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Aufgabe

Induktion beim Lautsprecher (Abitur BW 1996 LK)

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Die Spule eines Lautsprechers aus dünnem Draht befindet sich in einem Magnetfeld zwischen einem zylinderförmigen inneren Polschuh (Nordpol) und einem äußeren Polschuh in der Form eines Hohlzylinders (Südpol). Die Flussdichte im Spalt zwischen den Polschuhen ist als konstant anzusehen.

Die Spule ist fest mit der Lautsprechermembran verbunden und berührt die Polschuhe nicht. Wird die Spule von einem Strom durchflossen, so erfährt sie eine Kraft in Richtung der Spulenachse und bewegt die Membran. Die Verformung der Membran geschieht so, dass die Verschiebung der Spule und die wirkende Kraft zueinander proportional sind.

Bei allen Aufgaben: g = 9,81m·s-2

a)Auf die Membran wird ein Körper der Masse 100g gelegt. Membran und Spule bewegen sich hierdurch um 2,5mm nach unten. Berechnen Sie die Richtgröße D der Membran.

b)Der Körper wird wieder entfernt. Schickt man jetzt einen Gleichstrom von 250 mA durch die Spule (106 Windungen, Durchmesser 24mm), so verschieben sich Spule und Membran um 1,0mm. Welche Kraft erfährt die stromdurchflossene Spule?

c)Berechnen Sie die gesamte Länge des Spulendrahtes und damit die magnetische Flussdichte B am Ort der Spule.

d)In welche Richtung verschiebt sich die Membran, wenn der Pluspol einer Batterie mit dem Anschluss A und der Minuspol mit dem Anschluss B des Lautsprechers verbunden werden. Begründen Sie Ihre Antwort.

Die Lautsprecherspule wird nun arretiert. Zum Zeitpunkt t = 0s wird die Lautsprecherspule mit einer Gleichspannungsquelle (U0 = 2,0V) verbunden und die Stromstärke in der Spule in Abhängigkeit von der Zeit gemessen:

t in μs 0 1,0 10 50 100 150 200
I in mA 0 4 36 126 173 190 196

e)Zeichnen Sie das t-I-Diagramm (t-Achse: 1cm → 20μs;    I-Achse: 1cm → 20mA. Erklären Sie das Schaubild qualitativ.

f)Bestimmen Sie den ohmschen Widerstand R der Spule.

g)Berechnen Sie näherungsweise die Induktivität L der Spule, indem Sie die Tangente an die Kurve im Ursprung durch die Sehne im Bereich 0s ≤ t ≤ 1μs ersetzen.

h)Wie ändert sich das Schaubild, wenn die Membran nicht arretiert ist?

Die Arretierung der Membran wird aufgehoben. Die magnetische Flussdichte B beträgt 0,20T. Die Anschlüsse des Lautsprechers werden mit einem hochohmigen Spannungsmesser verbunden. Wird die Membran jetzt durch Schallwellen in sinusförmige Schwingungen versetzt, so kann an den Anschlüssen der Lautsprecherspule eine sinusförmige Wechselspannung gemessen werden. Der Lautsprecher wirkt dann als Mikrofon. Hält man eine Stimmgabel (f = 250Hz) vor die Membran, so zeigt der Spannungsmesser den Wert Ueff = 1,77mV an.

i)Berechnen Sie die maximale Geschwindigkeit vm und die Amplitude sm der schwingenden Spule.

Zum Zeitpunkt t = 0s bewegt sich die Spule aufwärts durch die Gleichgewichtslage.

j)Zeichnen Sie das Zeit-Auslenkungs-Diagramm dieser Schwingung im Bereich 0ms ≤ t ≤ 6ms (t-Achse: 1cm → 0,5ms; s-Achse: 1cm → 0,2μs).

k)Tragen Sie in dieses Diagramm das zugehörige Zeit-Spannungs-Diagramm ein (U-Achse: 1cm → 0,5mV).

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a)Berechnung der Federhärte mit dem Gesetz von Hooke: \[D = \frac{{\Delta F}}{{\Delta s}} = \frac{{m \cdot g}}{{\Delta s}} \Rightarrow D = \frac{{0,100 \cdot 9,81}}{{2,5 \cdot {{10}^{ - 3}}}}\frac{N}{m} \approx 3,9 \cdot {10^2}\frac{N}{m}\]

b)\[ \Delta F' = D \cdot \Delta s' \quad \Rightarrow \quad \Delta F' = 3,9 \cdot 10^2 \cdot 1,0 \cdot 10^{-3} \, \mathrm{N} \quad \Rightarrow \quad \Delta F' = 0,39 \, \mathrm{N} \]Die stromdurchflossene Spule erfährt eine Kraft von 0,39N.

