Kern-/Teilchenphysik

Radioaktivität - Einführung

Halbwertszeit

  • Gibt es verschiedene Arten ionisierender Strahlung?
  • Welche Eigenschaften hat ionisierende Strahlung?
  • Warum ist ionisierende Strahlung so gefährlich?
  • Kann man sich gegen ionisierende Strahlung schützen?

Halbwertszeit

Wann ein einzelner Kern in einem radioaktiven Präparat zerfällt, kann nicht vorhergesagt werden. Hat man aber viele noch unzerfallene, radioaktive Kerne vorliegen, so kann man Aussagen über den Verlauf des Zerfalls für die Gesamtheit der Kerne machen. In der Animation wird dies am Beispiel des β--Zerfalls von Fluor-20 dargestellt.

1 Radioaktiver Zerfall von Fluor-20-Kernen

Der zeitliche Verlauf des Zerfalls einer bestimmten radioaktiven Substanz ist weder durch starke Felder noch durch Erwärmung oder irgendwelche andere Maßnahmen zu beeinflussen. Unabhängig von der Zahl der Ausgangskerne ist nach einer Halbwertszeit T1/2 die Hälfte (50%), nach der Zeit 2·T1/2 ein Viertel (25%), nach der Zeit 3·T1/2 ein Achtel (12,5%) der ursprünglich unzerfallenen Kerne vorhanden.

In der Physik nutzt man zeitlich immer gleichartig ablaufende Vorgänge als Uhr. So verwendet man die Schwingungsdauer eines Pendels oder eines Schwingquarzes zum Bau von Uhren. Den zeitlich stets gleich ablaufenden Zerfall radioaktiver Kerne kann man auch für Zeitbestimmungen verwenden wie z.B. die Radiocarbon-Methode zur Altersbestimmung zeigt.

Kennt man den zeitlichen Verlauf des Zerfalls einer Substanz, so kann man mit Hilfe des Prozentsatzes \(\frac{{N(t)}}{{N(0)}} \cdot 100\% \) der zu einem Zeitpunkt \(t\) noch unzerfallenen Kerne die Zeit seit Beginn des Zerfalls bestimmen.

In einer Probe mit der Halbwertszeit \(500{\rm{a}}\) waren zu Zerfallsbeginn \({\rm{1}}{\rm{,0}} \cdot {\rm{1}}{{\rm{0}}^{\rm{3}}}\) unzerfallene Kerne. Zum jetzigen Zeitpunkt sind noch \({\rm{6}}{\rm{,0}} \cdot {\rm{1}}{{\rm{0}}^{\rm{2}}}\) unzerfallene Kerne in der Probe.

Bestimme graphisch die Zeit, die ungefähr seit Zerfallsbeginn verstrichen ist.

 
 

Die Aktivität A (Zahl der Zerfälle pro Zeiteinheit) ist proportional zur Zahl der vorhandenen noch unzerfallenen Kerne N(t) in einer Probe. Daher gilt auch für den zeitlichen Verlauf der Aktivität einer Probe eine analoge Gesetzmäßigkeit wie für die Zahl der noch unzerfallenen Kerne. Kennt man die Aktivität A(0) einer Probe zu Beginn eines Zerfalls und die aktuelle Aktivität A(t), so bestimmt man das Verhältnis \(\frac{{A(t)}}{{A(0)}} \cdot 100\% \) und liest aus der folgenden Kurve die Zeit ab, die seit Beginn des Zerfalls verstrichen ist.

Eine Probe hat die Halbwertzeit von \(3,0\min \). Zum Zeitpunkt \(t = 0\) stellt mit einem Zählrohr die Impulsrate \(400\frac{{{\rm{Imp}}}}{{\rm{s}}}\) fest.

Bestimme graphisch die Impulsrate, die bei gleicher Anordnung von Zählrohr und Präparat nach \(5,0\min \) zu erwarten ist.

 
 

Die Halbwertszeiten radioaktiver Substanzen streuen in einem weiten Bereich. In der folgenden Tabelle sind Isotope mit extrem kurzen und langen Halbwertszeiten aufgeführt. Darüber hinaus findest du die Halbwertszeiten von Isotopen, die im Unterricht von Bedeutung sind.

