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Grundwissen

Schweredruck

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Als Schweredruck bezeichnet man einen Druck, den ein Körper nur auf Grund der Gewichtskraft der über ihm liegenden Flüssigkeits- oder Gassäule erfährt.
  • Für den Schweredruck gilt \({p = \rho \cdot g \cdot h}\).
  • Der Schweredruck ist unabhängig von Form und Querschnittsfläche der Flüssigkeitssäule.
Aufgaben Aufgaben

Begriff Schweredruck

Als Schweredruck (hydrostatischer Druck) bezeichnet man einen Druck, den ein Körper nur auf Grund der Gewichtskraft der über ihm liegenden Flüssigkeits- oder Gassäule erfährt.

Schweredruck am Boden einer Wassersäule

Abb. 1 Schweredruck am Boden einer Wassersäule

Ein typisches Beispiel für den Schweredruck ist die Berechnung des Schweredruckes am Boden einer Flüssigkeitssäule der Dichte \(\rho\), der Querschnittsfläche \(A\) und der Höhe \(h\) (vgl. Abb. 1).

Der Druck ist allgemein definiert als Kraft pro Fläche, also\[p = \frac{{{F_G}}}{A}\]Dabei ist \(F_{\rm{G}}\) die Gewichtskraft der Flüssigkeit, also \(F_{\rm{G}}=m\cdot g\), wobei \(g\) die Erdbeschleunigung ist. Somit ergibt sich:\[p = \frac{{m \cdot g}}{A}\]Die Masse \(m\) der Säule ergibt sich als Produkt von Volumen \(V\) und Dichte \(\rho\) der Flüssigkeitssäule, also aus \(m=V\cdot\rho\). Damit folgt \[p = \frac{{V \cdot \rho \cdot g}}{A}\]Das Volumen berechnet man mit \(V=A\cdot h\) und somit ergibt sich für den Schweredruck:

Schweredruck

\[{p = \rho \cdot g \cdot h}\]

Willst du den Schweredruck \(p\) in der Einheit \(\left[p\right]=\rm{Pa}=\rm{\frac{N}{m^2}}\) angeben, so musst du in die Formel die Dichte \(\rho\) in der Einheit \([\rho]=\rm{\frac{kg}{m^3}}\) und die Höhe \(h\) in der Einheit \([h]=\rm{m}\) einsetzen.

Unabhängigkeit von Querschnittsfläche und Form

CC-BY-NC 4.0 Benedikt Flurl, Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 Kommunizierende Röhren

Dass Schweredruck nicht von der Querschnittsfläche und auch nicht von der Form der Flüssigkeitssäule abhängt, zeigen eindrucksvoll die in Abb. 2 dargestellten kommunizierenden Röhren (vgl. Versuch). Unabhängig von Form und Durchmesser der Röhren ist der Wasserstand in den am Boden verbundenen Röhren jeweils gleich hoch. Dieses Phänomen nennt man auch hydrostatische Paradoxon.

 

Schweredruck einer Gassäule

Auch eine Gassäule sorgt für einen Schweredruck. Ein allgegenwärtiges Beispiel dafür ist der Luftdruck, der durch die Gewichtskraft der Gassäule über dem Erdboden verursacht wird. Der Schweredruck einer Gassäule berechnet sich genau wie der Schweredruck einer Flüssigkeitssäule - lediglich die Dichte \(\rho\) ist hier die Dichte des Gases anstatt der Dichte der Flüssigkeit.

Anwendung

Abb. 2 Flüssigkeitsbarometer nach Torricelli

Der Luftdruck verändert sich je nach Wetterlage und der Höhe über dem Meeresspiegel. Mit Hilfe von Flüssigkeitsbarometer kann man den Luftdruck sehr genau messen. Ein historisches Beispiel für ein solches Flüssigkeitsthermometer ist das Torricelli-Barometer (vgl. Abb. 2).

Da über dem Quecksilber kein Gas ist, das Druckkräfte erzeugt, ist der Druck der Quecksilbersäule auf der Höhe A (Bodendruck) genau so groß wie der Luftdruck bei B. Wäre einer der beiden Drücke größer, so würde sich die U-förmige Flüssigkeitssäule unterhalb der Linie A-B in Bewegung setzen, bis beide Kräfte wieder gleich groß wären.

