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Ausblick

Federpendel ungedämpft (Theorie)

Die in einem physikalischen Experiment gewonnen Messwerte können nur dann sinnvoll ausgewertet werden, wenn der Typ der mathematischen Funktion bekannt ist, durch die die Abhängigkeiten zwischen den relevanten Größen beschrieben werden kann. Aus prinzipiellen Gründen kann der Typ dieser Funktion aber niemals experimentell, sondern nur durch theoretische Überlegungen bestimmt werden. Diese werden für die Bewegung eines horizontalen Federpendels im Folgenden durchgeführt.

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Abb. 1 Bewegung eines Federpendels und einige Größen, die zur Beschreibung der Bewegung wichtig sind

Ein Körper mit der Masse \(m\) befindet sich am freien Ende einer Feder mit der Federkonstante \(D\); Körper und Feder können sich nur in horizontaler Richtung bewegen. Da es sich somit um eine eindimensionale Bewegung handelt, brauchen wir den Vektorcharakter aller Größen nicht zu berücksichtigen; wir kennzeichnen lediglich durch Vorzeichen, ob die Größen in die positive oder die negative Ortsrichtung orientiert sind.

Weiter wollen wir die Reibungskräfte auf Körper und Feder vernachlässigen. Eine solche Anordnung bezeichnet man kurz als (horizontales) ungedämpftes Federpendel.

Um die Bewegung zu beschreiben nutzen wir eine nach rechts gerichtete \(x\)-Ortsache mit dem Ursprung in der Ruhelage des Körpers. Lenkt man den Körper aus der Ruhelage bei \(x=0\) auf eine Position \(x=x_0>0\) aus, hält ihn dort fest (\(v=0\)) und lässt ihn dann los, so führt er eine periodische Bewegung aus (vgl. Animation).

Wegen der obigen Annahmen wirkt auf den Körper zu jedem Zeitpunkt der Bewegung nur eine einzige Kraft:

Die rücktreibende Kraft \(F_{\rm{F}}\) der Feder. Diese berechnet sich aus der Federkonstanten \(D\) und der momentanen Auslenkung \(x\) durch \(D \cdot x\). Da die Federkraft entgegen der Auslenkung gerichtet ist, gilt hier \(F_{\rm{F}} = - D \cdot x\).

Nach dem 2. NEWTONschen Gesetz, der Grundgleichung der Mechanik, gilt dann zu jedem Zeitpunkt \(t\) der Bewegung des Körpers die Gleichung\[m \cdot a = {F_{\rm{F}}}\]Mit \(a = \ddot x(t)\) (Definition des Beschleunigung als 2. Ableitung des Ortes nach der Zeit) und \({F_{\rm{F}}} = {F_{\rm{F}}}(x(t)) = - D \cdot x(t)\) (HOOKEsches Gesetz) ergibt sich\[m \cdot \ddot x(t) = - D \cdot x(t)\]Dividiert man noch beide Seiten dieser Gleichung durch die Masse \(m\) und bringt den Term auf der rechten auf die linke Seite der Gleichung, so erhält man\[\ddot x(t) + \frac{D}{m} \cdot x(t) = 0 \quad (*)\]Dies ist die homogene Differentialgleichung 2. Ordnung für die Elongation \(x(t)\) des Körpers während des Schwingungsvorgangs mit den beiden Anfangsbedingungen \(x(0\,\rm{s}) = {x_0}\) und \(v(0\,\rm{s}) = 0\).

Bemerkungen

In der Gleichung \((*)\) kommt die Funktion \(x(t)\) (Auslenkung) und mindestens eine ihrer Ableitungen (hier die 2. Ableitung \(\ddot x(t)\)) vor. Man nennt eine solche Gleichung Differentialgleichung. Da die höchste vorkommende Ableitung hier die 2. Ableitung ist, spricht man von einer Differentialgleichung 2. Ordnung. Schließlich ist die Differentialgleichung homogen, da in der Gleichung \((*)\) kein Summand ohne die Funktion \(x(t)\) oder eine ihrer Ableitungen auftaucht.

Das Finden von Lösungen von Differentialgleichungen gehört zur Hochschul-Mathematik. Wir sind bescheidener und zeigen in der ersten der folgenden Aufgaben lediglich, dass die oben angegebene Funktion \(x(t)\) die Differentialgleichung und ihre Anfangsbedingungen erfüllt.

Aufgabe

Elongation des Körpers

a)Weise nach, dass die Funktion \(x(t) = \hat x \cdot \cos \left( {{\omega _0} \cdot t} \right)\) mit \(\hat x = x_0\) und \({\omega _0} = \sqrt {\frac{D}{m}} \) eine Lösung der Differentialgleichung \((*)\) ist. Leite dazu die Funktion \(x(t)\) zwei Mal nach der Zeit \(t\) ab, setze \(\ddot x(t)\) und \(x(t)\) in die Differentialgleichung ein und fasse so weit zusammen, bis eine wahre Aussage entsteht.

b)Zeige, dass die Funktion \(x(t)\) auch die erste Anfangsbedingung \(x(0\,\rm{s}) = {x_0}\) erfüllt.