Isotop
HWZ
Strahlung
\[{}_4^{13}Be\]
2,7·10-21 s
n
\[{}_{86}^{220}Rn\]
56 s
α
\[{}_{43}^{99}Tc\]
6,0 h
γ, β-
\[{}_{53}^{131}I\]
8,0 d
γ, β-
\[{}_{11}^{22}Na\]
2,6 a
β+
\[{}_{27}^{60}Co\]
5,3 a
γ, β-
Isotop
HWZ
Strahlung
\[{}_{38}^{90}Sr\]
29 a
β-
\[{}_{55}^{137}Cs\]
30,1 a
γ, β-
\[{}_{95}^{241}Am\]
4,3·102 a
γ, α
\[{}_{88}^{226}Ra\]
1600 a
γ, α
\[{}_6^{14}C\]
5730 a
β-
\[{}_{93}^{237}Np\]
2,1·106 a
α
Isotop
HWZ
Strahlung
\[{}_{92}^{235}U\]
7,0·108 a
γ, α
\[{}_{19}^{40}K\]
1,3·109 a
β-, β+
\[{}_{92}^{238}U\]
4,5·109 a
γ, α
\[{}_{90}^{232}Th\]
1,4·1010 a
γ, α
\[{}_{52}^{128}Te\]
7,2·1024 a
β-

Hinweis: Sowohl beim t-N(t)- als auch beim t-A(t)-Diagramm ist es gleichgültig, welchen Zeitpunkt man als Startpunkt wählt. Stets ist die Zahl der unzerfallenen Kerne bzw. die Aktivität nach einer Halbwertszeit auf die Hälfte zurückgegangen.

Rechnerische Behandlung des radioaktiven Zerfalls

Zeit Zahl der unzerfallenen Kerne \(N(t)\)
\[t = 0\] \[N(0)\]
\[t = 1 \cdot {T_{1/2}}\] \[{\textstyle{1 \over 2}} \cdot N(0) = {\left( {{\textstyle{1 \over 2}}} \right)^1} \cdot N(0)\]
\[t = 2 \cdot {T_{1/2}}\] \[{\textstyle{1 \over 4}} \cdot N(0) = {\left( {{\textstyle{1 \over 2}}} \right)^2} \cdot N(0)\]
\[t = 3 \cdot {T_{1/2}}\] \[{\textstyle{1 \over 8}} \cdot N(0) = {\left( {{\textstyle{1 \over 2}}} \right)^3} \cdot N(0)\]
. . .  
\[t = n \cdot {T_{1/2}}\] \[N(t) = {\left( {{\textstyle{1 \over 2}}} \right)^n} \cdot N(0)\]
Zeit Aktivität \(A(t)\)
\[t = 0\] \[A(0)\]
\[t = 1 \cdot {T_{1/2}}\] \[{\textstyle{1 \over 2}} \cdot A(0) = {\left( {{\textstyle{1 \over 2}}} \right)^1} \cdot A(0)\]
\[t = 2 \cdot {T_{1/2}}\] \[{\textstyle{1 \over 4}} \cdot A(0) = {\left( {{\textstyle{1 \over 2}}} \right)^2} \cdot A(0)\]
\[t = 3 \cdot {T_{1/2}}\] \[{\textstyle{1 \over 8}} \cdot A(0) = {\left( {{\textstyle{1 \over 2}}} \right)^3} \cdot A(0)\]
. . .  
\[t = n \cdot {T_{1/2}}\] \[A(t) = {\left( {{\textstyle{1 \over 2}}} \right)^n} \cdot {\rm A}(0)\]

Nun wird \(n\) durch \(t\) und \(T_{1/2}\) ausgedrückt. Der Ausdruck in der letzten Zeile der linken Spalte ergibt:
\[t = n \cdot {T_{1/2}} \Leftrightarrow n = \frac{t}{{{T_{1/2}}}}\]

Während \(n\) bisher eine natürliche Zahl war, wollen wir nun auch positive rationale Zahlen für \(n\) zulassen.

Ersetzt man \(n\) in den allgemeinen Gleichungen für \(N(t)\) bzw. \(A(t)\) in den letzten Zeilen der Tabelle, so ergibt sich:

\[N(t) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{{{T_{1/2}}}}}} \cdot N(0)\]
 
\[A(t) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{{{T_{1/2}}}}}} \cdot {\rm A}(0)\]

Anwendung: Rechnerische Behandlung der Aufgabe 2

Aufgabe 2

Eine Probe hat die Halbwertzeit von \(3,0\rm{min}\). Zum Zeitpunkt \(t=0\) stellt mit einem Zählrohr die Impulsrate \(400\frac{{{\rm{Imp}}}}{{\rm{s}}}\) fest. Welche Impulsrate ist - bei gleicher Anordnung von Zählrohr und Präparat nach \(5,0\rm{min}\) zu erwarten?

\[A(t) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{{{T_{1/2}}}}}} \cdot {\rm A}(0) \Rightarrow A(5,0{\rm{min}}) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{{5,0{\rm{min}}}}{{3,0{\rm{min}}}}}} \cdot 400\frac{{{\rm{Imp}}}}{{\rm{s}}} = 0,31 \cdot 400\frac{{{\rm{Imp}}}}{{\rm{s}}} \approx 126\frac{{{\rm{Imp}}}}{{\rm{s}}}\]

Behandlung des radioaktiven Zerfalls mit höheren mathematischen Mitteln

Das Versuchsergebnis für den Zerfall von Radon in einer Ionisationskammer ist in dem folgenden Bild dargestellt:

Zerfall von Radon Ionisationsstrom
Abb.
8
Der etwas zittrige Verlauf der Kurve ist darauf zurück zu führen, dass der radioaktive Zerfall vom Zufall geprägt ist, das Zerfallsgesetz ist nur für sehr große Teilchenanzahlen richtig. Außerdem führen Instabilitäten bei der Messeinrichtung (z.B. Konstanz der Versorgungsspannung) auch zu Schwankungen im Ionisationsstrom.

