdot 3 \cdot {10^{ - 20}}W \approx 5 \cdot {10^{ - 21}}W\]

Hinweis: Die tatsächliche Leistung, welche nun für den Photoeffekt am Zn-Atom zur Verfügung steht, dürfte noch deutlich geringer sein, da nur der UV-Anteil des Lichts zu betrachten ist.

Aus Experimenten weiß man, dass zum Ablösen eines Elektrons aus der Metalloberfläche eine Ablösearbeit von ca. WA =4eV ≈ 6·10-19J aufzubringen ist. Unter der gewagten Annahme, dass jedes Atom in der Oberfläche den ihm zustehenden Energiebetrag von P'aufg·Δt speichern könnte, bis es die Ablösearbeit "angespart" hat, so verginge eine Zeit von\[\Delta t = \frac{{{W_A}}}{{P{'_{aufg}}}} \Rightarrow \Delta t = \frac{{6 \cdot {{10}^{ - 19}}}}{{5 \cdot {{10}^{ - 21}}}}\frac{J}{W} \approx 1 \cdot {10^2}s\]bis ein Elektron ausgelöst würde. Tatsächlich setzt der Photoeffekt unmittelbar bei Bestrahlung ein.

Erklärung im Photonenbild

Die Energie der elektromagnetischen Strahlung ist nicht kontinuierlich über den Raum, sondern auf die "Energiepakete Photonen" verteilt. Ein Photon löst (bei entsprechenden Voraussetzungen) in einem "Elementarakt" ein Elektron aus der Oberfläche des Körpers aus.

Unabhängigkeit der kinetischen Energie der Photoelektronen von der Lichtintensität.

Mit dem folgenden Versuch kann gezeigt werden, dass die kinetische Energie der bei einer bestimmten Lichtfrequenz ausgelösten Photoelektronen unabhängig von der Lichtintensität ist.

Mit einer Lochblende wird dafür gesorgt, dass das Licht einer Quecksilberdampflampe (Hg-Lampe) hauptsächlich auf die Kathode und nicht auf die ringförmige Anode der Photozelle trifft. Das Material der Photokathode ist so beschaffen, dass der Photoeffekt - im Gegensatz zu einer Zinkplatte - schon bei sichtbarem Licht auftritt.

In den Strahlengang wird ein Interferenzfilter gebracht, welches z.B. nur grünes Licht auf die Photokathode treffen lässt.

Abhängig von der Frequenz des eingestrahlten Lichts bildet sich an der Photozelle eine bestimmte Spannung aus (der Minuspol ist dabei die Anode, der Pluspol die Kathode), die mit einem extrem hochohmigen Voltmeter (Verstärker plus Anzeigegerät) festgestellt wird.

Aus der Spannung lässt sich die kinetische Energie der ausgelösten Elektronen bestimmen (vgl. unten).

Nun bringt man in den Strahlengang zwei Polarisationsfilter. Durch sie kann die Intensität des auf die Photokathode treffenden Lichtes in einem weiten Bereich variiert werden:

Stimmen die Zeigerstellungen für die Durchlassrichtung beider Filter überein, so gelangt möglichst viel Licht auf die Photokathode.

Bilden die Zeiger miteinander einen Winkel von 90°, so gelangt kein Licht auf die Photokathode.

Es zeigt sich, dass die gemessene Spannung und somit die kinetische Energie der Elektronen weitgehend unabhängig von der eingestrahlten Lichtintensität ist.

Zusammenhang zwischen der kinetischen Energie \({E_{kin,Elektronen}}\) der ausgelösten Photoelektronen und der Spannung \(U\)

Solange noch kein Licht auf die Kathode trifft, sind Kathode und Anode neutral, die Spannung zwischen diesen beiden Elektroden ist Null.

Beim Auftreffen des Lichts lösen sich die ersten Elektronen aus der Kathode. Abhängig von der Photonenenergie und der Ablösearbeit des Kathodenmaterials besitzen sie eine bestimmte Anfangsgeschwindigkeit (beim ersten Elektron durch einen Pfeil symbolisiert) und damit kinetische Energie.

Die ersten Elektronen werden von der Anode kaum abgestoßen, da diese noch fast neutral ist.

Die nachfolgenden Elektronen (mit gleicher kinetischer Anfangsenergie wie die ersten Elektronen) werden von der nun zunehmend negativen Anode abgestoßen, sie erreichen diese aber noch. Aufgrund der Ladungstrennung (Kathode wird immer stärker positiv, Anode wird immer stärker negativ) wächst die Spannung zwischen Anode und Kathode.