Im Folgenden sei nun \(m = 0{,}203\,{\rm{kg}}\), \(D = 2{,}00\,\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}\) und \({x_0} = 0{,}100\,{\rm{m}}\).

c)Berechne die Kreisfrequenz \({\omega _0}\), die Frequenz \(f_0\) und die Schwingungsdauer \(T_0\).

d)Erstelle den Graph der Funktion \(x(t)\) in einem geeigneten skalierten und beschrifteten Koordinatensystem.

e)Berechne, zu welchen Zeitpunkten im Zeitintervall \([0\,\rm{s}\;;\;{T_0}]\) die Elongation extremal ist und wie groß die Elongationen zu diesen Zeitpunkten sind.

Lösung

a)Aus\[x(t) = \hat x \cdot \cos \left( {{\omega _0} \cdot t} \right)\]erhält man durch Ableiten (Kettenregel)\[\dot x(t) = \hat x \cdot \left( { - \sin \left( {{\omega _0} \cdot t} \right)} \right) \cdot {\omega _0} =  - \hat x \cdot {\omega _0} \cdot \sin \left( {{\omega _0} \cdot t} \right)\]und durch erneutes Ableiten\[\ddot x(t) =  - \hat x \cdot {\omega _0} \cdot \cos \left( {{\omega _0} \cdot t} \right) \cdot {\omega _0} =  - \hat x \cdot \omega _0^2 \cdot \cos \left( {{\omega _0} \cdot t} \right)\]Ersetzt man in \(x(t)\) und \(\ddot x(t)\) wie angegeben \(\hat x = x_0\) und \({\omega _0} = \sqrt {\frac{D}{m}} \) und setzt \(\ddot x(t)\) und \(x(t)\) in die Differentialgleichung ein, so erhält man\[ - {x_0} \cdot \frac{D}{m} \cdot \cos \left( {\sqrt {\frac{D}{m}} \cdot t} \right) + \frac{D}{m} \cdot {x_0} \cdot \cos \left( {\sqrt {\frac{D}{m}} \cdot t} \right) = 0\]und durch Ausklammern\[x_0 \cdot \frac{D}{m} \cdot \underbrace {\left(  - \cos \left( \sqrt {\frac{D}{m}} \cdot t \right) + \cos \left( \sqrt {\frac{D}{m}} \cdot t \right) \right)}_{ =\,0} = 0\]also eine wahre Aussage, was zu zeigen war.

b)\[x(0\,{\rm{s}}) = {x_0} \cdot \cos \left( {\sqrt {\frac{D}{m}} \cdot 0\,{\rm{s}}} \right) = {x_0} \cdot \underbrace {\cos \left( 0 \right)}_{ = \,1} = {x_0}\]

c)\[{\omega _0} = \sqrt {\frac{D}{m}}  \Rightarrow {\omega _0} = \sqrt {\frac{{2{,}00\,\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}}}{{0{,}203\,{\rm{kg}}}}} = 3{,}14\,\frac{1}{{\rm{s}}}\]\[f_0 = \frac{{{\omega _0}}}{{2 \cdot \pi }} \Rightarrow f_0 = \frac{{3{,}14\,\frac{1}{{\rm{s}}}}}{{2 \cdot \pi }} = 0{,}500\,{\rm{Hz}}\]\[T_0 = \frac{1}{f} \Rightarrow T_0 = \frac{1}{{0{,}500\,{\rm{Hz}}}} = 2{,}00\,{\rm{s}}\]

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d)\[x(t) = 0{,}100{\mkern 1mu} {\rm{m}} \cdot \cos \left( {3{,}14{\mkern 1mu} \frac{1}{{\rm{s}}} \cdot t} \right)\]

