Ein stehendes Blattfederpendel besteht aus einem Pendelkörper, der am freien Ende einer Blattfeder befestigt ist. Das andere Ende der Blattfeder ist fest an einer Unterlage befestigt. Der Pendelkörper wird anfangs ein kleines Stück (vgl. hierzu auch den Hinweis am Ende des Artikels) aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt, festgehalten und dann losgelassen. Die Animation in Abb. 1 zeigt den prinzipiellen Aufbau, die Durchführung und die Beobachtung des entsprechenden Versuchs. Wenn du die Checkbox "Größen" anwählst, kannst du dir in der Animation die wichtigsten Größen zur Beschreibung der Bewegung einblenden lassen.
Im Folgenden werden wir die Bewegung des stehenden Blattfederpendels mathematisch auf Basis des 2. Axioms von NEWTON (Aufstellen und dann Lösen der Gleichung \(F=m \cdot a \Leftrightarrow a = \frac{F}{m}\; (*)\)) beschreiben. Hierzu machen wir folgende vereinfachende Annahmen:
- Der Pendelkörper bewegt sich auf einer Kreisbahn um den Befestigungspunkt der Blattfeder herum, d.h. wir vernachlässigen die Biegung der Blattfeder.
- Die Bewegung des Pendelkörpers und der Blattfeder verläuft reibungsfrei.
- Die rücktreibende Kraft des freien Endes der Blattfeder ist proportional zur dortigen Auslenkung.
- Die Masse der Blattfeder wird vernachlässigt.
- Der Pendelkörper wird nur gering ausgelenkt.
1. Einführen eines geeigneten Koordinatensystems
Wir wählen eine gebogenes Koordinatensystem (\(x\)-Achse), dessen Nullpunkt im Ruhepunkt des Blattfederpendels liegt und das nach rechts orientiert ist (vgl. Animation). Da es sich um eine eindimensionale Bewegung handelt, brauchen wir den Vektorcharakter aller Größen nicht zu berücksichtigen; wir kennzeichnen lediglich durch Vorzeichen, ob eine Größe in (+) oder gegen (-) die Orientierung des Koordinatensystems gerichtet ist. Damit gilt\[a = \ddot x(t) \quad (1)\]
2. Bestimmen der beschleunigenden Kraft \(F=F_{\rm{res}}\)
Da die Bewegung reibungsfrei verlaufen soll, wirken auf den Pendelkörper zwei Kräfte: Die Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) und die Kraft der Blattfeder. Diese beiden Kräfte kompensieren sich teilweise gegenseitig: Die Komponente der Gewichtskraft, die orthogonal zur der Bahn des Pendelkörpers steht, wird durch eine entsprechende Komponente der Kraft der Blattfeder kompensiert. Übrig bleiben ...
- die andere Komponente der Gewichtskraft, die tangential zur Bahn des Pendelkörpers steht und in Bahnrichtung wirkt; diese Komponente bezeichnen wir mit \(\vec F_{\rm{G,tan}}\) (vgl. hierzu auch den Hinweis am Ende des Artikels)
- die andere Komponente der Kraft der Blattfeder, die als Federkraft \(\vec F_{\rm{F}}\) tangential zur Bahn des Pendelkörpers steht und ebenfalls in Bahnrichtung wirkt
Wir erhalten also\[F_{\rm{res}} = F_{\rm{G,tan}} + F_{\rm{F}} \quad (2)\]
3. Bestimmen der beschleunigten Masse \(m\)
Da die Masse der Blattfeder vernachlässigt werden kann, ist die beschleunigte Masse allein die Masse \(m\) des Pendelkörpers. Sie bleibt während der Schwingung konstant.
4. Konkretisieren der Bewegungsgleichung
Somit ergibt sich aus Gleichung \((*)\) mit (\(1)\) und (\(2)\)\[\ddot x(t) = \frac{F_{\rm{G,tan}}+F_{\rm{F}}}{m}\quad (**)\]Nun analysieren wir schrittweise den Term auf der rechten Seite von Gleichung \((**)\).
Schritt 1
In der Detailskizze in Abb. 2 kann man folgendes erkennen:
Der Winkel mit der Weite \(\varphi\) zwischen der Senkrechten (gestrichelt) und dem gedachten Kreisradius zwischen Befestigungspunkt und Pendelkörper findet sich in dem kleinen Dreieck, gebildet aus Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\), Tangentialkomponente \(\vec F_{\rm{G,tan}}\) und gestrichelter Strecke wieder.