Schließlich ist die Abstoßung der später ausgelösten Elektronen durch die Anode so stark, dass diese Elektronen nicht mehr zur Anode gelangen können. Die Ladungstrennung hat eine Sättigung und damit die Spannung einen stabilen Endwert erreicht, der ein Maß für die kinetische Energie der Elektronen ist. Es gilt: \[{E_{kin,Elektronen}} = e \cdot U\]Hinweis: Stellt sich an der Photozelle z.B. die Spannung 1,0 V ein, so war die maximale kinetische Energie der Photoelektronen \( E_\text{kin} = e \cdot U = 1,60 \cdot 10^{-19}\, \mathrm{A \cdot s} \cdot 1,0\, \mathrm{V} = 1,60 \cdot 10^{-19}\, \mathrm{J} = 1\, \mathrm{eV} \).

Erklärung im Photonenbild

Höhere Lichtintensität bedeutet im Photonenbild eine höhere Photonendichte. In der Bestimmungsgleichung \(h \cdot f = W_{\rm{A}}+E_{\rm{kin,el}}\) für die kinetische Energie der Elektronen kommt die Photonendichte bzw. die Intensität \(J\) nicht vor.

Das Licht im Photonenbild

Nach Albert EINSTEIN gilt:

Bei der Ausbreitung von Licht ist die Energie nicht kontinuierlich über den Raum verteilt, sondern in einer endlichen Zahl von Energiequanten lokalisiert. Licht ist ein Strom von Energiepaketen (Photonen), die sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegen, unteilbar sind und nur als Ganzes erzeugt oder absorbiert werden können.

Für die Energie eines Photons gilt\[{E_{{\rm{Ph}}}} = h \cdot f\quad(1)\]

Monochromatisches (einfarbiges) Licht besteht aus Lichtquanten einheitlicher Energie.

hohe Intensität
niedrige Intensität

Bei gleicher Frequenz bedeutet intensiveres Licht das Auftreten von mehr Lichtquanten pro Zeiteinheit, aber nicht das Auftreten von energiereicheren Photonen.

Hinweise

  • Die bildliche Darstellung der Photonen ist etwas problematisch. Stellt man sie als kleine Kügelchen dar, könnte man schnell Assoziierung mit NEWTON'schen Korpuskeln hervorrufen. Hier wurde ein Wellenpaket als Darstellung gewählt, um daran zu erinnern, dass die Photonenenergie aus der Frequenz des Lichtes berechnet werden kann.

  • Die Photonen wurden hier farbig dargestellt um monochromatisches Licht (Licht einer Frequenz) von nicht monochromatischem Licht unterscheiden zu können.

Deutung des Photoeffekt

Trifft geeignete elektromagnetische Strahlung auf einen Festkörper, so können aus dessen Oberfläche Elektronen freigesetzt werden. Man bezeichnet diese Erscheinung als äußeren Photoeffekt (oder auch als äußeren lichtelektrischer Effekt).

Im Photonenbild deutet man den Photoeffekt folgendermaßen: Die Energie eines Photons \({E_{ph}} = h \cdot f\) kann dazu verwendet werden, die für ein Elektron des Festkörpers notwendige Ablösearbeit WA zu verrichten und dem ausgelösten Elektron die kinetische Energie Ekin,el zu erteilen. Nach dem Energiesatz gilt dann\[{E_{ph}} = {W_A} + {E_{kin,el}}\] oder \[h \cdot f = {W_A} + {E_{kin,el}}\;\;\left( 2 \right)\]

Hinweise

  • Als inneren Photoeffekt bezeichnet man die Erscheinung, dass im Inneren von Körpern, in die elektromagnetische Strahlung eindringen kann, von Atomen Elektronen abgelöst werden und so die elektrische Leitfähigkeit des Körpers zunimmt.

  • Ekin,el ist die maximal mögliche, beim Photoeffekt auftretende kinetische Energie der Elektronen.

Impuls des Photons

Mit Hilfe der Beziehung \(p = \frac{E}{c}\) aus der Relativitätstheorie sowie den bekannten Beziehungen \({{E_{{\rm{Ph}}}} = h \cdot f}\) und \(\lambda  = \frac{c}{f} \Leftrightarrow \frac{f}{c} = \frac{1}{\lambda }\) erhält man für den Photonenimpuls\[{p_{{\rm{Ph}}}} = \frac{{{E_{{\rm{Ph}}}}}}{c} = \frac{{h \cdot f}}{c} = \frac{h}{\lambda }\]

Hinweise

  • Wenn du an der Herleitung der Formel für den Photonenimpuls interessiert bist, so kannst du diese hier einblenden lassen.

  • Weitere Experimente und Effekte (z.B. Comptoneffekt) zum Photonenimpuls findest du in der Linkliste.