e)Die Extremstellen von \(x(t)\) sind die Nullstellen von\[\dot x(t) = 0{,}100{\mkern 1mu} {\rm{m}} \cdot 3{,}14{\mkern 1mu} \frac{1}{{\rm{s}}} \cdot \left( { - \sin \left( {3{,}14{\mkern 1mu} \frac{1}{{\rm{s}}} \cdot t} \right)} \right) = - 0{,}314{\mkern 1mu} \frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot \sin \left( {3{,}14{\mkern 1mu} \frac{1}{{\rm{s}}} \cdot t} \right)\]Damit ergibt sich\[ - 0{,}314{\mkern 1mu} \frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot \sin \left( {3{,}14{\mkern 1mu} \frac{1}{{\rm{s}}} \cdot t} \right) = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {3{,}14\,\frac{1}{{\rm{s}}} \cdot t} \right) = 0\]Im angegebenen Intervall \([0\,\rm{s}\;;\;{T_0}] = [0\,\rm{s}\;;\;2{,}00\,{\rm{s}}]\) erhält man die Lösungsmenge\[L = \left\{ {0\,{\rm{s}}\;;\;1{,}00\,{\rm{s}}\;{\rm{;}}\;2{,}00\,{\rm{s}}} \right\}\]Die zugehörigen Elongationen sind\[\begin{array}{l}x(0\,{\rm{s}}) = x(2{,}00\,{\rm{s}}) = 0{,}100\,{\rm{m}} \cdot \underbrace {\cos \left( {3{,}14\,\frac{1}{{\rm{s}}} \cdot 0\,{\rm{s}}} \right)}_{ =\,1}= 0{,}100\,{\rm{m}}\\x(1{,}00\,{\rm{s}}) = 0{,}100\,{\rm{m}} \cdot \underbrace {\cos \left( {3{,}14\,\frac{1}{{\rm{s}}} \cdot 1{,}00\,{\rm{s}}} \right)}_{ =\,- 1} =  - 0{,}100\,{\rm{m}}\end{array}\]

Aufgabe

Kraft auf den Körper

a)Zeige mit Hilfe des Zusammenhangs \({F_{\rm{F}}} =  - D \cdot x\), dass die Funktion \({F_{\rm{F}}}(t) =  - \hat F \cdot \cos \left( {{\omega _0} \cdot t} \right)\) mit \(\hat F = D \cdot {x_0}\) den zeitlichen Verlauf der Federkraft während der Bewegung beschreibt.

Im Folgenden sei nun \(m = 0{,}203\,{\rm{kg}}\), \(D = 2{,}00\,\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}\) und \({x_0} = 0{,}100\,{\rm{m}}\).

b)Erstelle den Graph der Funktion \(F_{\rm{F}}=(t)\) in einem geeigneten skalierten und beschrifteten Koordinatensystem.

c)Berechne, zu welchen Zeitpunkten im Zeitintervall \([0\,\rm{s}\;;\;{T_0}]\) die Federkraft extremal ist, wie groß die Federkräfte zu diesen Zeitpunkten sind und an welchen Orten sich der Körper zu diesen Zeitpunkten befindet.

Lösung

a)\[{F_{\rm{F}}}(t) =  - D \cdot x(t) =  - D \cdot \hat x \cdot \cos \left( {{\omega _0} \cdot t} \right) =  - \underbrace {D \cdot {x_0}}_{\hat F} \cdot \cos \left( {{\omega _0} \cdot t} \right)\]

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b)\[{F_{\rm{F}}}(t) =  - 2{,}00\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}} \cdot 0{,}100{\mkern 1mu} {\rm{m}} \cdot \cos \left( {3{,}14{\mkern 1mu} \frac{1}{{\rm{s}}} \cdot t} \right) =  - 0{,}200{\rm{N}} \cdot \cos \left( {3{,}14{\mkern 1mu} \frac{1}{{\rm{s}}} \cdot t} \right)\]

c)Die Extremstellen von \(F_{\rm{F}}(t)\) sind die Nullstellen von\[{{\dot F}_{\rm{F}}}(t) =  - 0{,}200{\mkern 1mu} {\rm{N}} \cdot \left( { - \sin \left( {3{,}14{\mkern 1mu} \frac{1}{{\rm{s}}} \cdot t} \right)} \right) \cdot 3{,}14{\mkern 1mu} \frac{1}{{\rm{s}}} =  - 0{,}628{\mkern 1mu} \frac{{\rm{N}}}{{\rm{s}}} \cdot \sin \left( {3{,}14{\mkern 1mu} \frac{1}{{\rm{s}}} \cdot t} \right)\]Damit ergibt sich\[ - 0{,}628{\mkern 1mu} \frac{{\rm{N}}}{{\rm{s}}} \cdot \sin \left( {3{,}14{\mkern 1mu} \frac{1}{{\rm{s}}} \cdot t} \right) = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {3{,}14\,\frac{1}{{\rm{s}}} \cdot t} \right) = 0\]Im angegebenen Intervall \([0\,\rm{s}\;;\;{T_0}] = [0\,\rm{s}\;;\;2{,}00\,{\rm{s}}]\) erhält man die Lösungsmenge\[L = \left\{ {0\,{\rm{s}}\;;\;1{,}00\,{\rm{s}}\;{\rm{;}}\;2{,}00\,{\rm{s}}} \right\}\]Die zugehörigen Werte der Federkraft sind\[\begin{array}{l}{F_{\rm{F}}}(0\,{\rm{s}}) ={{F_{\rm{F}}}(2{,}00\,{\rm{s}}) =  - 0{,}200\,{\rm{N}} \cdot \underbrace {\cos \left( {3{,}14\,\frac{1}{{\rm{s}}} \cdot 0\,{\rm{s}}} \right)}_{ = \,1} =  - 0{,}200\,{\rm{N}}}\\{{F_{\rm{F}}}(1{,}00\,{\rm{s}}) =  - 0{,}200\,{\rm{N}} \cdot \underbrace {\cos \left( {3{,}14\,\frac{1}{{\rm{s}}} \cdot 1{,}00\,{\rm{s}}} \right)}_{ =\,- 1} = 0{,}200\,{\rm{N}}}\end{array}\]die Elongationen sind\[\begin{array}{l}x(0\,{\rm{s}}) = x(2{,}00\,{\rm{s}}) = 0{,}100\,{\rm{m}} \cdot \underbrace {\cos \left( {3{,}14\,\frac{1}{{\rm{s}}} \cdot 0\,{\rm{s}}} \right)}_{ =\,1} = 0{,}100\,{\rm{m}}\\x(1{,}00\,{\rm{s}}) = 0{,}100\,{\rm{m}} \cdot \underbrace {\cos \left( {3{,}14\,\frac{1}{{\rm{s}}} \cdot 1{,}00\,{\rm{s}}} \right)}_{ =\,- 1} =  - 0{,}100\,{\rm{m}}\end{array}\]