Dieses Dreieck ist rechtwinklig mit der Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) als Hypotenuse und der Tangentialkomponente \(\vec F_{\rm{G,tan}}\) als Gegenkathete des Winkels. Damit ergibt sich nach dem Sinussatz im rechtwinkligen Dreieck\[\sin \left( \varphi \right) = \frac{{{F_{{\rm{G,tan}}}}}}{{{F_{\rm{G}}}}} \Leftrightarrow {F_{{\rm{G,tan}}}} = {F_{\rm{G}}} \cdot \sin \left( \varphi \right)\]Da die Tangentialkomponente \(\vec F_{\rm{G,tan}}\) der Gewichtskraft stets gleich gerichtet zur Auslenkung \(x\) ist, gilt mit \({F_{\rm{G}}}=m \cdot g\) dann\[ F_{\rm{G,tan}} = m \cdot g \cdot \sin \left( \varphi \right) \quad (3)\]
Schritt 2
Die rücktreibende Komponente \(\vec F_{\rm{F}}\) der Kraft der Blattfeder ist stets entgegengesetzt gerichtet zur Auslenkung \(x\). Somit gilt nach dem Gesetz von HOOKE \(F_{\rm{F}} = - D \cdot x\). Da diese Beziehung zu jedem Zeitpunkt \(t\) der Bewegung gilt, können wir statt \(x\) allgemeiner \(x(t)\) schreiben und erhalten\[F_{\rm{F}} = - D \cdot x(t) \quad(4)\]
Schritt 3
Für kleine Winkel ist die im Bogenmaß gemessene Winkelweite \(\varphi\) fast gleich mit dem Sinus \(\sin \left( \varphi \right)\) des Winkels. Es gilt also\[\sin \left( \varphi \right) \approx \varphi \quad (5)\]
Schritt 4
Die Detailskizze in Abb. 3 zeigt den aus der Senkrechten (gestrichelt), dem gedachten Kreisradius der Länge \(l\) zwischen Befestigungspunkt und Pendelkörper und der \(x\)-Koordinate gebildeten Kreisausschnitt. Für diesen Kreisausschnitt gilt (im Bogenmaß) das Verhältnis\[\frac{{{\rm{Teilwinkel}}}}{{{\rm{Vollwinkel}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{Kreisbogen}}}}{{{\rm{Kreisumfang}}}} \Leftrightarrow \frac{\varphi }{{2 \cdot \pi }} = \frac{x}{{2 \cdot \pi \cdot l}} \Leftrightarrow \varphi = \frac{x}{l}\]Da diese Beziehung zu jedem Zeitpunkt \(t\) der Bewegung gilt, können wir statt \(x\) allgemeiner \(x(t)\) schreiben und erhalten\[\varphi = \frac{x(t)}{l} \quad(6)\]
Setzen wir \((3)\), \((4)\), \((5)\) und \((6)\) in \((**)\) ein, so erhalten wir\[\ddot x(t) = \frac{F_{\rm{G,tan}} + F_{\rm{F}}}{m}\underbrace = _{(3),(4)}\frac{{m \cdot g \cdot \sin \left( \varphi \right) - D \cdot x}}{m}\underbrace = _{(5)}\frac{{m \cdot g \cdot \varphi - D \cdot x}}{m}\underbrace = _{(6)}\frac{{m \cdot g \cdot \frac{{x(t)}}{l} - D \cdot x(t)}}{m} = - \left( {\frac{D}{m}-\frac{g}{l}} \right) \cdot x(t)\]Bringen wir noch alle Terme auf die linke Seite der Gleichung, so erhalten wir\[\ddot x(t) + \left( \frac{D}{m} - \frac{g}{l} \right) \cdot x(t) = 0\quad (***)\]Gleichung \((***)\) ist die Differentialgleichung zur Beschreibung des stehenden Blattfederpendels.
5. Angeben der Anfangsbedingungen
Zum Zeitpunkt \(t = 0\) ist der Pendelkörper auf die Position \(x_0\) ausgelenkt und wird dort festgehalten (vgl. Animation in Abb. 1). Die Anfangsbedingungen lauten demnach \(x(0)=x_0\) und \(\dot x(0) = v(0)= 0\).
6. Lösen der Bewegungsgleichung
Die Bewegungsgleichung ist gelöst, wenn man eine Funktion \(x(t)\) gefunden hat, die die Gleichung \((***)\) und die beiden Anfangsbedingungen \(x(0)=x_0\) und \(\dot x(0) = v(0)= 0\) erfüllt. Diese Funktion beschreibt dann die Bewegung des stehenden Blattfederpendels vollständig. Wenn du an dieser mathematischen Aufgabe interessiert bist, kannst du dir Herleitung einblenden lassen.
