Quantenobjekt Photon

Quantenphysik

Quantenobjekt Photon

  • Wie überträgt Licht seine Energie?
  • Was sind eigentlich Photonen?
  • Licht – auch nicht mehr als Billardkugeln?
  • Können Teilchen aus Strahlung entstehen?

Inverser Photoeffekt

1 Aufbau und Funktionsweise einer RÖNTGEN-Röhre

Bei einer RÖNTGEN-Röhre werden die aus der Glühkathode austretenden Elektronen durch eine sehr hohe Spannung zur Anode hin beschleunigt.

Bei der Abbremsung an der Anode emittieren die negativ beschleunigten Ladungsträger elektromagnetische Strahlung, die sogenannte Bremsstrahlung (kontinuierliches Spektrum)

Darüber hinaus kann es zur Anregung von Anoden-Atomen kommen, die dann eine für das Anodenmaterial charakteristische Strahlung aussenden (Linienspektrum).

In der nebenstehenden Skizze ist das Bremsspektrum einer RÖNTGEN-Röhre mit Wolframanode für verschiedene Beschleunigungsspannungen dargestellt. Dabei wurde das Linienspektrum der charakteristischen Strahlung ausgeblendet.

Auffällig ist, dass das Bremsspektrum für eine bestimmte Beschleunigungsspannung bei der scharf definierten kurzwelligen Grenze einsetzt, dass ein Maximum der Intensität folgt und das Spektrum zu großen Wellenlängen hin asymptotisch gegen die Rechtswertachse läuft.

Die Existenz der kurzwelligen Grenze \({\lambda _{\rm{G}}}\) des kontinuierlichen Röntgenspektrums lässt sich mit dem Photonenbild der elektromagnetischen Strahlung gut verstehen:

Elektronen, welche die Beschleunigungsspannung \({U_{\rm{A}}}\) durchlaufen haben, treffen mit der kinetischen Energie \({E_{{\rm{kin,el}}}} = e \cdot {U_{\rm{A}}}\) auf die Anode. Bei der Wechselwirkung eines solchen Elektrons mit den Atomen der Anode wird normalerweise ein erheblicher Teil dieser Energie in Wärme und in die Erzeugung eines oder mehrerer Röntgenquanten verwandt.

Sehr selten kommt es vor, dass die gesamte kinetische Energie eines Elektrons dazu verwendet wird, ein Photon zu erzeugen. In diesem Falle gilt\[{{E_{{\rm{kin}}{\rm{,el}}}} = {E_{{\rm{Ph}}{\rm{,G}}}} \Leftrightarrow e \cdot {U_{\rm{A}}} = h \cdot {f_{\rm{G}}} = h \cdot \frac{c}{{{\lambda _{\rm{G}}}}} \Leftrightarrow {\lambda _{\rm{G}}} = \frac{{h \cdot c}}{{e \cdot {U_{\rm{A}}}}}}\]

Während beim äußeren Photoeffekt die Energie eines Photons dazu verwandt wird die Ablösearbeit für ein Elektron zu verrichten und dem Elektron kinetische Energie mitzugeben, läuft der obige Vorgang gerade umgekehrt ab: Ein Elektron gibt seine kinetische Energie ab, wobei eines oder mehrere Photonen erzeugt werden. Man bezeichnet diesen Prozess daher auch als inversen Photoeffekt.

Aufgabe

Bestimme die kurzwellige Grenze eines Röntgenbremsspektrums, welches bei einer Beschleunigungsspannung von \(25\,\rm{kV}\) gewonnen wurde und vergleiche mit dem obigen Diagramm.

Lösung

Für die kurzwellige Grenze bei einer Beschleunigungsspannung von \(25\,\rm{kV}\) gilt\[{\lambda _{\rm{G}}} = \frac{{h \cdot c}}{{e \cdot {U_{\rm{A}}}}} \Rightarrow {\lambda _{\rm{G}}} = \frac{{4{,}14 \cdot {{10}^{ - 15}}\,{\rm{eV}} \cdot {\rm{s}} \cdot 3{,}00 \cdot {{10}^8}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{25 \cdot {{10}^3}\,{\rm{eV}}}} = 0{,}50 \cdot {10^{ - 10}}\,{\rm{m}}\]Dieses Ergebnis stimmt sehr gut mit dem Diagramm überein.