Aufgabe

Geschwindigkeit des Körpers

a)Zeige mit Hilfe des Zusammenhangs \(v(t) = \dot x(t)\), dass die Funktion \(v(t) =  - \hat v \cdot \sin \left( {{\omega _0} \cdot t} \right)\) mit \(\hat v = {x_0} \cdot {\omega _0} = {x_0} \cdot \sqrt {\frac{D}{m}} \) den zeitlichen Verlauf der Geschwindigkeit des Körper während der Bewegung beschreibt.

b)Zeige, dass die Funktion \(v(t)\) auch die zweite Anfangsbedingung \(v(0\,\rm{s}) = 0\) erfüllt.

Im Folgenden sei nun \(m = 0{,}203\,{\rm{kg}}\), \(D = 2{,}00\,\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}\) und \({x_0} = 0{,}100\,{\rm{m}}\).

c)Erstelle den Graph der Funktion \(v(t)\) in einem geeigneten skalierten und beschrifteten Koordinatensystem.

d)Berechne, zu welchen Zeitpunkten im Zeitintervall \([0\;;\;{T_0}]\) die Geschwindigkeit des Körpers extremal ist, wie groß die Geschwindigkeiten zu diesen Zeitpunkten sind und an welchen Orten sich der Körper zu diesen Zeitpunkten befindet.

Lösung

a)\[v(t) = \dot x(t) = \hat x \cdot \left( { - \sin \left( {{\omega _0} \cdot t} \right)} \right) \cdot {\omega _0} =  - \hat x \cdot {\omega _0} \cdot \sin \left( {{\omega _0} \cdot t} \right) =  - \underbrace {{x_0} \cdot \sqrt {\frac{D}{m}} }_{\hat v} \cdot \sin \left( {{\omega _0} \cdot t} \right)\]

b)\[v(0\,{\rm{s}}) =  - {x_0} \cdot {\omega _0} \cdot \sin \left( {{\omega _0} \cdot 0\,{\rm{s}}} \right) =  - {x_0} \cdot {\omega _0} \cdot \underbrace {\sin \left( 0 \right)}_{ =\,0} = 0\]

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c)\[v(t) =  - 0{,}100\,{\rm{m}} \cdot 3{,}14\,\frac{1}{{\rm{s}}} \cdot \sin \left( {3{,}14\,\frac{1}{{\rm{s}}} \cdot t} \right) =  - 0{,}314\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot \sin \left( {3{,}14\,\frac{1}{{\rm{s}}} \cdot t} \right)\]