Masse des Photons

Mit Hilfe der Beziehung \(E = m \cdot {c^2}\) aus der Relativitätstheorie sowei der bekannten Beziehung \({{E_{{\rm{Ph}}}} = h \cdot f}\) erhält man für die Masse des Photons:\[E = m \cdot {c^2} \Leftrightarrow m = \frac{E}{{{c^2}}} \Leftrightarrow {m_{{\rm{Ph}}}} = \frac{{h \cdot f}}{{{c^2}}}\]

Hinweise

  • Wie du schon bei der Herleitung des Photonenimpulses erfahren hast, besitzen die Photonen keine Ruhemasse.

  • Weitere Experimenten zur Bestätigung der Masse von Photonen findest du in der Linkliste.

Energie-Impuls-Beziehung beim Photon

Wie schon bei der Herleitung der Impulsformel für das Photon verwendet wurde (siehe oben), gilt folgender Zusammenhang zwischen Energie und Impuls beim Photon:\[{E_{{\rm{Ph}}}} = c \cdot {p_{{\rm{Ph}}}}\]

Das Wichtigste auf einen Blick

Übersicht Vorgänge beim Compton-Effekt

  • Der Compton-Effekt bezeichet die Vergrößerung der Wellenlänge \(\lambda\) eines Photons bei der Streuung an einem Teilchen wie bspw. einem Elektron.

  • Die Zunahme der Wellenlänge \(\Delta\lambda\) bei einem Streuwinkel von \(\vartheta\) lässt sich berechen mittels \[\Delta\lambda =\frac{h}{m_{0}\cdot c} (1-\cos\left(\vartheta\right))= \lambda_c(1-\cos\left(\vartheta\right)).\]

  • Die Compton-Wellenlänge \(\lambda_c\) für Elektronen ist \[\lambda_{c,e} =\frac{h}{m_{e}\cdot c} \approx 2,43\cdot 10^{-12}\,\rm{m}.\]

 

Treffen energiereiche Photonen auf ein Atom, so kommt es zu Wechselwirkungen mit den Elektronen der Atomhülle.

  • A. H. COMPTON bestrahlte um 1922 einen Streukörper mit monochromatischer Röntgenstrahlung der Wellenlänge λ. Er stellte fest, dass die Streustrahlung je nach Streuwinkel eine höhere Wellenlänge λ' aufwies. Im Photonenbild bedeutet dies, dass die Photonen der ankommenden Strahlung eine höhere Energie haben, als die Photonen der Streustrahlung. COMPTON ging davon aus, dass die ankommenden Photonen bei einem elastischen Stoß mit quasifreien Elektronen der äußerden Atomhülle Energie verlieren.

  • Bei einem elastischen Stoß mit fest gebundenen inneren Elektronen verliert das Photon nahezu keine Energie, das innere Elektron bleibt gebunden. Daher enthält die Streustrahlung auch einen Anteil, dessen Wellenlänge mit der Wellenlänge der ursprünglichen Strahlung übereinstimmt.

Aufbau und Durchführung

COMPTON verwendete 1923 die nebenstehend skizzierte Anordnung, bei der er einen fein ausgeblendeten Röntgenstrahl auf einen Streukörper treffen ließ und die gestreute Strahlung mittels einer Braggschen-Drehkristallanordnung auf ihre Wellenlänge untersuchte.

Beobachtung

Einfluss des Streuwinkels auf den Compton-Effekt

  1. In der Streustrahlung tritt neben der Wellenlänge \(\lambda\) der ursprünglichen Strahlung der Röntgenröhre noch die größere Wellenlänge \(\lambda '\) auf.
     
  2. Die Wellenlängendifferenz \(\lambda '- \lambda\) der Peaks wird mit größerem Winkel \(\vartheta\) größer (siehe Abbildung).
     
  3. Je größer der Winkel \(\vartheta\), desto geringer wird der verlustfrei reflektierte Anteil mit Wellenlänge \(\lambda\) und um so größer wird der Anteil mit der größeren Wellenlänge \(\lambda '\) (siehe Abbildung).

Einfluss des Streumaterials auf den Compton-Effekt

  1. Ändert man das Material des Streukörpers bei gleichbleibender Strahlung, so bleibt der Wellenlängenunterschied \(\lambda ' - \lambda\) gleich (siehe Abbildung).
     
  2. Der Anteil verlustfrei reflektierter Strahlung mit Wellenlänge \(\lambda\) wird um so größer, je höher die Ordnungszahl des Elements ist, welches als Streukörper verwendet wird.

