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Aufgabe

Druck - Formelumstellung

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

Um Aufgaben zum Druck zu lösen musst du häufig die Gleichung \({F_{\rm{D}}} = p \cdot A\) nach einer Größe auflösen, die unbekannt ist. Wie du das machen kannst, siehst du in der folgenden Animation.

Die Gleichung\[{\color{Red}{F_{\rm{D}}}} = {p} \cdot {A}\]ist bereits nach \({\color{Red}{F_{\rm{D}}}}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.
Um die Gleichung\[{F_{\rm{D}}} = {\color{Red}{p}} \cdot {A}\]nach \({\color{Red}{p}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[{\color{Red}{p}} \cdot {A} = {F_{\rm{D}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({A}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({A}\) im Nenner steht.
\[\frac{{\color{Red}{p}} \cdot {A}}{{A}} = \frac{{F_{\rm{D}}}}{{A}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({A}\).\[{\color{Red}{p}} = \frac{{F_{\rm{D}}}}{{A}}\]Die Gleichung ist nach \({\color{Red}{p}}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{F_{\rm{D}}} = {p} \cdot {\color{Red}{A}}\]nach \({\color{Red}{A}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[{p} \cdot {\color{Red}{A}} = {F_{\rm{D}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({p}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({p}\) im Nenner steht.
\[\frac{{p} \cdot {\color{Red}{A}}}{{p}} = \frac{{F_{\rm{D}}}}{{p}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({p}\).\[{\color{Red}{A}} = \frac{{F_{\rm{D}}}}{{p}}\]Die Gleichung ist nach \({\color{Red}{A}}\) aufgelöst.
Abb. 1 Schrittweises Auflösen der Formel für den Druck nach den drei in der Formel auftretenden Größen
a)

In einem Rohrsystem befindet sich Wasser unter dem Druck \(1300\,\rm{hPa}\).

Berechne den Betrag der Kraft, die auf ein \(3{,}0\,\rm{cm}^2\) großes Fächenstück der Rohrwand wirkt.

b)

Auf ein \(5{,}0\,\rm{cm}^2\) großes Stück der Innenwand eines Autoreifens wirkt eine Kraft vom Betrag \(90\,\rm{N}\).

Berechne den Druck im Autoreifen.

c)

Das Wasser in einer Wasserleitung steht unter einem Druck von \(2000\,\rm{hPa}\). Einen geöffneten Wasserhahn kann man mit dem Daumen mit einer Kraft von \(40\,\rm{N}\) zuhalten.

Berechne den Flächeninhalt der Querschnittsfläche der Öffnung des Wasserhahns.

Lösung einblendenLösung verstecken Lösung einblendenLösung verstecken
a)

Mit \(p = 1300\,\rm{hPa} = 1300 \cdot 10^2\,\rm{Pa}\) und \(A = 3{,}0\,\rm{cm}^2 = 3{,}0 \cdot 10^{-4}\,\rm{m}^2\) nutzen wir die Formel für den Druck\[{F_{\rm{D}}} = p \cdot A\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{F_{\rm{D}}} = 1300 \cdot {10^2}\,{\rm{Pa}} \cdot 3{,}0 \cdot {10^{ - 4}}\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}} = 39\,{\rm{N}}\]

b)

Mit \(F_{\rm{D}}=90\,\rm{N}\) und \(A = 5{,}0\,\rm{cm}^2 = 5{,}0 \cdot 10^{-4}\,\rm{m}^2\) erhalten wir mit der Formel für den Druck\[{F_{\rm{D}}} = p \cdot A \Leftrightarrow p = \frac{{{F_{\rm{D}}}}}{A}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[p = \frac{{90\,{\rm{N}}}}{{5{,}0 \cdot {{10}^{ - 4}}\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}} = 1{,}8 \cdot {10^5}\,{\rm{Pa}}\]

c)

Mit \(F_{\rm{D}}=40\,\rm{N}\) und \(p = 2000\,\rm{hPa} = 2000 \cdot 10^2\,\rm{Pa}\) erhalten wir mit der Formel für den Druck\[F_{\rm{D}} = p \cdot A \Leftrightarrow A = \frac{F_{\rm{D}}}{p}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[A = \frac{40\,\rm{N}}{2000 \cdot 10^2\,\rm{Pa}} = 2{,}0 \cdot 10^{-4}\,\rm{m}^2=2{,}0 \,\rm{cm}^2\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Druck und Auftrieb