d)Die Extremstellen von \(v(t)\) sind die Nullstellen von\[\dot v(t) =  - 0{,}314\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot \cos \left( {3{,}14\,\frac{1}{{\rm{s}}} \cdot t} \right) \cdot 3{,}14\,\frac{1}{{\rm{s}}} =  - 0{,}986\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot \cos \left( {3{,}14\,\frac{1}{{\rm{s}}} \cdot t} \right)\]Damit ergibt sich\[ - 0,986\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot \cos \left( {3,14\,\frac{1}{{\rm{s}}} \cdot t} \right) = 0 \Leftrightarrow \cos \left( {3,14\,\frac{1}{{\rm{s}}} \cdot t} \right) = 0\]Im angegebenen Intervall \([0\,\rm{s}\;;\;{T_0}] = [0\,\rm{s}\;;\;2{,}00\,{\rm{s}}]\) erhält man die Lösungsmenge\[L = \left\{ 0{,}50\,{\rm{s}}\;;\;1{,}50\,{\rm{s}} \right\}\]Die zugehörigen Geschwindigkeiten sind\[\begin{array}{l}v(0{,}50\,{\rm{s}}) =  - 0{,}314\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot \underbrace {\sin \left( {3{,}14\,\frac{1}{{\rm{s}}} \cdot 0{,}50\,{\rm{s}}} \right)}_{ =\,1} =  - 0{,}314\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\\v(1{,}50\,{\rm{s}}) =  - 0{,}314\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot \underbrace {\sin \left( {3{,}14\,\frac{1}{{\rm{s}}} \cdot 1{,}50\,{\rm{s}}} \right)}_{ =\,- 1} = 0{,}314\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\end{array}\]die Elongationen sind\[\begin{array}{l}x(0{,}50\,{\rm{s}}) = {x_0} \cdot \underbrace {\cos \left( {3{,}14\,\frac{1}{{\rm{s}}} \cdot 0{,}500\,{\rm{s}}} \right)}_{ =\,0} = 0\\x(1{,}50\,{\rm{s}}) = {x_0} \cdot \underbrace {\cos \left( {3{,}14\,\frac{1}{{\rm{s}}} \cdot 1{,}50\,{\rm{s}}} \right)}_{ =\,0} = 0\end{array}\]

Aufgabe

Beschleunigung des Körpers

a)Zeige mit Hilfe des Zusammenhangs \(a(t) = \ddot x(t)\), dass die Funktion \(a(t) =  - \hat a \cdot \cos \left( {{\omega _0} \cdot t} \right)\) mit \(\hat a = {x_0} \cdot {\omega _0}^2 = {x_0} \cdot \frac{D}{m}\) den zeitlichen Verlauf der Beschleunigung des Körper während der Bewegung beschreibt.

Im Folgenden sei nun \(m = 0{,}203\,{\rm{kg}}\), \(D = 2{,}00\,\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}\) und \({x_0} = 0{,}100\,{\rm{m}}\).

b)Erstelle den Graph der Funktion \(a(t)\) in einem geeigneten skalierten und beschrifteten Koordinatensystem.

c)Berechne, zu welchen Zeitpunkten im Zeitintervall \([0\;;\;{T_0}]\) die Beschleunigung des Körpers extremal ist, wie groß die Beschleunigungen zu diesen Zeitpunkten sind und an welchen Orten sich der Körper zu diesen Zeitpunkten befindet.

Lösung

a)\[a(t) = \ddot x(t) =  - \hat x \cdot {\omega _0} \cdot \cos \left( {{\omega _0} \cdot t} \right) \cdot {\omega _0} =  - \hat x \cdot \omega _0^2 \cdot \cos \left( {{\omega _0} \cdot t} \right) =  - \underbrace {{x_0} \cdot \frac{D}{m}}_{\hat a} \cdot \cos \left( {{\omega _0} \cdot t} \right)\]

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b)\[a(t) =  - 0{,}100{\rm{m}} \cdot \frac{{2{,}00\,\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}}}{{0{,}203\,{\rm{kg}}}} \cdot \cos \left( {3{,}14{\mkern 1mu} \frac{1}{{\rm{s}}} \cdot t} \right) =  - 0{,}985{\mkern 1mu} \frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^2}}} \cdot \cos \left( {3{,}14{\mkern 1mu} \frac{1}{{\rm{s}}} \cdot t} \right)\]