c)Für die Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld gilt\[ F_m = B \cdot I \cdot l \]wenn B senkrecht auf dem Leiter steht, was hier näherungsweise der Fall ist. Die Länge des Spulendrahtes ist\[ I = 106 \cdot 12 \cdot 10^{-3} \cdot 2 \cdot \pi \approx 8,0 \, \mathrm{m} \]Somit gilt\[B = \frac{{{F_m}}}{{I \cdot l}} \Rightarrow B = \frac{{0,39}}{{0,250 \cdot 8,0}}T \approx 020\,\,T\]

d)Nach der UVW-Regel für die rechte Hand gilt: Die Membran bewegt sich nach oben:

U(rsache): Stromfluss von A nach B, also Daumen nach links.
V(ermittlung): Magnetfeld von N nach S, also Zeigefinger aus der Zeichenebene heraus.
W(irkung): Der Mittelfinger zeigt jetzt nach oben, also verschiebt sich die Membran nach oben.

e)Zum Zeitpunkt t = 0s fließt noch kein Strom. Der Strom beginnt anzusteigen, wodurch eine Zunahme des magnetischen Flusses bedingt ist. Dadurch wird eine Spannung induziert, die der äußeren angelegten Spannung entgegengerichtet ist. Somit erreicht der Strom nicht sofort seinen Endwert I0 = 200 mA.

f)Sobald der Strom konstant ist, findet keine Flussänderung und damit keine Induktion statt. In diesem Zustand kann der Ohmsche Widerstand der Spule berechnet werden: \[R = \frac{{{U_0}}}{{{I_0}}} \Rightarrow R = \frac{{2,0}}{{0,200}}\frac{V}{A} \approx 10\,\,\Omega \]

g)Zum Zeitpunkt t = 0 ist |U0| = |Uind| = 2,0V; Für L gilt:\[L = \frac{{\left| {{U_{ind}}} \right|}}{{dI/dt}}\]Nach Angabe kann für \(\frac{{dI}}{{dt}} = \frac{{\Delta I}}{{\Delta t}}\) in der ersten Mikrosekunde gesetzt werden: \[\frac{{dI}}{{dt}} = \frac{{\Delta I}}{{\Delta t}} = \frac{{4 \cdot {{10}^{ - 3}}}}{{1 \cdot {{10}^{ - 6}}}}\frac{A}{s} \approx 4 \cdot {10^3}\frac{A}{s} \Rightarrow L = \frac{{\left| {{U_{ind}}} \right|}}{{dI/dt}} \Rightarrow L = \frac{{2,0}}{{4 \cdot {{10}^3}}}H \approx 0,5\,\,mH\]

h)Wenn die Spule nicht arretiert ist, erfährt sie bei beginnendem Stromfluss eine Kraft in Richtung der Spulenachse, die zu einer Bewegung der Spule führt. Dadurch wird in der Spule eine Spannung induziert, die nach Lenz ihrer Ursache entgegengerichtet ist. Deshalb wird der Anstieg im t-I-Diagramm flacher ausfallen.

i)Aus Ueff = 1,77 mV folgt \({U_m} = 1,77 \cdot \sqrt 2 \,mV \approx 2,5\,mV\). Herstellen eines Zusammenhanges zwischen Spulenbewegung und induzierter Spannung: \[\begin{array}{l}s(t) = {s_m} \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right)\quad mit\quad \omega  = 2 \cdot \pi  \cdot f\\v(t) = {s_m} \cdot \omega  \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t} \right)\,\,\,dabei\;ist\;{v_m} = {s_m} \cdot \omega \end{array}\]Da sich die Spule im Magnetfeld bewegt, wird in ihr eine Spannung induziert: Uind(t) = B·v(t)·l = B·vm·cos(ω·t)·l; für Um gilt \[\begin{array}{l}{U_m} = B \cdot {v_m} \cdot l \Leftrightarrow {v_m} = \frac{{{U_m}}}{{B \cdot l}} \Rightarrow {v_m} = \frac{{2,5 \cdot {{10}^{ - 3}}}}{{0,20 \cdot 8,0}}\frac{m}{s} \approx 1,6 \cdot {10^{ - 3}}\frac{m}{s}\\{s_m} = \frac{{{v_m}}}{\omega } = \frac{{{v_m}}}{{2 \cdot \pi  \cdot f}} \Rightarrow {s_m} = \frac{{1,6 \cdot {{10}^{ - 3}}}}{{2 \cdot \pi  \cdot 250}}m \approx 1,0 \cdot {10^{ - 6}}m\end{array}\]

j) 

k)