Photonenpendel

1 Prinzipieller Aufbau, Durchführung und Beobachtung des Versuchs zur Bestimmung des Impulses von Photonen einschließlich der zur Berechnung des Photonenimpulses notwendigen Daten

In früheren Zeiten hat man die Geschwindigkeit und damit den Impuls einer Gewehrkugel bestimmt, indem man mit dem Gewehr in ein ballistisches Pendel (meist Sandsack) schoss und die Auslenkung des Pendels bestimmte. Anstelle der Gewehrkugel sollen nun Photonen verwandt werden, der Sandsack wird durch einen filigranen Spiegel ersetzt.

Die folgende, etwas komplexe Aufgabenstellung zeigt, wie man mit Hilfe des Photonenimpulses messbare, makroskopische Größen (hier die Auslenkung eines Pendels) bestimmen kann.

Aufgabe

Ein an einem \(l = 0,10\rm{m}\) langen Faden aufgehängtes Spiegelchen der Masse \(m = 2,00 \cdot {10^{ - 5}}\rm{kg}\) wird mit einem Laserblitz (\(\lambda  = 693\rm{nm}\)) der Lichtleistung \(P = 1,0 \cdot {10^8}\rm{W}\) und der Dauer \(\Delta t = 1,0 \cdot {10^{ - 8}}\rm{s}\) beschossen. Der Laserblitz werde am Spiegelchen total reflektiert. Hinweis: Bei den Überlegungen kann davon ausgegangen werden, dass \(d \ll l\) ist.

Bestätige rechnerisch, dass bei diesem Vorgang das Spiegelchen etwa um die Strecke \(s = 3,4 \cdot {10^{ - 5}}\rm{m}\) ausgelenkt wird.

Berechne die Lichtleistung des Laserblitzes.

Lösung

Bestimmung der Lichtenergie E im Laserblitz:
\[E = P \cdot \Delta t \Rightarrow E = 1,0 \cdot {10^8} \cdot 1,0 \cdot {10^{ - 8}}W \cdot s = 1,0\,J\]
Bestimmung der Photonenenergie Eph:
\[{E_{ph}} = \frac{{h \cdot c}}{\lambda } \Rightarrow {E_{ph}} = \frac{{6,63 \cdot 1{0^{ - 34}} \cdot 3,00 \cdot 1{0^8}}}{{693 \cdot {{10}^{ - 9}}}}\frac{{J \cdot s \cdot {\textstyle{m \over s}}}}{m} \approx 2,9 \cdot {10^{ - 19}}J\]
Berechnung der Photonenzahl Nph im Laserblitz:
\[{N_{ph}} = \frac{E}{{{E_{ph}}}} \Rightarrow {N_{ph}} = \frac{{1,0}}{{2,9 \cdot {{10}^{ - 19}}}}\frac{J}{J} \approx 3,5 \cdot {10^{18}}\]
Impulsänderung Δpph eines Photons (totale Reflexion):
\[\Delta {p_{ph}} = 2 \cdot {p_{ph}} \Rightarrow \Delta {p_{ph}} = 2 \cdot \frac{h}{\lambda } \Rightarrow \Delta {p_{ph}} = 2 \cdot \frac{{6,63 \cdot {{10}^{ - 34}}}}{{693 \cdot {{10}^{ - 9}}}}\frac{{J \cdot s}}{m} \approx 1,9 \cdot {10^{ - 27}}Ns\]
Gesamte Impulsänderung Δp aller Photonen:
\[\Delta p = {N_{ph}} \cdot \Delta {p_{ph}} \Rightarrow \Delta p =  \cdot 3,5 \cdot {10^{18}} \cdot 1,9 \cdot {10^{ - 27}}Ns \approx 6,7 \cdot {10^{ - 9}}Ns\]
Nach dem Impulserhaltungssatz muss die gesamte Impulsänderung Δp aller Photonen gleich der Impulsänderung des Spiegels Δpsp sein. Da der Spiegel vor der Wechselwirkung in Ruhe war, gilt für den Betrag der Geschwindigkeit v0, mit der sich der Spiegel in Bewegung setzt:
\[\Delta {p_{sp}} = m \cdot {v_0} - 0 \Rightarrow {v_0} = \frac{{\Delta {p_{sp}}}}{m} \Rightarrow {v_0} = \frac{{6,7 \cdot {{10}^{ - 9}}}}{{2,0 \cdot {{10}^{ - 5}}}}\frac{{N \cdot s}}{{kg}} \approx 3,3 \cdot {10^{ - 4}}\frac{m}{s}\]
Zu Beginn der Spiegelbewegung liegt nur kinetische Energie vor. Diese kinetische Energie wird in Lageenergie umgesetzt. Aus dem Energiesatz folgt, dass die Lageenergie im höchsten Punkt der Spiegelauslenkung gleich der kinetischen Energie des Spiegels am Anfang der Bewegung ist:
\[m \cdot g \cdot d = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_0^2 \Rightarrow d = \frac{{v_0^2}}{{2 \cdot g}} \Rightarrow d = \frac{{{{\left( {3,3 \cdot {{10}^{ - 4}}} \right)}^2}}}{{2 \cdot 9,81}}m \approx 5,7 \cdot {10^{ - 9}}m\]