c)Die Extremstellen von \(a(t)\) sind die Nullstellen von\[\dot a(t) = 0{,}985\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^2}}} \cdot \sin \left( {3{,}14\,\frac{1}{{\rm{s}}} \cdot t} \right) \cdot 3{,}14\,\frac{1}{{\rm{s}}} = 3{,}09\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^3}}} \cdot \sin \left( {3{,}14\,\frac{1}{{\rm{s}}} \cdot t} \right)\]Damit ergibt sich\[3{,}09\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^3}}} \cdot \sin \left( {3{,}14\,\frac{1}{{\rm{s}}} \cdot t} \right) = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {3{,}14\,\frac{1}{{\rm{s}}} \cdot t} \right) = 0\]Im angegebenen Intervall \([0\,\rm{s}\;;\;{T_0}] = [0\,\rm{s}\;;\;2{,}00\,{\rm{s}}]\) erhält man die Lösungsmenge\[L = \left\{ {0\,{\rm{s}}\;;\;1{,}00\,{\rm{s}}\;{\rm{;}}\;2{,}00\,{\rm{s}}} \right\}\]Die zugehörigen Beschleunigungen sind\[\begin{array}{l}a(0\,{\rm{s}}) = a(2{,}00\,{\rm{s}})=- 0{,}985\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^2}}} \cdot \underbrace {\cos \left( {3{,}14\frac{1}{{\rm{s}}} \cdot 0\,{\rm{s}}} \right)}_{ = \,1} =  - 0{,}985\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^2}}}\\a(1{,}00\,{\rm{s}}) =  - 0{,}985\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^2}}} \cdot \underbrace {\cos \left( {3{,}14\frac{1}{{\rm{s}}} \cdot 1{,}00{\rm{s}}} \right)}_{ =\,- 1} = 0{,}985\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^2}}}\end{array}\]die zugehörigen Elongationen sind\[\begin{array}{l}x(0\,{\rm{s}}) = x(2{,}00\,{\rm{s}}) = 0{,}100\,{\rm{m}} \cdot \underbrace {\cos \left( {3{,}14\,\frac{1}{{\rm{s}}} \cdot 0\,{\rm{s}}} \right)}_{ =\,1} = 0{,}100\,{\rm{m}}\\x(1{,}00\,{\rm{s}}) = 0{,}100\,{\rm{m}} \cdot \underbrace {\cos \left( {3{,}14\,\frac{1}{{\rm{s}}} \cdot 1{,}00\,{\rm{s}}} \right)}_{ =\,- 1} =  - 0{,}100\,{\rm{m}}\end{array}\]

Aufgabe

Kinetische Energie des Körpers

a)Bestimme mit Hilfe des Zusammenhangs \(E_{\rm{kin}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\) den Funktionsterm der Funktion \(E_{\rm{kin}}(t)\), die den zeitlichen Verlauf der kinetischen Energie des Körpers während der Bewegung beschreibt.

Im Folgenden sei nun \(m = 0{,}203\,{\rm{kg}}\), \(D = 2{,}00\,\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}\) und \({x_0} = 0{,}100\,{\rm{m}}\).

b)Erstelle den Graph der Funktion \(E_{\rm{kin}}(t)\) in einem geeigneten skalierten und beschrifteten Koordinatensystem.

c)Berechne, zu welchen Zeitpunkten im Zeitintervall \([0\;;\;{T_0}]\) die kinetische Energie des Körpers extremal ist, wie groß die kinetische Energie zu diesen Zeitpunkten ist und an welchen Orten sich der Körper zu diesen Zeitpunkten befindet.

Lösung

a)\[{E_{{\rm{kin}}}}(t) = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v{(t)^2} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {\left( {\hat x \cdot {\omega _0} \cdot \sin \left( {{\omega _0} \cdot t} \right)} \right)^2} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {{\hat x}^2} \cdot \omega _0^2 \cdot {\sin ^2}\left( {{\omega _0} \cdot t} \right) = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {x_0}^2 \cdot \frac{D}{m} \cdot {\sin ^2}\left( {{\omega _0} \cdot t} \right) = \frac{1}{2} \cdot D \cdot {x_0}^2 \cdot {\sin ^2}\left( {{\omega _0} \cdot t} \right)\]

Joachim Herz Stiftung

b)\[{E_{{\rm{kin}}}}(t) = \frac{1}{2} \cdot 2{,}00\,\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}} \cdot {\left( {0{,}100\,{\rm{m}}} \right)^2} \cdot {\sin ^2}\left( {3{,}14\,\frac{1}{{\rm{s}}} \cdot t} \right) = 0{,}0100\,{\rm{J}} \cdot {\sin ^2}\left( {3{,}14\,\frac{1}{{\rm{s}}} \cdot t} \right)\]

