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Aufgabe

Selbstinduktion im Diagramm

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

An eine Spule wird eine Gleichspannung \(\left| {{U_0}} \right| = 10\,{\rm{V}}\) angelegt. Durch Messung ergibt sich das nebenstehende \(t\)-\(I\)-Diagramm. Die Stromstärken, die man für die folgenden Berechnungen benötigt, sind aus dem Diagramm abzulesen.

a)Erläutere, warum die Stromstärke nicht sofort ihren maximalen Wert von \(5{,}0 \cdot {10^{ - 3}}\,{\rm{A}}\) erreicht.

Berechne den ohmschen Widerstand \(R_0\) der Spule.

b)Gib eine Formel für die Beziehung zwischen der angelegten Spannung \({{U_0}}\), der momentanen Induktionsspannung \(U_{\rm{ind}}\), der Momentanstromstärke \(I\) und dem ohmschen Widerstand \(R_0\) der Spule an.

Berechne \(U_{\rm{ind}}\) für \(t = 0\,\rm{s}\), \(t = 1{,}0 \cdot 10^{-3}\,\rm{s}\) und \(t = 5{,}0 \cdot 10^{-3}\,\rm{s}\).

c)Berechne die Induktivität \(L\) der Spule unter Verwendung der im Diagramm für \(t = 1{,}25 \cdot 10^{-3}\,\rm{s}\) eingezogenen Tangente.

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a)Der Strom erreicht nicht sofort seinen Endwert, da die induzierte Spannung der von außen angelegten Spannung entgegenwirkt:\[{U_{\text{0}}} = {I_{\text{max} }} \cdot {R_0} \Leftrightarrow {R_0} = \frac{{{U_{\text{0}}}}}{{{I_{\text{max} }}}} \Rightarrow {R_0} = \frac{{10}}{{5,0 \cdot {{10}^{ - 3}}}}\frac{{\rm{V}}}{{\rm{A}}} = 2,0\,{\rm{k\Omega }}\]

b)\[ U_{\text{0}} + U_{\text{ind}}(t) = R_0 \cdot I(t) \quad \Rightarrow \quad U_{\text{ind}}(t) = R_0 \cdot I(t) - U_{\text{0}} \]

t = 0 s t = 1,0·10-3s t = 5,0·10-3s
I = 0 I = 2,0·10-3A I = 4,6·10-3A
Uind = - 10V Uind = - 6,0V Uind = - 0,8V

c)Die Induktionsspannung ergibt sich über die Induktivität aus\[ U_{\text{ind}} = - L \cdot \frac{{\text{d}I}}{{\text{d}t}}\]Somit gilt für die Induktivität mithilfe von b): \[ L = \left| {\frac{{{U_{\text{ind}}}}}{{\frac{{\text{d}I}}{{\text{d}t}}}}} \right| = \left| {\frac{{{U_{\text{0}}} - I(t) \cdot {R_0}}}{{\frac{{\text{d}I}}{{\text{d}t}}}}} \right| \]Die Änderung des Stroms \( \frac{{\text{d}I}}{{\text{d}t}} \) ergibt sich über die Tangente durch ein Steigungsdreieck: \[ \frac{{\text{d}I}}{{\text{d}t}} = \frac{ 5,75 \cdot 10^{-3}\mathrm{A} - 0,5 \cdot 10^{-3} \mathrm{A}}{ 3,5 \cdot 10^{-3}\mathrm{s} - 0 \mathrm{s}} = \frac{5,25 \cdot 10^{-3}\mathrm{A}}{3,5 \cdot 10^{-3}\mathrm{s}} \]Es folgt somit zusammengefasst: \[{U_{\text{ind}}} =  - L \cdot \frac{{\text{d}I}}{{\text{d}t}} \Leftrightarrow L = \left| {\frac{{{U_{\text{ind}}}}}{{\frac{{\text{d}I}}{{\text{d}t}}}}} \right| = \left| {\frac{{{U_{\text{0}}} - I(t) \cdot {R_0}}}{{\frac{{\text{d}I}}{{\text{d}t}}}}} \right| \Rightarrow L = \left| {\frac{{10 - 2,4 \cdot {{10}^{ - 3}} \cdot 2,0 \cdot 1{0^3}}}{{\frac{{5,25 \cdot {{10}^{ - 3}}}}{{3,5 \cdot {{10}^{ - 3}}}}}}} \right|\frac{{{\rm{V}} \cdot {\rm{s}}}}{{\rm{A}}} \approx 3,5\,{\rm{H}}\]