Berechnung der Strecke s aus l und d: Im Dreieck ABD gilt nach Pythagoras:
\[{l^2} = {\left( {l - d} \right)^2} + {s^2} \Rightarrow {l^2} = {l^2} - 2 \cdot l \cdot d + {d^2} + {s^2}\]
Für \({d\; \ll l}\) ergibt sich dann
\[\begin{array}{l}2 \cdot l \cdot d \approx {s^2} \Rightarrow s \approx \sqrt {2 \cdot l \cdot d} \\s \approx \sqrt {2 \cdot 0,10 \cdot 5,7 \cdot 1{0^{ - 9}}} m \approx 3,4 \cdot {10^{ - 5}}m\end{array}\]

 

Schwarzer Strahler

Am Ende des 19. Jahrhunderts schienen die meisten Probleme der Physik gelöst. Es gab nur noch einige - scheinbar kleine - Unklarheiten, deren Lösung jedoch zur Entwicklung von völlig neuen Physik-Disziplinen wie z. B. der Relativitätstheorie und der Quantenphysik führte.

Eines dieser unklaren Probleme war die Strahlung eines schwarzen Körpers - einem Gebilde, das jegliche elektromagnetische Strahlung absorbiert.

Man könnte sich einen schwarzen Körper wie nebenstehend skizziert vorstellen: In einen Hohlraum steht die Strahlung im thermischen Gleichgewicht mit den Wänden, die auf einer bestimmten Temperatur T gehalten werden. Dies bedeutet, dass die Innenwände ständig Strahlung absorbieren und emittieren. Durch die sehr kleine Öffnung kann nun Strahlung in den Hohlraum eindringen und natürlich auch aus dem Hohlraum austreten. Die austretende Strahlung bezeichnet man als Hohlraumstrahlung oder Schwarzkörper-Strahlung.

Die spektrale Verteilung der Hohlraumstrahlung hängt von der Temperatur des schwarzen Körpers ab. Je heißer dieser ist, desto mehr ist das Maximum der Spektralverteilung zu kurzen Wellenlängen hin verschoben (vgl.: Eisen ist bei ca. 550°C rotglühend und wird bei weiterer Temperatursteigerung weißglühend). Die folgende Abbildung zeigt den Verlauf der Strahlungsleistung P in einem bestimmten Wellenlängenintervall [λ; λ + Δλ] in Abhängigkeit von der Wellenlänge für verschiedene Werte der absoluten Temperatur.