c)Die Extremstellen von \({E_{{\rm{kin}}}}(t)\) sind die Nullstellen von\[{{\dot E}_{{\rm{kin}}}}(t) = 0{,}0100\,{\rm{J}} \cdot 2 \cdot \sin \left( {{3,14\,\frac{1}{{\rm{s}}}} \cdot t} \right) \cdot \cos \left( {{3,14\,\frac{1}{{\rm{s}}}} \cdot t} \right) = 0{,}0100\,{\rm{J}} \cdot \sin \left( {2 \cdot {3{,}14\,\frac{1}{{\rm{s}}}} \cdot t} \right) = 0{,}0100\,{\rm{J}} \cdot \sin \left( {{6{,}28\,\frac{1}{{\rm{s}}}} \cdot t} \right)\]Damit ergibt sich\[0{,}0100\,{\rm{J}} \cdot \sin \left( {{6,28\,\frac{1}{{\rm{s}}}} \cdot t} \right) = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {{6,28\,\frac{1}{{\rm{s}}}} \cdot t} \right) = 0\]Im angegebenen Intervall \([0\,\rm{s}\;;\;{T_0}] = [0\,\rm{s}\;;\;2{,}00\,{\rm{s}}]\) erhält man die Lösungsmenge\[L = \left\{ {0\,{\rm{s}}\;;\;0{,}50\,{\rm{s}}\;;\;1{,}00\,{\rm{s}}\;;\;1{,}50\,{\rm{s}}\;;\;2{,}00\,{\rm{s}}} \right\}\]Die zugehörigen kinetischen Energien sind\[\begin{array}{l}{E_{{\rm{kin}}}}(0\,{\rm{s}}) = {E_{{\rm{kin}}}}(1{,}00\,{\rm{s}}) = {E_{{\rm{kin}}}}(2{,}00\,{\rm{s}}) = 0{,}0100\,{\rm{J}} \cdot \underbrace {{{\sin }^2}\left( {3{,}14\,\frac{1}{{\rm{s}}} \cdot t} \right)}_{ = \,0} = 0\\{E_{{\rm{kin}}}}(0{,}50\,{\rm{s}}) = {E_{{\rm{kin}}}}(1{,}50\,{\rm{s}}) = 0{,}0100\,{\rm{J}} \cdot \underbrace {{{\sin }^2}\left( {3{,}14\,\frac{1}{{\rm{s}}} \cdot 0{,}50\,{\rm{s}}} \right)}_{ = \,1} = 0{,}0100\,{\rm{J}}\end{array}\]die zugehörigen Elongationen sind\[\begin{array}{l}x(0\,{\rm{s}}) = x(2{,}00\,{\rm{s}}) = 0{,}100\,{\rm{m}} \cdot \underbrace {\cos \left( {3{,}14\,\frac{1}{{\rm{s}}} \cdot 0{\rm{s}}} \right)}_{ = \,1} = 0{,}100\,{\rm{m}}\\x(0{,}50\,{\rm{s}}) = x(1{,}50\,{\rm{s}}) = 0{,}100\,{\rm{m}} \cdot \underbrace {\cos \left( {3{,}14\,\frac{1}{{\rm{s}}} \cdot 0{,}50\,{\rm{s}}} \right)}_{ = \,0} = 0\\x(1{,}00\,{\rm{s}}) = 0{,}100\,{\rm{m}} \cdot \underbrace {\cos \left( {3{,}14\,\frac{1}{{\rm{s}}} \cdot 1{,}00\,{\rm{s}}} \right)}_{ = \, - 1} =  - 0{,}100\,{\rm{m}}\end{array}\]

Aufgabe

Potentielle Energie (Spannenergie) der Feder

a)Bestimme mit Hilfe des Zusammenhangs \(E_{\rm{pot}} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot s^2\) den Funktionsterm der Funktion \(E_{\rm{pot}}(t)\), die den zeitlichen Verlauf der potentiellen Energie der Feder während der Bewegung beschreibt.

Im Folgenden sei nun \(m = 0{,}203\,{\rm{kg}}\), \(D = 2{,}00\,\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}\) und \({x_0} = 0{,}100\,{\rm{m}}\).

b)Erstelle den Graph der Funktion \(E_{\rm{pot}}(t)\) in einem geeigneten skalierten und beschrifteten Koordinatensystem.

c)Berechne, zu welchen Zeitpunkten im Zeitintervall \([0\;;\;{T_0}]\) die potentielle Energie des Körpers extremal ist, wie groß die potentielle Energie zu diesen Zeitpunkten ist und an welchen Orten sich der Körper zu diesen Zeitpunkten befindet.

Lösung

a)\[{E_{{\rm{pot}}}}(t) = \frac{1}{2} \cdot D \cdot x{(t)^2} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot {\left( {\hat x \cdot \cos \left( {{\omega _0} \cdot t} \right)} \right)^2} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot {{\hat x}^2} \cdot {\cos ^2}\left( {{\omega _0} \cdot t} \right) = \frac{1}{2} \cdot D \cdot {x_0}^2 \cdot {\cos ^2}\left( {{\omega _0} \cdot t} \right)\]

Joachim Herz Stiftung

b)\[{E_{{\rm{pot}}}}(t) = \frac{1}{2} \cdot 2{,}00\,\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}} \cdot {\left( {0{,}100\,{\rm{m}}} \right)^2} \cdot {\cos ^2}\left( {3{,}14\,\frac{1}{{\rm{s}}} \cdot t} \right) = 0{,}0100\,{\rm{J}} \cdot {\cos ^2}\left( {3{,}14\,\frac{1}{{\rm{s}}} \cdot t} \right)\]

