Optische Linsen

Optik

Optische Linsen

  • Was sind Sammellinsen …
  • … und was Zerstreuungslinsen?
  • Wie erzeugen Linsen eigentlich Bilder?
  • Was sind virtuelle …
  • … und was reelle Bilder?

Mit Hilfe von drei ausgezeichneten Strahlen, den Konstruktionsstrahlen, kann man von einem Gegenstandspunkt den Bildpunkt ermitteln. Dazu muss man das Verhalten der sogenannten Konstruktionsstrahlen kennen:

Parallelstrahl wird Brennpunktstrahl

Parallel zur optischen Achse einfallende Strahlen (Parallelstrahlen) treffen sich auf der anderen Seite der Sammellinse im Brennpunkt F1. Diejenigen Strahlen, die rechts von der Linse durch den Brennpunkt laufen nennt man Brennpunktstrahlen.

Untereinander parallele Strahlen, die aber nicht parallel zur optischen Achse sind, treffen sich nicht im Brennpunkt aber in der Brennebene. Wo diese Strahlen in der Brennebene zusammenlaufen bestimmt der Mittelpunktsstrahl.

Fahre - zum besseren Verständnis - mit der Maus über das Bild.

Mittelpunktsstrahl bleibt Mittelpunktsstrahl

Strahlen, welche durch das Linsenzentrum laufen, werden Mittelpunkts- oder Hauptstrahlen genannt und gehen nahezu unabgelenkt durch die Linse.

Man kann sich das Zentrum einer dünnen Linse durch eine planparallele Platte angenähert denken. Strahlen durch dünne planparallele Platten werden nicht abgelenkt sondern nur geringfügig versetzt.

Brennpunktstrahl wird Parallelstrahl

Strahlen, welche durch den Brennpunkt auf der linken Linsenseite laufen (Brennstrahlen), werden auf der rechten Seite zu Parallelstrahlen.

Aufsuchen des Bildpunkts

Mit dem folgenden Versuch soll gezeigt werden, dass sich die drei Konstruktionsstrahlen (Parallelstrahl, Mittelpunktsstrahl und Brennpunktstrahl), welche sich vor der Linse in einem Punkt schneiden, sich auch (annähernd) auf der anderen Linsenseite in einem Punkt schneiden.

Die Konstruktionsstrahlen werden mit drei magnetisch halterbaren Lampen (jeweils mit Kondensor, Spalt und Farbfilter) erzeugt. Die Lampen werden so ausgerichtet, dass der Schnittpunkt der Lichtstrahlen weiter als die Brennweite von der Linse entfernt ist.

Hinweis: Da die Linse relativ dick ist, ist der Schnittpunkt der Konstruktionsstrahlen hinter der Linse nur annähernd zu realisieren.

Hinweis: Die Linsengleichung und die Abbildungsgesetze sind in einigen Bundesländern kein expliziter Lehrplangegenstand mehr.

Vor einer Sammellinse mit nicht zu kleiner Brennweite (z.B. f = 130mm) wird auf einer optischen Bank ein großer, heller Gegenstand (z.B. eine leuchtendes F aus Glühlämpchen) postiert. Auf der anderen Seite der Sammellinse befindet sich - ebenfalls auf der optischen Bank verschiebbar - ein großer Transparentschirm.

Beispiel für eine Messreihe

Für verschiedene Gegenstandsweiten \(g\) wird die Bildweite \(b\) bestimmt, bei der ein scharfes Bild auf dem Schirm entsteht. Dabei wird jeweils auch die Bildgröße \(B\) ausgemessen. Die Brennweite der verwendeten Linse ist \(f = 13,0\,\rm{cm}\) und die Gegenstandsgröße beträgt \(G = 21,8\,\rm{cm}\).

g in cm
97,0
87,0
77,0
67,0
47,0
b in cm
15,0
15,5
16,0
16,5
18,0
B in cm
3,5
3,7
4,4
5,0
8,5
Aufgabe

a) Zeige mit Hilfe der aufgeführten Messwerte zunächst, dass gilt \(\frac{B}{G}=\frac{b}{g}\).

b) Überprüfe die Gültigkeit der Linsengleichung durch Berechnen der Brennweite \(f\).