Am Ende des 19. Jahrhunderts bestand bei den Physikern ein großes Interesse die experimentell ermittelte Spektralverteilung theoretisch zu deuten. Dabei ging man davon aus, dass die Strahlung von im schwarzen Körper befindlichen Oszillatoren ausgesandt wurde.

Die Physiker Rayleigh und Jeans fanden eine recht befriedigende Interpretation der Strahlungskurven für den Bereich niedriger Frequenzen (grüne Kurve im nebenstehenden Diagramm).
Wien (blaue Kurve) fand eine empirische Interpretation für den gesamten Verlauf, die für hohe Frequenzen gut mit den experimentellen Daten (rote Kurve) übereinstimmte, jedoch für niedrige Frequenzen Abweichungen zeigte.

Beachten Sie, dass im nebenstehenden Bild an der Rechtswertachse die Frequenz - und nicht wie im oberen Bild - die Wellenlänge aufgetragen ist.

Max Planck gelang es nun im Herbst des Jahres 1900 einen Funktionsterm zu finden, der die rote Messkurve sehr genau beschrieb. Allerdings konnte Planck diesem Funktionsterm keine klare physikalische Begründung zuordnen. Später bezeichnete Planck diesen Term selbst als "glücklich erratene Interpolationsformel".
Nach Wochen intensivster Arbeit konnte Planck am 14. Dezember 1900 auf einer Sitzung der Deutschen Physikalischen Gesellschaft eine physikalische Interpretation der Formel geben, die jedoch zu dieser Zeit revolutionär war:

Planck musste annehmen, dass die atomaren Oszillatoren - im Gegensatz zur klassischen Physik - nicht kontinuierlich Energie abgeben oder aufnehmen können, sondern nur in Form von Energiequanten des Betrages E = h·f.
Der Proportionalitätsfaktor h zwischen Energie und Frequenz wird als plancksche Wirkungsquantum bezeichnet, er hat den Wert h = 6,63·10-34Js.

Zur Information für Experten sei auch noch die plancksche Strahlungsformel angegeben:

\[\frac{{\Delta p}}{{\Delta \lambda }} = \frac{{2 \cdot h \cdot {c^2}}}{{{\lambda ^5}}} \cdot \frac{A}{{{e^{\frac{{h \cdot c}}{{{k_{\rm{B}}} \cdot T}}}} - 1}}\]

P: Im Wellenlängenbereich [λ;λ+ Δλ] abgestrahlte Leistung
h: Plancksches Wirkungsquantum
c: Lichtgeschwindigkeit
λ: Wellenlänge der Strahlung

k: Boltzmannkonstante
T: absolute Temperatur des Strahlers
A: Fläche des Strahlers

Man bezeichnet gern den 14.12.1900 als die Geburtsstunde der Quantenphysik. Diese Teildisziplin der Physik hat das klassische physikalische Weltbild, welches zu Beginn des 20. Jahrhunderts bestand umgestürzt.
Zunächst stand die Annahme von Energiequanten beim schwarzen Strahler recht isoliert in der physikalischen Landschaft. Es dauerte aber nur 5 Jahre bis Albert Einstein auch eine Quantisierung der Energie beim Licht postulierte und damit sehr elegant den Fotoeffekt deuten konnte.

Sonnenwindsegler

 

Am 21.Juni 2005 wurde von einem russischen Atom-U-Boot eine Rakete gestartet, die die privat finanzierte Raumsonde Cosmos 1 (Bild links) in eine niedere Erdumlaufbahn bringen sollte. Dort sollte die Sonde 8 riesige Sonnensegel (Bild rechts) aufspannen. Allein durch den Rückstoß des an den Sonnensegeln reflektierten Sonnenlichts sollte die Sonde so angetrieben werden, dass sie von der niedrigen Umlaufbahn auf eine höhere gehoben wird.

