Mechanische Schwingungen

Ausblick

Doppeltes Federpendel

Das Wichtigste auf einen Blick

Ein doppeltes Federpendel mit einem Pendelkörper der Masse \(m\) und zwei Federn mit der gleichen Federkonstante \(D\) schwingt harmonisch mit der Zeit-Ort-Funktion \(x(t) = {x_0} \cdot \cos \left( {{\omega _0} \cdot t} \right)\; {\rm{mit}}\;{\omega _0} = \sqrt {\frac{2 \cdot D}{m}} \)
Die Schwingungsdauer berechnet sich durch \(T = 2\pi \cdot \sqrt {\frac{m}{2 \cdot D}}\).

Größen

Abb. 1 Bewegung eines doppelten Federpendels und einige Größen, die zur Beschreibung der Bewegung wichtig sind

Ein doppeltes Federpendel besteht aus einem Pendelkörper, der über zwei gleiche Federn horizontal befestigt ist. Der Pendelkörper wird ein Stück aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt, festgehalten und dann losgelassen. Die Animation in Abb. 1 zeigt den prinzipiellen Aufbau, die Durchführung und die Beobachtung des entsprechenden Versuchs. Wenn du die Checkbox "Größen" anwählst, kannst du dir in der Animation die wichtigsten Größen zur Beschreibung der Bewegung einblenden lassen.

Im Folgenden werden wir die Bewegung des doppelten Federpendels mathematisch auf Basis des 2. Axioms von NEWTON (Aufstellen und dann Lösen der Gleichung \(F=m \cdot a \Leftrightarrow a = \frac{F}{m}\; (*)\)) beschreiben. Hierzu machen wir folgende vereinfachende Annahmen:

Die Bewegung des Pendelkörpers und der Federn verläuft reibungsfrei.
Die Masse der Federn wird vernachlässigt.
Die Beträge der Federkräfte sind proportional zur jeweiligen Ausdehnung der Federn.

1. Einführen eines geeigneten Koordinatensystems

Wir wählen eine horizontales Koordinatensystem (\(x\)-Achse), dessen Nullpunkt in der Ruhelage des Federpendels liegt und das nach rechts orientiert ist (vgl. Animation). In diesem Koordinatensystem gilt für die Beschleunigung als 2. Ableitung des Ortes nach der Zeit\[a = \ddot x(t) \quad (1)\]Da es sich um eine eindimensionale Bewegung handelt, brauchen wir den Vektorcharakter aller Größen nicht zu berücksichtigen; wir kennzeichnen lediglich durch Vorzeichen, ob eine Größe in (+) oder gegen (-) die Orientierung des Koordinatensystems gerichtet ist.

2. Bestimmen der beschleunigenden Kraft \(F=F_{\rm{res}}\)

Da die Bewegung reibungsfrei verlaufen soll, wirken auf den Pendelkörper zwei Kräfte: Die Federkraft \(\vec F_{\rm{F,l}}\) der linken Feder und die Federkraft \(\vec F_{\rm{F,r}}\) der rechten Feder. Wir erhalten also \[F_{\rm{res}}=F_{\rm{F,l}}+F_{\rm{F,r}} \quad(2)\]

3. Bestimmen der beschleunigten Masse \(m\)

Da die Massen der Federn vernachlässigt werden können, ist die beschleunigte Masse allein die Masse \(m\) des Pendelkörpers. Sie bleibt während der Schwingung konstant.

4. Konkretisieren der Bewegungsgleichung

Somit ergibt sich aus Gleichung \((*)\) mit \((1)\) und \((2)\)\[\ddot x(t) = \frac{F_{\rm{F,l}}+F_{\rm{F,r}}}{m}\quad (**)\]Nun analysieren wir den Term auf der rechten Seite von Gleichung \((**)\).

Die Federkräfte \(\vec F_{\rm{F,l}}\) und \(\vec F_{\rm{F,r}}\) sind beide stets gegen die Position \(x\) gerichtet: Ist die Position \(x\) positiv, so wirken die Federkräfte gegen die Orientierung des Koordinatensystems; ist die Position negativ, so wirken die Federkräfte mit der Orientierung des Koordinatensystems (vgl. Animation). Es gilt also\[F_{\rm{F,l}} = F_{\rm{F,r}} = - D \cdot x\]Da diese Beziehung zu jedem Zeitpunkt \(t\) der Bewegung gilt, können wir statt \(x\) allgemeiner \(x(t)\) schreiben und erhalten\[F_{\rm{F,l}} = F_{\rm{F,r}} = -D \cdot x(t) \quad(3)\]

Setzen wir \((3)\) in \((**)\) ein, so erhalten wir\[\ddot x(t) = \frac{F_{\rm{F,l}}+F_{\rm{F,r}}}{m}\underbrace{=}_{(3)} = \frac{-D \cdot x(t)+\left(-D \cdot x(t)\right)}{m} = -\frac{2 \cdot D}{m} \cdot x(t)\]Bringen wir noch alle Terme auf die linke Seite der Gleichung, so erhalten wir\[\ddot x(t) + \frac{2 \cdot D}{m} \cdot x(t) = 0\quad (***)\]Gleichung \((***)\) ist die Differentialgleichung zur Beschreibung des doppelten Federpendels.