Den Luftdruck kann man an der Höhe \(h\) der Quecksilbersäule über der Linie A-B ablesen. Vom Normaldruck spricht man, wenn die Quecksilbersäule \(h=760\,\rm{mm}\) hoch ist.

Umformen der Gleichung

Um Aufgaben zum Schweredruck zu lösen musst du häufig die Gleichung \(p = \rho \cdot g \cdot h\) nach einer Größe auflösen, die unbekannt ist. Wie du dabei vorgehen kannst, zeigt die folgende Animation:

Die Gleichung\[\color{Red}{p} = {\rho} \cdot {g} \cdot {h}\]ist bereits nach \(\color{Red}{p}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.
Um die Gleichung\[{p} = \color{Red}{\rho} \cdot {g} \cdot {h}\]nach \(\color{Red}{\rho}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[ \color{Red}{\rho} \cdot {g} \cdot {h} = {p}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \( {g} \cdot {h}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \( {g} \cdot {h}\) im Nenner steht.
\[\frac{{ \color{Red}{\rho} \cdot {g} \cdot {h}}}{ {g} \cdot {h}} = \frac{{p}}{ {g} \cdot {h}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \( {g} \cdot {h}\).\[\color{Red}{\rho} = \frac{{p}}{ {g} \cdot {h}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{\rho}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{p} = {\rho} \cdot \color{Red}{g} \cdot {h}\]nach \(\color{Red}{g}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[ {\rho} \cdot \color{Red}{g} \cdot {h} = {p}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \( {\rho} \cdot {h}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \( {\rho} \cdot {h}\) im Nenner steht.
\[\frac{{ {\rho} \cdot \color{Red}{g} \cdot {h}}}{ {\rho} \cdot {h}} = \frac{{p}}{ {\rho} \cdot {h}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \( {\rho} \cdot {h}\).\[\color{Red}{g} = \frac{{p}}{ {\rho} \cdot {h}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{g}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{p} = {\rho} \cdot {g} \cdot \color{Red}{h}\]nach \(\color{Red}{h}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[ {\rho} \cdot {g} \cdot \color{Red}{h} = {p}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \( {\rho} \cdot {g}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \( {\rho} \cdot {g}\) im Nenner steht.
\[\frac{ {\rho} \cdot {g} \cdot \color{Red}{h}}{ {\rho} \cdot {g}} = \frac{{p}}{ {\rho} \cdot {g}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \( {\rho} \cdot {g}\).\[\color{Red}{h} = \frac{{p}}{ {\rho} \cdot {g}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{h}\) aufgelöst.
Abb. 4 Schrittweises Auflösen der Formel für den Schweredruck nach den vier in der Formel auftretenden Größen
Verstädnisaufgaben
Verständnisaufgabe
Abb. 3 U-Rohr Manometer

Abb. 3 zeigt ein U-Rohr-Manometer, welches zur Messung von Druckänderungen oder Druckunterschieden dient.

Hinweis: Die Dichte von Quecksilber (Hg) beträgt \(\rho=13{,}6\cdot 10^3\,\rm{\frac{kg}{m^3}}\).

a) Berechne, wie groß der Unterschied zwischen Gasdruck und Luftdruck ist, wenn \(h=37\,\rm{mm}\) ist.

Lösung

Der Druck \(p_{\rm{Hg}}\) am Boden einer Quecksilbersäule der Höhe h beträgt \[p_{\rm{Hg}}=\rho\cdot g\cdot h\Rightarrow p_{\rm{Hg}}=13{,}6\cdot 10^3\,\rm{\frac{kg}{m^3}}\cdot 9{,}81\,\rm{\frac{m}{s^2}}\cdot 0{,}037\,\rm{m}=4{,}9\cdot 10^3\,\rm{Pa}\]    

Der Unterschied zwischen dem Gasdruck und dem Luftdruck ist \(p_{\rm{Hg}}=4{,}9\cdot 10^3\,\rm{Pa}\) .

b) Berechne, wie groß der Gasdruck ist, wenn der Luftdruck \(p_{Luft}=925\,\rm{hPa}\) ist.

Hinweis: \(1\,\rm{hPa}=100\,\rm{Pa}\)

Lösung

Es gilt \(p_{\rm{Gas}}=p_{\rm{Luft}}+p_{\rm{Hg}}\). Damit folgt \[p_{\rm{Gas}}=925\,\rm{hPa}+49\,\rm{hPa}=974\,\rm{hPa}\]