Deutung

Die Versuchsergebnisse können als vollständig elastischen Stoß des Photons mit einem zunächst ruhenden Elektron gedeutet werden.
Deutung als elastischer Stoß mit einem Elektron

Theoretische Herleitung (nur für Experten)

Man deutet den Compton-Effekt als vollelastischen Stoß zwischen dem Photon und einem freien Elektron.
Das Photon gibt dabei einen Teil seiner Energie und seines Impulses an das Elektron ab.

Um nicht zu viele Indizes zu verwenden sollen für die Herleitung folgende Bezeichnungen verwendet werden:

 
Energie
Impuls
Wellenlänge
Photon vor dem Stoß
E
p
λ
Photon nach dem Stoß
E'
p'
λ'
Elektron vor dem Stoß
Eo
0
 
Elektron nach dem Stoß
Ee
pe'
 


Es gelten die folgenden physikalischen Gesetze:

  1. Energieerhaltungssatz: \[E + E_0 = E' + E_e\qquad (1) \]

  2. Impulserhaltungssatz (vektoriell): \(\vec{p} = \vec{p}' + \vec{p}'_e\)

    Herleitung Compton-Effekt über elastischen Stoß

    Dies führt über den Kosinussatz zur Gleichung \[{{p'}_e}^2 = p^2 + {p'}^2 -2pp'\cos(\vartheta) \qquad (2) \]

  3. Die Energie-Impuls-Beziehungen
    \[ \text{für das Elektron: } E_e^2 = E_0^2 + c^2 \cdot {p'}_e^2\qquad \rm{(3a)} \]
    \[ \text{ für das Photon vorher: } E = p \cdot c\qquad \rm{(3b)}\]
    \[ \text{für das Photon nachher: }  E' = p' \cdot c\qquad \rm{(3c)}\]

Vorgehen

Gesucht ist die Energie oder der Impuls oder die Wellenlänge des gestreuten Photons in Abhängigkeit von den Daten des ungestreuten Photons und des Winkels \(\vartheta\).
Strategie: Man setzt die einfacheren Gleichungen (1) und (3) in die kompliziertere Gleichung (2) ein.

(1')    \(E_e = E + E_0 – E'\)      (3a)   \({p'}_e^2 = \frac{E_e^2 – E_0^2}{c^2} = \frac{(E+ E_0-E’)^2- E_0^2}{c^2} \)              (3b)    \(p = \frac{E}{c}\)               (3c)    \(p' = \frac{E'}{c}\)           in (2) ergibt
 
\[\frac{(E + E_0 – E')^2-E_0^2}{c^2} = \frac{E^2}{c^2} + \frac{E'^2}{c^2} – 2 \frac{E\cdot E'}{c^2} \cos \left(\vartheta\right)\qquad |\cdot c^2\]
Nun muss man noch vereinfachen:      
\[E^2 + E_0^2 + E'^2 + 2E\cdot E_0 – 2E\cdot E' – 2 E' \cdot E_0 – E_0^2 = E^2 + E'^2-2E \cdot E' \cos \left(\vartheta\right)\]
\[\Rightarrow 2E \cdot E_0 – 2E \cdot E' – 2E'\cdot E_0 = -2E\cdot E' \cos \left(\vartheta\right)\qquad | \cdot \frac{1}{2 \cdot E \cdot E'\cdot E_0}\]
\[\Rightarrow \frac{1}{E'}-\frac{1}{E_0}-\frac{1}{E} = \frac{-\cos \left(\vartheta\right)}{E_0}\]
Durch Einsetzen der Energieformel des Photons ergibt sich
\[\frac{\lambda'}{h \cdot c} - \frac{\lambda}{h \cdot c}  = \frac{1}{E_0}\cdot (1-\cos \left(\vartheta\right) ) \qquad| \cdot (h\cdot c)\]
\[\Rightarrow \lambda'-\lambda = \frac{h\cdot c}{m_{0,e}\cdot c^2}(1-\cos\left(\vartheta\right))\]

\[\bbox[lightgreen,10px,border:2px solid grey]{\Rightarrow \Delta\lambda = \lambda_c(1-\cos\left(\vartheta\right))}\]

mit der sogenannten COMPTON-Wellenlänge \[\lambda_c = \frac{h}{m_{0,e}\cdot c} = 2,42 \cdot 10^{-12}m\]

Merkregel:

Ein Photon mit der COMPTON-Wellenlänge \({\lambda _{\rm{C}}}\) hat wegen
\[{E_{{\rm{Ph}}{\rm{,}}{\lambda _{\rm{C}}}}} = h \cdot \frac{c}{{{\lambda _{\rm{C}}}}} = h \cdot \frac{c}{{\frac{h}{{{m_{0,e}} \cdot c}}}} = {m_{0,e}} \cdot {c^2} = {E_{0,e}}\]
die Energie, die der Ruhemasse des Elektrons entspricht.

 

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