 

Mit Hilfe der Kurve lässt sich die folgende Wertetabelle aufstellen:

t in s 0 30 60 90 120 150 180 210 240
I in 10-11A 3,35 2,42 1,65 1,10 0,75 0,52 0,37 0,23 0,17

Trägt man diese Messwerte in ein halblogarithmisches Papier ein, so ergibt sich die folgende Darstellung:

Man sieht, dass die Messpunkte im einfach logarithmischen Papier auf einer fallenden Gerade liegen. Die Steigung der Gerade ist die Zerfallskonstante: \[\begin{array}{l}I(t) = I(0) \cdot {e^{ - \lambda  \cdot t}} \Rightarrow \ln \left( {I(t)} \right) = \ln \left( {I(0)} \right) - \lambda  \cdot t \Rightarrow \lambda  = \frac{{\ln \left( {I(0)} \right) - \ln \left( {I(t)} \right)}}{t} = \frac{{\ln \left( {\frac{{I(0)}}{{I(t)}}} \right)}}{t}\\\lambda  = \frac{{\ln \left( {\frac{{3,35 \cdot {{10}^{ - 11}}A}}{{0,17 \cdot {{10}^{ - 11}}A}}} \right)}}{{240s}} = 0,012\frac{1}{s}\end{array}\]Für die Halbwertszeit gilt \[{t_{1/2}} = \frac{{\ln (2)}}{\lambda } \Rightarrow {t_{1/2}} = \frac{{\ln (2)}}{{0,012s}} = 55,8s\]

Ableitung des Zerfallsgesetzes (Formulierung mit Hilfe der e-Funktion)

Bei jedem Zerfall entstehen kurz hintereinander zwei α-Teilchen, die gemeinsam im Mittel die gleiche Anzahl Z Gasatome ionisiert, das heißt in Elektron-Plusionenpaare zerlegt. Bei der angelegten Spannung werden alle Elektronen zur Anode und alle Plusionen in der Ionisationskammer zur Kathode gesaugt und tragen zum Strom bei. Der Strom ist deshalb I(t) = Z·e·A(t), wobei e die Elementarladung und A(t) die Aktivität, d.h. die Zahl der Radonzerfälle pro Sekunde ist.
I(t) ist also direkt proportional zu A(t) mit der Proportionalitätskonstante Z·e. Daraus folgt\[A(t) = {A_0} \cdot {e^{ - \lambda  \cdot t}}\]A(t) ist die Änderung der Anzahl unzerfallener Kerne pro Zeiteinheit zum Zeitpunkt t. \(A(t) =  - \dot N(t)\), wobei \(\dot N(t)\) die Ableitung von \(N(t)\) nach der Zeit ist und negativ, weil fallend.

Die Zahl der nach der Zeit \(t\) zerfallenen Kerne ist die Zahl der unzerfallenen Kerne \(N(0)\) zu Beginn minus die Zahl der unzerfallenen Kerne \(N(t)\) nach dieser Zeit t. Für diese Zahl der nach der Zeit t zerfallenen Kerne gilt \[N(0) - N(t) = \int\limits_0^t {A(t)dt}  = \int\limits_0^t {{A_0} \cdot {e^{ - \lambda  \cdot t}}dt}  = \frac{{{A_0}}}{{ - \lambda }} \cdot \left[ {{e^{ - \lambda  \cdot t}} - {e^0}} \right] = \frac{{{A_0}}}{\lambda } - \frac{{{A_0}}}{\lambda } \cdot {e^{ - \lambda  \cdot t}}\] wobei \(N(0) = \frac{{{A_0}}}{\lambda }\) und \(N(t) = \frac{{A(t)}}{\lambda }\). Also ergibt sich \[N(0) - N(t) = N(0) - N(0) \cdot {e^{ - \lambda  \cdot t}} \Rightarrow N(t) = N(0) \cdot {e^{ - \lambda  \cdot t}}\]

Damit erhält man das Gesetz des radioaktiven Zerfalls\[N(t) = N\left( 0 \right) \cdot {e^{ - \lambda \cdot t}}\]

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