5. Angeben der Anfangsbedingungen

Zum Zeitpunkt \(t = 0\) ist der Pendelkörper auf die Position \(x_0\) ausgelenkt und wird dort festgehalten (vgl. Animation). Die Anfangsbedingungen lauten demnach \(x(0)=x_0\) und \(\dot x(0) = v(0)= 0\).

6. Lösen der Bewegungsgleichung

Die Bewegungsgleichung ist gelöst, wenn man eine Funktion \(x(t)\) gefunden hat, die die Gleichung \((***)\) und die beiden Anfangsbedingungen \(x(0)=x_0\) und \(\dot x(0) = v(0)= 0\) erfüllt. Diese Funktion beschreibt dann die Bewegung des doppelten Federpendels vollständig. Wenn du an dieser mathematischen Aufgabe interessiert bist, kannst du dir Herleitung einblenden lassen.

Gesucht ist eine Lösung von Gleichung \((***)\), d.h. eine Funktion \(x(t)\), deren zweite Ableitung nach der Zeit \(\ddot x(t)\) entgegengesetzt proportional zur Funktion \(x(t)\) ist. Dies trifft sowohl auf die Sinus- als auch auf die Kosinusfunktion zu. Wegen der Anfangsbedingung \(x(0)=x_0\ne 0\) kommt wegen \(\sin (0) = 0\) hier nur die Kosinusfunktion als Lösung in Betracht. Wir setzen also an mit der allgemeinen Kosinusfunktion\[x(t) = \hat x \cdot \cos \left( {\omega_0 \cdot t} \right)\]und müssen nun die Größen \(\omega_0\) und \(\hat x\) bestimmen.

Hinweis: Wir benutzen für ungedämpfte Schwingungen für die Kreisfrequenz die Bezeichnung \(\omega_0\) mit dem Index \(_0\).

Zur Bestimmung von \(\omega_0\) bilden wir zuerst die 1. Ableitung nach der Zeit\[\dot x(t) = - \hat x \cdot \omega_0 \cdot \sin \left( {\omega_0 \cdot t} \right)\]und dann die 2. Ableitung nach der Zeit\[\ddot x(t) = - \hat x \cdot {\omega_0^2} \cdot \cos \left( {\omega_0 \cdot t} \right)\]und setzen die Funktion und die 2. Ableitung in Gleichung \((***)\) ein. Dann erhalten wir\[\begin{eqnarray} - \hat x \cdot {\omega_0^2} \cdot \cos \left( {\omega_0 \cdot t} \right) + \frac{{2 \cdot D}}{m} \cdot \hat x \cdot \cos \left( {\omega_0 \cdot t} \right) &=& 0\\ - \hat x \cdot \cos \left( {\omega_0 \cdot t} \right) \cdot \left[ {{\omega_0^2} - \frac{{2 \cdot D}}{m}} \right] &=& 0\end{eqnarray}\]Die linke Seite dieser Gleichung ist nur dann immer \(0\), wenn\[{{\omega_0^2} - \frac{{2 \cdot D}}{m} = 0 \Rightarrow \omega_0 = \sqrt {\frac{{2 \cdot D}}{m}} }\]

Zur Bestimmung von \(\hat x\) nutzen wir die erste Anfangsbedingung \(x(0) = {x_0}\). Damit diese Bedingung erfüllt ist, muss gelten\[x(0) = {x_0} \Rightarrow \hat x \cdot \underbrace {\cos \left( {\omega_0 \cdot 0} \right)}_{ = \;1} = {x_0} \Rightarrow \hat x = {x_0}\]Auch die zweite Anfangsbedingung \(v(0)=\dot x(0) = 0\) muss erfüllt sein. Dies ist wegen\[v(0)=\dot x(0) = - \hat x \cdot \omega_0 \cdot \underbrace {\sin \left( {\omega_0 \cdot 0} \right)}_{ = \;0} = 0\]ebenfalls der Fall.

Bewegung des doppelten Federpendels

Bei geeignet gewähltem Koordinatensystem (vgl. Animation in Abb. 1) und den Anfangsbedingungen \(x(0) = {x_0}\) und \(v(0)=\dot x(0) = 0\) wird die Bewegung eines doppelten Federpendels mit einem Pendelkörper der Masse \(m\) und zwei gleichen Federn mit der Federkonstante \(D\) beschrieben durch die Zeit-Ort-Funktion\[x(t) = {x_0} \cdot \cos \left( {{\omega _0} \cdot t} \right)\quad {\rm{mit}}\quad{\omega _0} = \sqrt {\frac{2 \cdot D}{m}} \]Das doppelte Federpendel schwingt somit harmonisch.

Für die Schwingungsdauer \(T\) ergibt sich dann wegen \(T=\frac{2 \cdot \pi}{\omega}\)\[T = \frac{{2 \cdot \pi }}{{\sqrt {\frac{{2 \cdot D}}{m}} }} = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt {\frac{m}{{2 \cdot D}}} \]

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