Kurz nach dem Start verlor die Bodenstation den Kontakt zur Rakete und man geht inzwischen davon aus, dass sich die Sonde nicht von der Rakete gelöst hat und mit dieser ins Meer gestürzt ist. Auf eine Wiederholung des Versuchs kann noch gewartet werden.

Einen populärwissenschaftlichen Artikel mit den Grundinformationen findet man in der Süddeutschen Zeitung vom 17.06.2005.

2 Bewegung des Sonnenwindseglers um die Erde mit die Stellung der Sonnensegel zum Sonennwind

Physikalische Hintergründe des Sonnensegels

Aus den Projektdaten (SZ-Zeitungsartikel) erhält man die folgende sachliche Information:

Gewicht der Sonde: m = 100kg

Gesamtfläche der Sonnensegel: A = 600m2

Abstand der 1. Umlaufbahn von der Erdoberfläche: 800km (Die Cosmos 1-Seite: minimal 800km, maximal 1000km)

Die Formelsammlung liefert die Solarkonstante: S = 1,36 kW/m2 Strahlungsleistung pro Quadratmeter in Erdnähe außerhalb der Atmosphäre.

Verständnisaufgabe

Berechne, welche Beschleunigung unter diesen Voraussetzungen die Sonde bei optimaler Segelstellung erfährt.

Lösung

Für den Impuls eines Photons gilt Eph = pph·c. Die Impulsänderung bei der Totalreflexion bei senkrechtem Einfallswinkel eines Photons ist von +pph auf - pph, also ist Δpph = 2·pph.

Da pph ~ Eph, ist auch der Gesamtimpuls aller Photonen direkt proportional zur Gesamtenergie aller Photonen und unabhängig von der Frequenzzusammensetzung des Photonenstroms.

Die während der Zeiteinheit Δt (= 1.0s) auf die Segelfläche A treffenden Photonen besitzen eine Gesamtenergie von E = S·A·Δt und damit einen Gesamtimpuls von \(p = \frac{{S \cdot A \cdot \Delta t}}{c}\). Damit ergibt sich eine Impulsänderung \(\Delta p = \frac{{2 \cdot S \cdot A \cdot \Delta t}}{c}\).

Der Zusammenhang zwischen Kraftstoß F·Δt und Impulsänderung ist \(F = \frac{{\Delta p}}{{\Delta t}}\)

Die mittlere Kraft auf die Fläche ergibt sich deshalb aus der Impulsänderung zu \(F = \frac{{2 \cdot S \cdot A}}{c}\).

Mit dem Kraftgesetz von Newton F = m·a ergibt sich für die Beschleunigung \(a = \frac{{2 \cdot S \cdot A}}{{c \cdot m}}\). Einsetzen der Daten ergibt
\[a = \frac{{2 \cdot S \cdot A}}{{c \cdot m}}a = \frac{{2 \cdot 1360\frac{{\rm{W}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}} \cdot 600{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}{{3 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot 100{\rm{kg}}}} = 5,4 \cdot {10^{ - 5}}\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]
Diese maximale Beschleunigung kann die Sonde nur nutzen, wenn sie sich auf der Umlaufbahn um die Erde genau von der Sonne weg bewegt. In allen anderen Fällen sollte die Beschleunigungsrichtung nicht weg von der Sonne sein sondern parallel zur Geschwindigkeitsrichtung, dann wird durch Schrägstellen des Sonnensegels die projezierte Fläche kleiner, was zu geringerer Photonenzahl führt und die Photonen werden um einen Winkel kleiner als 180° reflektiert, was zu einer geringeren Impulsänderung jedes einzelnen Photons führt.

Berechne, wie lange das Sonnensegel etwa intakt bleiben müsste , damit die Sonde den Bereich der Erdanziehung verlassen kann. Berechne weiter, bis in welche Umlaufbahn die Sonde mit der prognostizierten Lebensdauer von einem Monat gelangt.

