Elektrizitätslehre

Elektromagnetische Induktion

Selbstinduktion

  • Wie funktioniert ein Elektromotor?
  • Wie erzeugt ein Dynamo elektrischen Strom?
  • Was bewirkt eine Spule?

Selbstinduktion

Zum Einstieg in das Thema "Induktion durch Änderung des Magnetfeldes" werden meist Anordnungen betrachtet, bei denen die Feldspule (in ihr wird das Magnetfeld verändert) und die Induktionsspule (in ihr wird die induzierte Spannung festgestellt) zwei verschiedene Anordnungen waren. Wie die Experimente zur Selbstinduktion aber zeigen, tritt ein Induktionseffekt beim Ein- und Ausschalten des Stromes in der Feldspule selbst auf. In diesem Fall spricht man von Selbstinduktion.

Unter Selbstinduktion versteht man die Induktionswirkung eines Stromes auf seinen eigenen Leiterkreis:

  • Ändert sich der durch eine Spule fließende Strom (z.B. beim Ein- und Ausschalten), so bewirkt dieser eine Änderung des magnetischen Flusses durch die "eigene" Spule.

  • Aufgrund des Induktionsgesetzes tritt eine Induktionsspannung auf, die nach LENZ die Ursache ihrer Entstehung zu hemmen sucht.

  • Dadurch steigt der Strom beim Einschalten einer Spule erst allmählich auf seinen stationären Endwert. Beim Ausschalten der Spule kann der Strom noch "nachfließen", wenn ein entsprechender Stromkreis zur Verfügung steht.

 

Die folgende Animation zeigt den Verlauf der Batteriespannung \({U_{{\rm{bat}}}}\), der an der idealen Spule \(L\) anliegenden Spannung \({U_{{\rm{Lt}}}}\) (diese ist gegengleich zur induzierten Spannung \({U_{{\rm{ind}}}}\) der Spule) und der Spannung \({U_{{\rm{R}}}}\) am Widerstand \(R\). Der zeitliche Verlauf von \({U_{\rm{R}}}(t)\) ist proportional zum Strom \(I(t)\) im Kreis.

1 Zeitlicher Verlauf von Batteriespannung \(U_{\rm{bat}}\), Spannung \(U_{L}\) über der (idealen) Spule und Spannung \(U_{R}\) über dem Widerstand (proportional zur Stromstärke \(I\) im Kreis)

Einschaltvorgang

  • Der Strom geht nicht sofort auf seinen stationären Endwert \({I_0} = \frac{{{U_{{\rm{bat}}}}}}{R}\), sondern steigt allmählich auf diesen Endwert an.
  • Mit dem Stromanstieg ist eine Zunahme des magnetischen Flusses in der Spule verbunden: \(\frac{{d\Phi }}{{dt}} > 0\).
  • Die Flussänderung ruft eine induzierte Spannung \({U_{{\rm{ind}}}}\) hervor, die der von außen angelegten Spannung \({{U_{{\rm{bat}}}}}\) entgegengerichtet ist (Gesetz von LENZ). Die an der idealen Spule \(L\) anliegende Spannung \({U_{{\rm{Lt}}}}\) ist gegengleich zu dieser Induktionsspannung.

Die KIRCHHOFFsche Maschenregel besagt nun (beachte, dass \({U_{{\rm{bat}}}} < 0\))
\[{U_{{\rm{bat}}}} + {U_L} + {U_R} = 0\]
Da \({U_L} =  - {U_{{\rm{ind}}}}\) und \({U_R} = R \cdot I\) gilt, folgt
\[{U_{{\rm{bat}}}} - {U_{{\rm{ind}}}} + R \cdot I = 0\]
Für den Strom \(I(t)\) im Kreis gilt dann
\[I(t) = \frac{{ - {U_{{\rm{bat}}}} + {U_{{\rm{ind}}}}}}{R} = \frac{{ - {U_{{\rm{bat}}}} - N \cdot \frac{{d\Phi }}{{dt}}}}{R}\]
Für die induzierte Spannung \({U_{{\rm{ind}}}}\) gilt
\[{{U_{{\rm{ind}}}} =  - N \cdot \frac{{d\Phi }}{{dt}}\; =  - N \cdot A \cdot \frac{{dB}}{{dt}} =  - N \cdot A \cdot {\mu _0} \cdot \frac{N}{l}\frac{{dI}}{{dt}}\quad(1)}\]
und insbesondere
\[{{U_{{\rm{ind}}}} \sim  - \frac{{dI}}{{dt}}}\]
Dies bedeutet, dass der Betrag der induzierten Spannung proportional zur Steigung der \(t\)-\(I\)-Kurve ist (vgl. untenstehende Veranschaulichung).

Ausschaltvorgang

  • Der Strom geht nicht sofort auf Null zurück, sondern sinkt allmählich auf Null ab.
  • Mit dem Stromabfall ist eine Abnahme des magnetischen Flusses in der Spule verbunden: \(\frac{{d\Phi }}{{dt}} < 0\).
  • Die Flussänderung ruft eine induzierte Spannung \({U_{{\rm{ind}}}}\) hervor, die die aufgrund des Induktionsgesetzes in differentieller Form positiv ist.

Für den Strom \(I(t)\) im Kreis gilt dann
\[I(t) = \frac{{{U_{{\rm{ind}}}}}}{R} = \frac{{ - N \cdot \frac{{d\Phi }}{{dt}}}}{R}\]

Für besonders interessierte Schülerinnen und Schüler zeigen wir hier, wie die Funktionsterme für den zeitlichen Verlauf von Strom und induzierter Spannung mit Hilfe von sogenannten Differentialgleichungen exakt hergeleitet werden können.

Die Induktivität L einer luftgefüllten Spule

In Gleichung \((1)\) von oben werden einige Konstanten zu einer neuen Größe, der Induktivität L einer luftgefüllten Spule, zusammengefasst:

Joseph HENRY (1797 - 1878)
von T. W. Smillie (1843-1917) [Public domain], via Wikimedia Commons

\[{U_{{\rm{ind}}}} =  - N \cdot A \cdot {\mu _0} \cdot \frac{N}{l} \cdot \frac{{dI}}{{dt}}\quad\left( 1 \right)\]
Mit \(L = {N^2} \cdot {\mu _0} \cdot \frac{A}{l}\) gilt dann
\[{U_{{\rm{ind}}}} = - L \cdot \frac{{dI}}{{dt}}\]
Für die Einheit der Induktivität L gilt: \(\left[ L \right] = 1\frac{{{\rm{V}} \cdot {\rm{s}}}}{{\rm{A}}} = 1{\rm{H}}\quad {\rm{(H:\;Henry)}}\).

Die Induktivität einer Spule macht eine Aussage darüber, wie hoch der Betrag der Induktionsspannung bei der Spule für eine bestimmte zeitliche Stromänderung ist. Bei einer Spule mit hoher Induktivität tritt bei einer festen zeitlichen Stromänderung ein höherer Betrag der Induktionsspannung auf, als bei einer Spule mit niedrigerer Induktivität.

In Erinnerung an den amerikanischen Physiker Joseph HENRY (1797 - 1878), der sich große Verdienste bei der Erforschung der elektromagnetischen Induktion erwarb, wird die Einheit der Induktivität als 1 Henry bezeichnet.

 

Eine nähere Betrachtung des Ein- und Ausschaltvorganges bei einer Spule kann mit Hilfe von Oszilloskopbildern durchgeführt werden (auch dies ist eher für besonders Interessierte gedacht).

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