c)Die Extremstellen von \({E_{{\rm{pot}}}}(t)\) sind die Nullstellen von\[{{\dot E}_{{\rm{pot}}}}(t) = 0{,}0100\,{\rm{J}} \cdot 2 \cdot \cos \left( {{3,14\,\frac{1}{{\rm{s}}}} \cdot t} \right) \cdot \left( -\cos \left( {{3,14\,\frac{1}{{\rm{s}}}} \cdot t} \right)\right) = -0{,}0100\,{\rm{J}} \cdot \sin \left( {2 \cdot {3{,}14\,\frac{1}{{\rm{s}}}} \cdot t} \right) = -0{,}0100\,{\rm{J}} \cdot \sin \left( {{6{,}28\,\frac{1}{{\rm{s}}}} \cdot t} \right)\]Damit ergibt sich\[-0{,}0100\,{\rm{J}} \cdot \sin \left( {{6,28\,\frac{1}{{\rm{s}}}} \cdot t} \right) = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {{6,28\,\frac{1}{{\rm{s}}}} \cdot t} \right) = 0\]Im angegebenen Intervall \([0\,\rm{s}\;;\;{T_0}] = [0\,\rm{s}\;;\;2{,}00\,{\rm{s}}]\) erhält man die Lösungsmenge\[L = \left\{ {0\,{\rm{s}}\;;\;0{,}50\,{\rm{s}}\;;\;1{,}00\,{\rm{s}}\;;\;1{,}50\,{\rm{s}}\;;\;2{,}00\,{\rm{s}}} \right\}\]Die zugehörigen potentiellen Energien sind\[\begin{array}{l}{E_{{\rm{pot}}}}(0\,{\rm{s}}) = {E_{{\rm{pot}}}}(1{,}00\,{\rm{s}}) = {E_{{\rm{pot}}}}(2{,}00\,{\rm{s}}) = 0{,}0100\,{\rm{J}} \cdot \underbrace {{{\cos }^2}\left( {3{,}14\,\frac{1}{{\rm{s}}} \cdot t} \right)}_{ = \;1} = 0{,}0100\,{\rm{J}}\\{E_{{\rm{pot}}}}(0{,}50\,{\rm{s}}) = {E_{{\rm{pot}}}}(1{,}50\,{\rm{s}}) = 0{,}0100\,{\rm{J}} \cdot \underbrace {{{\cos }^2}\left( {3{,}14\,\frac{1}{{\rm{s}}} \cdot 0{,}50\,{\rm{s}}} \right)}_{ = \;0} = 0\end{array}\]die zugehörigen Elongationen sind\[\begin{array}{l}x(0\,{\rm{s}}) = x(2{,}00\,{\rm{s}}) = 0{,}100\,{\rm{m}} \cdot \underbrace {\cos \left( {3{,}14\,\frac{1}{{\rm{s}}} \cdot 0\,{\rm{s}}} \right)}_{ = \,1} = 0{,}100\,{\rm{m}}\\x(0{,}50\,{\rm{s}}) = x(1{,}50\,{\rm{s}}) = 0{,}100\,{\rm{m}} \cdot \underbrace {\cos \left( {3{,}14\,\frac{1}{{\rm{s}}} \cdot 0{,}50\,{\rm{s}}} \right)}_{ = \,0} = 0\\x(1{,}00\,{\rm{s}}) = 0{,}100\,{\rm{m}} \cdot \underbrace {\cos \left( {3{,}14\,\frac{1}{{\rm{s}}} \cdot 1{,}00\,{\rm{s}}} \right)}_{ = \, - 1} =  - 0{,}100\,{\rm{m}}\end{array}\]

Aufgabe

Gesamtenergie des Federpendels

a)Zeige allgemein, dass die Gesamtenergie des Federpendels, das ist die Summe aus der kinetischen Energie des Körpers und der Spannenergie der Feder, während der gesamten Bewegung konstant bleibt.

Im Folgenden sei nun \(m = 0{,}203\,{\rm{kg}}\), \(D = 2{,}00\,\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}\) und \({x_0} = 0{,}100\,{\rm{m}}\).

b)Berechne die Gesamtenergie des Federpendels.

Lösung

a)\[E_{\rm{ges}}={E_{{\rm{kin}}}}(t) + {E_{{\rm{pot}}}}(t) = \frac{1}{2} \cdot D \cdot {x_0}^2 \cdot {\sin ^2}\left( {{\omega _0} \cdot t} \right) + \frac{1}{2} \cdot D \cdot {x_0}^2 \cdot {\cos ^2}\left( {{\omega _0} \cdot t} \right) = \frac{1}{2} \cdot D \cdot {x_0}^2 \cdot {\underbrace {\left( {{\sin }^2}\left( {{\omega _0} \cdot t} \right) + {{\cos }^2}\left( {{\omega _0} \cdot t} \right) \right)}_{ = \,1}} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot {x_0}^2\]

b)\[{E_{{\rm{ges}}}} = \frac{1}{2} \cdot 2{,}00\,\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}} \cdot {\left( {0{,}100\,{\rm{m}}} \right)^2} = 0{,}0100\,{\rm{J}}\]