In der nebenstehenden Schaltung wird alle 15s, beginnend bei t = 0s, der Schalter S für jeweils 10s geschlossen.
a)Welche Beziehung besteht allgemein zwischen Ubat, der in der Spule induzierten Spannung Uind(t) und der vom Messgerät angezeigten Stromstärke I(t) bei geschlossenem Schalter?
b)Bestimmen Sie I(t) für t = 0s; 0,5s; 1,0s; 2,0s; 4,0s und 8,0s und verwenden Sie dazu Uind(t) aus dem nebenstehenden Diagramm.
c)Zeichnen Sie ein I(t)-Diagramm zunächst für 0s ≤ t ≤ 10s. (Querformat 1s → 1cm; 10mA → 1cm)
d)Berechnen Sie nun I(t) mit Hilfe des t-Uind-Diagramms für t = 10s (beim Ausschalten); 11s; 12s und 13s und vervollständigen Sie das I(t)-Diagramm von Teilaufgabe c).
Geben Sie eine Begründung dafür, dass beim Schließen bzw. Öffnen des Schalters der Betrag von Uind verschieden groß ist.
e)Bestimmen Sie dI(0)/dt aus Ihrem Diagramm und geben Sie damit die Induktivität L der verwendeten Spule an.
Wie viele Windungen müsste eine eisenfreie Spule von 1,00m Länge und 40cm2 Querschnittsfläche hierzu haben?
d)Die Stromstärkefunktion muss stetig sein, da sich sonst die Energie des Spulenfeldes sprunghaft ändern würde. Da beim Einschalten bzw. Ausschalten der Strom in verschiedenartigen Kreisen fließt (beim Ausschalten fließt der Strom nicht nur durch L und R0, sondern auch noch durch R1) muss die induzierte Spannung beim Ein- und Ausschalten verschieden sein.
t in s
10
11
12
13
Uind in V
8.0
2,8
1,2
0,5
I in mA
40
14,5
6,0
2,5
e)Wegen \({U_{ind}}(0) = - L \cdot {\left( {\frac{{dI}}{{dt}}} \right)_{t = 0}}\) benötigt man zur Berechnung von \(L\) den Wert von \({\left( {\frac{{dI}}{{dt}}} \right)_{t = 0}}\). Diesen erhält man graphisch aus der Steigung der Tangente an den t-I-Graphen aus Aufgabenteil c) an der Stelle \({t = 0}\); diese Tangente ist im obigen Graphen orange eingezeichnet, ihre Steigung berechnet sich z.B. durch\[{\left( {\frac{{dI}}{{dt}}} \right)_{t = 0}} = \frac{{50 \cdot {{10}^{ - 3}}}}{{2,0}}\frac{A}{s} \approx 2,5 \cdot {10^{ - 2}}\frac{A}{s}\]Weiter gilt\[{U_{ind}}(0) = - L \cdot {\left( {\frac{{dI}}{{dt}}} \right)_{t = 0}} \Leftrightarrow L = - \frac{{{U_{ind}}(0)}}{{{{\left( {\frac{{dI}}{{dt}}} \right)}_{t = 0}}}} \Rightarrow L = - \frac{{ - 4,0}}{{2,5 \cdot {{10}^{ - 2}}}}\frac{V}{{\frac{A}{s}}} \approx 1,6 \cdot {10^2}H\]Bestimmung der Windungszahl:\[L = {\mu _0} \cdot {N^2} \cdot \frac{A}{l} \Leftrightarrow N = \sqrt {\frac{{L \cdot l}}{{{\mu _0} \cdot {\rm A}}}} \Rightarrow N = \sqrt {\frac{{1,6 \cdot 1{0^2} \cdot 1,00}}{{4 \cdot \pi \cdot 1{0^{ - 7}} \cdot 40 \cdot 1{0^{ - 4}}}}} \approx 1,8 \cdot {10^5}\]Aus dem Ergebnis ersieht man, dass der Bau einer Spule mit der geforderten hohen Induktivität ohne Eisen nur sehr schwer möglich sein dürfte.
