Abb. 1 zeigt einen Schnitt durch das Sicherheitsventil eines Dampfkochtopfs. Durch den Druck im Innern des Topfes werden die beiden Zylinder gegen die Kraft der Feder (Federkonstante \(2{,}0\,\frac{\rm{N}}{\rm{cm}}\)) so lange nach oben gedrückt bis schließlich die Auslassöffnung freigegeben wird.
a)
Berechne den Betrag der Kraft, die auf Zylinder 2 wirken muss, damit die Auslassöffnung freigegeben wird.
b)
Die Querschnittsfläche von Zylinder 2 beträgt \(0{,}90\,\rm{cm}^2\).
Berechne den Druck im Dampfkochtopf.
c)
Der Topfdeckel hat einen Durchmesser von \(20\,\rm{cm}\).
Berechne den Betrag der Kraft, die auf den gesamten Topfdeckel wirkt
Hinweis: Den Inhalt einer Kreisfläche berechnet man näherungsweise nach der Formel \(A \approx {r^2} \cdot 3{,}14\).
Mit \(D=2{,}0\,\rm{\frac{N}{{cm}}}\) und \(s=1{,}0\,\rm{cm}\) berechnet man den Betrag der Kraft mithilfe des HOOKEschen Gesetzes\[F = D \cdot s\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[F = 2{,}0\,\rm{\frac{N}{{cm}}} \cdot 1{,}0\,\rm{cm} = 2{,}0\,\rm{N}\]
b)
Mit \(F=2{,}0\,\rm{N}\) und \(A=0{,}90\,\rm{cm}^2=0{,}90 \cdot 10^{-4}\,\rm{m}^2\) berechnet sich der Druck durch die Definitionsgleichung\[p = \frac{F}{A}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[p=\frac{{2{,}0\,\rm{N}}}{0{,}90 \cdot 10^{-4}\,\rm{m}^2} = 2{,}2 \cdot {10^4}\,\rm{Pa} = 0{,}22\,\rm{bar}\]
c)
Mit \(p=2{,}2 \cdot 10^4\,\frac{\rm{N}}{\rm{m}^2}\), \(r=\frac{1}{2} \cdot 20\,\rm{cm}= 10\,\rm{cm} = 0{,}10\,\rm{m}\) und damit \(A=\left( 0{,}10\,\rm{m}\right)^2 \cdot 3{,}14 = 0{,}0314\,\rm{m}^2\) ergibt sich die gesuchte Kraft durch Umstellen der Definitionsgleichung des Drucks\[p = \frac{F}{A} \Leftrightarrow F = p \cdot A\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert \[F = 2{,}2 \cdot 10^4\,\frac{\rm{N}}{\rm{m}^2} \cdot 0{,}0314\,\rm{m}^2 = 690\,\rm{N}\]Dabei ist das Ergebnis auf zwei Ziffern genau.
