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Grundwissen

Druck

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Der Druck \(p\) ist definiert als Quotient von senkrecht auf eine Fläche wirkende Kraft \(F\) und Flächeninhalt \(A\) dieser Fläche.
  • Die Einheit des Drucks ist Pascal mit dem Einheitenzeichen \(\rm{Pa}\).
  • Häufig wird der Druck aber auch in der Einheit \(\rm{bar}\) angegeben.
Aufgaben Aufgaben
Definition des Drucks

Wirkt senkrecht auf eine Fläche mit dem Flächeninhalt \(A\) eine Kraft mit dem Betrag \(F\), so bezeichnet man den Quotienten
\[p = \frac{F}{A}\]
als Druck.

Für die Einheit \(\left[ p \right]\) des Drucks gilt nach dieser Definition \(\left[ p \right] = \frac{{\left[ F \right]}}{{\left[ A \right]}} = \frac{{1{\rm{N}}}}{{1{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}} = 1\frac{{\rm{N}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}} = 1{\rm{Pa}}\;{\rm{(Pascal)}}\).

Beispiel

druck_kraft_auf_ballon.svg Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Druck auf eine Flüssigkeit

Durch das Wirken einer Kraft \(\vec F\) auf eine Stelle des flüssigkeits- bzw. gasgefüllten Behälters treten an allen Wänden des Behälters Kräfte auf, die senkrecht zum jeweiligen Wandstück gerichtet sind. Man sagt in der Flüssigkeit bzw. in dem Gas herrscht ein Druck.

Druck ist Kraft auf Fläche

druck_kraft_auf_stempel.svg Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 Kraft auf Stempel unterschiedlicher Größen

Über die Beträge dieser Kräfte kann man mit der nebenstehenden Anordnung eine Aussage gewinnen: Die Anordnung besteht aus drei frei beweglichen Stempeln mit den Querschnittsflächen \(A_1\), \(A_2\) und \(A_3\). Auf die Stempel werden Gewichtsstücke gestellt, so dass die Anordnung im "Gleichgewicht" ist.

Die Summe der nach unten wirkenden Gewichtskräfte der Zusatzkörper und der Stempel ist dann jeweils genau so groß wie die durch das Gas beziehungsweise die Flüssigkeit auf die Stempelflächen nach oben wirkenden Kräfte \(\vec F_1\), \(\vec F_2\) und \(\vec F_3\). Auf diese Weise kann man über die Gewichtskräfte die vom Gas bzw. der Flüssigkeit ausgehenden Kraftbeträge \(F_1\), \(F_2\) und \(F_3\) bestimmen.

Für den dargestellten Gleichgewichtsfall ergeben die Messungen\[\frac{{{F_1}}}{{{A_1}}} = \frac{{{F_2}}}{{{A_2}}} = \frac{{{F_3}}}{{{A_3}}}\]Diesen für alle Stempel gleichen Quotienten bezeichnet man als Druck.

Beispiel
Sei die Kraft \(F_1= 15\,\rm{N}\) und die Querschnittsfläche \(A_1=6\,\rm{cm}^2\). Dann beträgt der Druck auf diese Fläche \(p = \frac{{{F_1}}}{{{A_1}}}\) also \(p=\frac{15\,\rm{N}}{6\,\rm{cm^2}}=2{,}5\,\rm{\frac{N}{{{cm^2}}}}\).
Ist nun die Querschnittsfläche \(A_2=2\,\rm{cm}^2\), so misst du hier eine Kraft von \(F_2=\frac{15\,\rm{N}}{6\,\rm{cm^2}}\cdot 2\,\rm{cm^2}=5\,\rm{N}\).