Lösung

a)

g in cm
97,0
87,0
77,0
67,0
47,0
b in cm
15,0
15,5
16,0
16,5
18,0
B in cm
3,5
3,7
4,4
5,3
8,5
B/G
0,16
0,17
0,20
0,24
0,39
b/g
0,15
0,18
0,21
0,25
0,38
\[\frac{{b \cdot g}}{{b + g}}\]
13,0
13,2
13,2
13,2
13,0

Aus dem Vergleich der beiden gelben Zeilen sieht man, dass recht gut gilt:

\[\frac{B}{G} = \frac{b}{g}\]

b) Aus dem Vergleich der blauen Zeile mit der Brennweite der verwendeten Linsen von \(f = 13,0\,\rm{cm}\) zeigt sich:

\[f = \frac{{b \cdot g}}{{b + g}}\quad \Rightarrow \quad \frac{1}{f} = \frac{{b + g}}{{b \cdot g}}\quad \Rightarrow \quad \frac{1}{f} = \frac{b}{{b \cdot g}} + \frac{g}{{b \cdot g}}\quad \Rightarrow \quad \frac{1}{f} = \frac{1}{g} + \frac{1}{b}\]

 

Hinweis:
Der Versuch brachte nur eine Bestätigung der Linsengleichungen bei reellen Bildern. Virtuelle Bilder können mit einem Schirm nicht aufgefangen werden. Allerdings kann man das virtuelle Bild z.B. mit einem Fotoapparat fotografieren bzw. anvisieren. Mit dieser Möglichkeit arbeitet die folgende Methode, die allerdings nur eine begrenzte Genauigkeit hat:

  • Man wählt eine Gegenstandsweite g < f, so dass ein virtuelles Bild entsteht.
  • Man betrachtet dieses virtuelle Bild mit einer Spiegelreflexkamera, die automatisch scharf stellt und liest die Entfernung ab: (x + b).
  • Man entfernt die Linse und stellt auf den Gegenstand scharf: (x + g).
  • Man misst die Entfernung x der Kamera von der Linse.

Aus diesen Daten kann nun b (ist bei virtuellen Bildern negativ) und g bestimmt und dann die Abbildungsgleichung überprüft werden.


Aus Handbuch des Physikunterrichtes 4/1

Auf dieser Seite sind einige Versuche aufgeführt, die mit einfachen Mitteln entweder in einer Schülerübung im Unterricht oder als Heimversuche gemacht werden können.

Untersuchungen an Sammellinsen Linsengesetz mit der Kerze
Bestimmung der Dioptrie einer Brille Untersuchung auf Kurz- oder Weitsichtigkeit
Messung der Vergrößerung einer Lupe Trinkgläser
Wasserflasche Doppellupe
Wassertropfen-Lupe

Mit dem folgenden Experiment kannst du den Zusammenhang zwischen der Gegenstandsweite \(g\) (Entfernung des abzubildenden Gegenstands von der Linse) und der Bildweite \(b\) (Entfernung des scharfen Bildes von der Linse) bei Abbildung mit einer Sammellinse demonstrieren.
Ebenso kannst du mit dem Experiment den Zusammenhang zwischen der Gegenstandsgröße \(G\) und der Bildgröße \(B\) untersuchen. Dabei sollst du herausfinden, wann die Linse einen Gegenstand vergrößert, als \(B > G\) ist, und wann die Linse einen Gegenstand verkleinert abbildet, also \(B<G\) ist.