Gesucht ist eine Lösung von Gleichung \((***)\), d.h. eine Funktion \(x(t)\), deren zweite Ableitung \(\ddot x(t)\) entgegengesetzt proportional zur Funktion \(x(t)\) ist. Dies trifft sowohl auf die Sinus- als auch auf die Kosinusfunktion zu. Wegen der Anfangsbedingung \(x(0)=x_0\ne 0\) kommt wegen \(\sin (0) = 0\) hier nur die Kosinusfunktion als Lösung in Betracht. Wir setzen also an mit der allgemeinen Kosinusfunktion\[x(t) = \hat x \cdot \cos \left( {\omega_0 \cdot t} \right)\]und müssen nun die Größen \(\omega_0\) und \(\hat x\) bestimmen.
Zur Bestimmung von \(\omega_0\) bilden wir die 2. Ableitung der Funktion\[\ddot x(t) = - \hat x \cdot {\omega ^2} \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right)\]und setzen diese und \(x(t)\) in Gleichung \((***)\) ein. Dann erhalten wir\[\begin{eqnarray} - \hat x \cdot {\omega ^2} \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right) + \left( \frac{D}{m} - \frac{g}{l} \right) \cdot \hat x \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right) &=& 0\\ - \hat x \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right) \cdot \left[ \omega ^2 - \left( \frac{D}{m} - \frac{g}{l} \right) \right] &=& 0\end{eqnarray}\]Die linke Seite dieser Gleichung ist nur dann immer \(0\), wenn\[\omega ^2 - \left( \frac{D}{m} - \frac{g}{l} \right) = 0 \Rightarrow \omega = \sqrt {\frac{D}{m} - \frac{g}{l} }\]
Zur Bestimmung von \(\hat x\) nutzen wir die erste Anfangsbedingung \(x(0) = {x_0}\). Damit diese Bedingung erfüllt ist, muss gelten \[x(0) = {x_0} \Rightarrow \hat x \cdot \underbrace {\cos \left( {\omega \cdot 0} \right)}_{ = \;1} = {x_0} \Rightarrow \hat x = {x_0}\]Auch die zweite Anfangsbedingung \(v(0)=\dot x(0) = 0\) muss erfüllt sein. Hier sehen wir mit \(v(t)=\dot x(t) = - \hat x \cdot \omega_0 \cdot \sin \left( {\omega_0 \cdot t} \right)\), dass diese bereits erfüllt ist:\[v(0)=\dot x(0) = - \hat x \cdot \omega_0 \cdot \underbrace {\sin \left( {\omega_0 \cdot 0} \right)}_{ = \;0} = 0\]
Bewegung eines stehenden Blattfederpendels
Bei geeignet gewähltem Koordinatensystem (vgl. Animation in Abb. 1) und den Anfangsbedingungen \(x(0) = {x_0}\) und \(v(0)=\dot x(0) = 0\) wird die Bewegung eines stehenden Blattfederpendels mit einem Pendelkörper der Masse \(m\) und einer Blattfeder der Länge \(l\) mit der Federkonstante \(D\) beschrieben durch die Zeit-Ort-Funktion\[x(t) = {x_0} \cdot \cos \left( {\sqrt { \frac{D}{m} - \frac{g}{l} } \cdot t} \right)\]Das stehende Blattferdendel schwingt somit harmonisch.
Für die Schwingungsdauer \(T\) ergibt sich dann wegen \(T=\frac{2 \cdot \pi}{\omega}\)\[T = \frac{{2 \cdot \pi }}{{\sqrt { \frac{D}{m} - \frac{g}{l} }}}\]
Hinweise
•Häufig wird fälschlicherweise behauptet, dass die beschleunigende Kraft beim Blattfederpendel die vektorielle Summe aus Gewichtskraft und Kraft der Blattfeder sei. Hierbei wird übersehen, dass die Blattfeder nicht nur die Komponete der Gewichtskraft orthogonal zur Bahn aufbringen muss, sondern zusätzlich noch die Zentripetalkraft zum Erzwingen der Kreisbahn. Somit ist z.B. beim Durchgang durch die Ruhelage wegen der (dort maximal) aufzubringenden Zentripetalkraft der Betrag der Kraft der Blattfeder kleiner als der Betrag der Gewichtskraft. Die vektorielle Summe aus Kraft der Blattfeder und Gewichtskraft würde nicht verschwinden, sondern zum Drehpunkt hin nach unten zeigen.
•Nur für kleine Winkel kann der Sinus des Winkels durch den Winkel im Bogenmaß ersetzt werden. Das Blattfederpendel schwingt daher nur für kleine Auslenkwinkel harmonisch.