Lösung

Gehen wir zunächst von einer Kreisbahn um die Erde aus, die in 800 km von der Eroberfläche entfernt ist, so ist der Bahnradius r der Sonde r = 6368 km + 800 km = 7168 km = 7,168·106 m.

Bahngeschwindigkeit
Auf der Kreisbahn der Sonde ist die Gravitationskraft die Zentripetalkraft, woraus man die Bahngeschwindigkeit bestimmt
\[m \cdot \frac{{{v^2}}}{r} = G \cdot \frac{{m \cdot M}}{{{r^2}}} \Rightarrow v = \sqrt {G \cdot \frac{M}{r}} \]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[v = \sqrt {6,67 \cdot {{10}^{ - 11}}{\mkern 1mu} \frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot \frac{{5,977 \cdot {{10}^{24}}{\rm{kg}}}}{{7,168 \cdot {{10}^6}{\rm{m}}}}}  = 7,46 \cdot {10^3}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]

Bei dieser Umlaufgeschwindigkeit (22 fache Schallgeschwindigkeit) dauert eine Erdumkreisung 6000 s = 1 h 40 min.

Energie im Gravitationsfeld

  • Die potentielle Energie eines Massekörpers der Masse m im Gravitationsfeld der Erde mit der Masse M gegenüber dem unendlich fernen Punkt ist \({E_{{\rm{pot}}}} =  - G \cdot \frac{{m \cdot M}}{r}\), wobei r der Abstand der Massenmittelpunkte ist.
  • Die kinetische Energie auf der Kreisbahn ist \({E_{{\rm{kin}}}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2} = \frac{1}{2} \cdot G \cdot \frac{{m \cdot M}}{a}\), also die Hälfte des Betrags der potentiellen Energie.
  • Die Gesamtenergie als Summe von potentieller und kinetischer Energie ist gegenüber dem unendlichen negativ und vom Betrag gleich der kinetischen Energie auf der Kreisbahn, bzw. der halben potentiellen Energie.

Energiezuwachs durch das Sonnensegel
Will man die Zeit bis zum Verlassen der Sonde aus dem der Erdanziehungsbereich abzuschätzen, scheint der folgende Ansatz zunächst plausibel:

Beschleunigung auf die Fluchtgeschwindigkeit
Man beschleunigt die Sonde durch das Sonnensegel auf die Größe der Fluchtgeschwindigkeit aus der Umlaufbahn. Das würde bedeuten, dass man die vorhandene kinetische Energie verdoppeln müsste, also die Geschwindigkeit mit \(\sqrt 2 \) multiplizieren.

=> v1 = 7,46·103 m/s und v2 = 10,55·103 m/s , damit ergibt sich ein Geschwindigkeitsunterschied von Δv = 3,09·103 m/s.

Dieser Geschwindigkeitsunterschied wird durch eine Beschleunigung erreicht, die im Maximum

amax = 5,4·10-5 m/s2 beträgt und im zeitlichen Mittel auf der Kreisbahn die Hälfte davon ist (Herleitung siehe Kasten).

\(\bar a = \frac{{\Delta v}}{{\Delta t}} \Leftrightarrow \Delta t = \frac{{\Delta v}}{{\bar a}} \Rightarrow \Delta t = \frac{{3090\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{2,7 \cdot {{10}^{ - 5}}\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}} = 1,14 \cdot {10^8}{\rm{s}} = 3,6{\rm{a}}\)

Herleitung für Interessierte

Bei optimalem Einstellwinkel α der Segelnormale zum eintreffen Licht ist der

Beschleunigungsbetrag a = amax·cos α ,

und die Beschleunigungskomponente in Bewegungsrichtung a// = a·cos α = amax·(cos α)2