Versuchsaufbau

Als Gegenstand benutzen wir ein "leuchtendes F". Das ist eine Anordnung von kleinen Glühlampen, die den Buchstaben "F" darstellen. Mittels einer Sammellinse bilden wir das "leuchtendes F" auf einen Schirm ab. Alle drei Bestandteile des Versuchs sind dabei auf einer optischen Bank montiert. Gegenstand und Schirm können jedoch verschoben und somit die Gegenstandsweite \(g\) und die Bildweite \(b\) verändert werden.

Durchführung

Die Gegenstandsweite wird zunächst sehr groß \(\left(g>2\cdot f\right)\) gewählt und der Schirms am Ort der scharfen Abbildung platziert. Anschließend wird die Gegenstandsweite schrittweise verringert (bis kurz vor \(f\)). Dabei wird jeweils der Schirm an den Ort der scharfen Abbildung verschoben und Bildweite \(b\) und Bildgröße \(\B) gemessen.

Beobachtung

Von einem Gegenstand außerhalb der Brennweite einer Sammellinse \( \left(g > f\right)\) erzeugt eine Sammellinse immer ein höhen- und seitenverkehrtes Bild. Bildweite \(b\) und Bildgröße \(B\) verändern sich jedoch bei unterschiedlichen Gegenstandsweiten \(g\).

Aufgabe

Vervollständige mithilfe der Animation die nachfolgende Tabelle zu den Bildeigenschaften der Sammellinse.

Größe der Gegenstandsweite \(g\)

Größe der Bildweite \(b\)

Bildgröße \(B\) im Vergleich zur Gegenstandsgröße \(G\)

\(g > 2\cdot f\)

Gegenstand ist weiter als \(2\cdot f\) von Linse entfernt

   

\(g = 2\cdot f\)

Gegenstand ist \(2\cdot f\) von Linse entfernt

   

\(f < g < 2\cdot f\)

Gegenstand ist zwischen doppelter und einfacher Brennweite entfernt

   
Lösung

Größe der Gegenstandsweite \(g\)

Größe der Bildweite \(b\)

Bildgröße \(B\) im Vergleich zur Gegenstandsgröße \(G\)

\(g > 2\cdot f\)

Gegenstand ist weiter als \(2\cdot f\) von Linse entfernt.

\(f < b < 2\cdot f\)

Bild liegt zwischen einfacher und doppelter Brennweite.

\(B < G\)

Das Bild ist verkleinert.

\(g = 2\cdot f\)

Gegenstand ist \(2\cdot f\) von Linse entfernt.

\(b = 2\cdot f\)

Bild ist \(2\cdot f\) von Linse entfernt.

\(B = G\)

Das Bild ist genau so groß wie der Gegenstand.

\(f < g < 2\cdot f\)

Gegenstand ist zwischen doppelter und einfacher Brennweite entfernt.

\(b > 2\cdot f\)

Bild ist weiter als \(2\cdot f\) von Linse entfernt.

\(B > G\)

Das Bild ist vergrößert.

Auswertung

Die Ergebnisse aus dem Versuch kannst du in der sog. Bewegungsregel zusammenfassen.

Solange \(g > f\) ist, gilt:

Rückt der Gegenstand auf die Linse zu, so entfernt sich das Bild von der Linse.

optische Achse
Hauptebene
optischer Mittelpunkt
verkleinern
Brennpunkt
Brennweite
doppelte Brennweite
f =
Gegenstand
Gegenstandsgröße
Gegenstandsweite
G =
g =
Lichtbündel
Parallelstrahl
Mittelpunktsstrahl
Brennstrahl
Bild
Bildgröße
Bildweite
B =
b =
HTML5-Canvas nicht unterstützt!

Veranschauliche dir zuerst mit Hilfe der Simulation die sogenannte Bewegungsregel: Solange \(g > f\) ist, gilt: Rückt der Gegenstand auf die Linse zu, so entfernt sich das Bild von der Linse.

Vervollständige anschließend mit Hilfe der Simulation die folgende Tabelle.