Hinweise

  • \(F\) ist der Betrag der Kraft durch das Gas oder die Flüssigkeit, die senkrecht zur Fläche \(A\) wirkt.
  • Die Kraft \(F\) (Einheit N) ist nicht mit der Masse (Einheit kg) zu verwechseln. Die Kraft kann aus der Masse mit Hilfe des Ortsfaktors berechnet werden.
  • Der Druck kennzeichnet einen Zustand des Gases oder der Flüssigkeit, er ist keine gerichtete Größe (Vektor) wie die Kraft.
  • Bei Festkörpern macht der Druckbegriff keinen Sinn.
  • Der Wetterbericht verwendet die Druckeinheit 1 hPa (1 hPa = 100 Pa).
    Diese Einheit ist genauso groß wie die Einheit 1 mbar (1 mbar = 1/1000 bar). Überlege warum!

 

Mathematische Hilfen

Um Aufgaben zum Druck zu lösen musst du häufig die Gleichung \({F_{\rm{D}}} = p \cdot A\) nach einer Größe auflösen, die unbekannt ist. Wie du das machen kannst, siehst du in der folgenden Animation:

Die Gleichung\[\color{Red}{F_{\rm{D}}} = {p} \cdot {A}\]ist bereits nach \(\color{Red}{F_{\rm{D}}}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.
Um die Gleichung\[{F_{\rm{D}}} = \color{Red}{p} \cdot {A}\]nach \(\color{Red}{p}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[\color{Red}{p} \cdot {A} = {F_{\rm{D}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({A}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({A}\) im Nenner steht.
\[\frac{\color{Red}{p} \cdot {A}}{{A}} = \frac{{F_{\rm{D}}}}{{A}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({A}\).\[\color{Red}{p} = \frac{{F_{\rm{D}}}}{{A}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{p}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{F_{\rm{D}}} = {p} \cdot \color{Red}{A}\]nach \(\color{Red}{A}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[{p} \cdot \color{Red}{A} = {F_{\rm{D}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({p}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({p}\) im Nenner steht.
\[\frac{{p} \cdot \color{Red}{A}}{{p}} = \frac{{F_{\rm{D}}}}{{p}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({p}\).\[\color{Red}{A} = \frac{{F_{\rm{D}}}}{{p}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{A}\) aufgelöst.
Abb. 3 Schrittweises Auflösen der Formel für den Druck nach den drei in der Formel auftretenden Größen
Aufgabe

Es stehen drei Zylinder mit den Kolbenflächen \(A_1=1{,}0\,\rm{m} ^2\), \(A_2=1{,}0\,\rm{dm} ^2\) und \(A_3=1{,}0\,\rm{cm} ^2\) zur Verfügung.

Welche zwei der drei Zylinder eignen sich zum Bau einer hydraulischen Hebebühne, bei der mit minimaler Kraft eine maximale Last gehoben werden kann? Begründe deine Wahl!

Lösung

Als Druckkolben eignet sich der mit \(A_3=1{,}0\,\rm{cm}^2\) und als Hubkolben der mit \(A_1=1{,}0\,\rm{m}^2\), da das Verhältnis der Flächen von Hub- und Druckkolben möglichst groß sein soll, da dann (vgl. c) eine möglichst kleine Druckkraft benötigt wird.

Berechne die aufzuwendende Kraft, wenn eine Last von 1500 kg gehoben werden soll. Beachte unbedingt die Ausführungen zur Einheitenumrechnung.

Lösung

Es gilt \(\frac{{{F_3}}}{{{A_3}}} = \frac{{{F_1}}}{{{A_1}}} \Rightarrow {F_3} = {A_3} \cdot \frac{{{F_1}}}{{{A_1}}}\)

Mit \(F_1=m\cdot g\text{; }f_2=1500\,\rm{kg}\cdot 10\,\rm{\frac{N}{kg}}=1{,}5\cdot 10^4\,\rm{N}\) folgt

\({F_3} = 1{,}0 \cdot \frac{{1{,}5 \cdot {{10}^4}}}{{1{,}0 \cdot {{10}^4}}}\,\rm{N} = 1{,}5\,\rm{N}\)