Die mittlere Beschleunigung ist dann
\[\bar a = \frac{1}{{0,5\pi }} \cdot {a_{{\rm{max}}}} \cdot \int\limits_0^{0,5\pi } {\cos {{\left( \alpha  \right)}^2}} d\alpha  = \frac{1}{{0,5\pi }} \cdot {a_{{\rm{max}}}} \cdot \left[ {\frac{1}{2} \cdot \left( {\alpha  + \sin \left( \alpha  \right) \cdot \cos \left( \alpha  \right)} \right)} \right]_0^{0,5\pi } = 0,5 \cdot {a_{{\rm{max}}}}\]

Dieser Ansatz, der stets von optimalem Vortrien ausgeht, berücksichtigt in keiner Weise, dass die Sonde durch die Energiezufuhr auf eine höhere Bahn gelangt und dabei Stück für Stück immer wieder Geschwindigkeit verliert, andererseits aber die Fluchtgeschwindigkeit von diesen höheren Bahnen geringer ist.

Energiegewinn bei einem Umlauf
Ein anderer Ansatz ist es, den Energiegewinn der Sonde bei einem Umlauf zu berechnen.

Auf einem Umlauf ist die mechanische Arbeit an der Sonde \({W_{{\rm{mech}}}} = \vec F \cdot \vec s\).
Die mittlere Kraft ist 0,5·amax·m, der Weg ist 2rπ. Daraus folgt:

WMech= 2,7·10-5 m/s2·100kg·2·7,168·106·3,14 m = 123 kJ

Die notwendige Energiezunahme zum Verlassen der Erdanziehung ist:
\[ - {E_{{\rm{ges}}}} = \frac{1}{2} \cdot G \cdot \frac{{m \cdot M}}{r} \Rightarrow  - {E_{{\rm{ges}}}} = \frac{1}{2} \cdot 6,67 \cdot {10^{ - 11}}{\mkern 1mu} \frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot \frac{{100{\rm{kg}} \cdot 5,977 \cdot {{10}^{24}}{\rm{kg}}}}{{7,168 \cdot {{10}^6}{\rm{m}}}} = 2,78 \cdot {10^9}{\rm{J}}\]

Man bräuchte 2,78·109 J : 1,23·105 J = 23 000 solche Erdumkreisungen zum Verlassen der Erdanziehung.

Eine Erdumkreisungen dauert 1h 40 min. Würde man dies hochrechnen, ergäbe sich auch hier eine Zeit von 3,6 Jahren um die Sonde aus dem Erdanziehungsbereich zu entfernen. Diese Berechnung ist mit dem selben Fehler behaftet ist, dass die Sonde mit wachsender Gesamtenergie sich auf größer werdenden und längere Zeit in Anspruch nehmenden Kreisen um die Erde bewegt.

Die Bahnänderung in einem Monat
Der Ansatz ist aber geeignet um die Größe der Umlaufbahn nach einem Monat abzuschätzen.
In einem Monat erfolgen (30·24):1,67 = 431 solche Umdrehungen und die Gesamtenergie der Sonne nimmt, stets das Optimum vorausgesetzt 431· 123 kJ = 53 MJ Energie zusätzlich auf.
Ihre Gesamtenergie ist demnach:

- 2,78·109 J + 0,053·109 J = - 2,73·109 J

Daraus kann man den Bahnradius berechnen:
\[{E_{{\rm{ges}}}} =  - \frac{1}{2} \cdot G \cdot \frac{{m \cdot M}}{r} \Leftrightarrow r =  - \frac{1}{2} \cdot G \cdot \frac{{m \cdot M}}{{{E_{{\rm{ges}}}}}}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[r = \frac{1}{2} \cdot 6,67 \cdot {10^{ - 11}}{\mkern 1mu} \frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot \frac{{100{\rm{kg}} \cdot 5,977 \cdot {{10}^{24}}{\rm{kg}}}}{{2,78 \cdot {{10}^9}{\rm{J}}}} = 7,305 \cdot {10^6}{\rm{m}}\]
7305 km - 6368 km = 937 km.

Die Sonde hat sich in einem Monat von 800 km auf 937 km von der Erdoberfläche entfernt.

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