Lage des Gegenstandes (\(g\)) Lage des Bildes (\(b\))  Eigenschaften des Bildes (u.a. \(B\))   
\(g > 2 \cdot f\) \( f\ < b < 2 \cdot f\) reell; umgekehrt; verkleinert: \(B < G\)
\(g = 2 \cdot f\)    
\(2 \cdot f > g > f\)    
\(g=f\)    
\(f > g\)    

Fertige eine Tabelle mit den folgenden Spalten an: \(G\), \(g\), \(B\), \(b\) und \(f\). Trage die Werte für mindestens 6 verschiedene Kombinationen in die Tabelle ein und prüfe, ob für alle Messwerte die beiden Bedingungen \(\frac{G}{B} = \frac{g}{b}\) und \(\frac{1}{g} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}\) erfüllt sind.

Schiebe den Gegenstand langsam von außerhalb der zweifachen Brennweite auf die Linse zu und betrachte dabei die Bildweite und die Bildgröße im Verhältnis zu Gegenstandsweite und Gegenstandsgröße. Welche Aussagen kann man dabei machen?

Schiebe den Gegenstand langsam innerhalb die einfachen Brennweite auf die Linse zu und betrachte dabei die Bildentstehung. Welche Aussagen kann man dabei machen?

optische Achse
Hauptebene
optischer Mittelpunkt
verkleinern
Brennpunkt
Brennweite
doppelte Brennweite
f =
Gegenstand
Gegenstandsgröße
Gegenstandsweite
G =
g =
Lichtbündel
Parallelstrahl
Mittelpunktsstrahl
Brennstrahl
Bild
Bildgröße
Bildweite
B =
b =
HTML5-Canvas nicht unterstützt!

Diese HTML5-App simuliert ein einfaches astronomisches Fernrohr (keplersches Fernrohr), bestehend aus zwei Linsen, die als Objektiv und Okular bezeichnet werden. Das Licht tritt von links in das Objektiv ein, wird im Objektiv und im Okular gebrochen und erreicht danach das Auge des Beobachters (rechts vom Okular). Man beachte, dass die rot gezeichneten Strahlen der Simulation nicht den wirklichen Verlauf (Brechung beim Übergang Luft - Glas und beim Übergang Glas - Luft) zeigen. Vielmehr wird – zur Vereinfachung – die Näherung für dünne Linsen verwendet (Brechung an der Linsenebene). Wenn die Objektivbrennweite (\(f_1\)) größer als die Okularbrennweite (\(f_2\)) ist, liefert das keplersche Fernrohr ein vergrößertes, umgekehrtes Bild.

In den beiden Eingabefeldern der Schaltfläche können die Brennweiten von Objektiv und Okular zwischen \(0,05\rm{m}\) und \(0,5\rm{m}\) variiert werden ("Enter"-Taste nicht vergessen!). Zusätzlich lässt sich mit gedrückter Maustaste die Richtung der Lichtstrahlen beeinflussen. Das Programm berechnet jeweils die Größe der Sehwinkel an Objektiv und Okular (farbig gekennzeichnet) sowie den Vergrößerungsfaktor. Am Beispiel der sechs hellsten Sterne der Plejaden wird gezeigt, wie sich der Anblick durch das Fernrohr (rechts unten) von der Wirklichkeit unterscheidet.

 
  
  
 
   
   
  
 
HTML5-Canvas nicht unterstützt!

Für die Vergrößerung des Kepler-Fernrohrs erhält man die folgende Näherungsformel (für kleine Sehwinkel):
\[v =  - \frac{{{f_1}}}{{{f_2}}}\]
Dabei ist \(v\) der Vergrößerungsfaktor, \(f_1\) die Brennweite des Objektivs und \(f_2\) die Brennweite des Okulars.

Wir danken Herrn Walter Fendt für die Erlaubnis, diese HTML5/Javascript-Animation auf LEIFIphysik zu nutzen.

Gib an, wie man die Brennweiten von Okular und Objektiv wählen muss, damit die Vergrößerung des Fernrohres möglichst groß wird.

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