Mechanische Schwingungen

Mechanik

Mechanische Schwingungen

  • Wovon hängt eigentlich die Schwingungsdauer eines Pendels ab?
  • Geht eine Standuhr auf dem Mond genau?
  • Wie misst man im Weltall die Masse der Astronauten?

Opa schaukelt im Stuhl

Max hat Spaß beim Schaukeln

Ein Trampolinspringer erreicht durch Energiezufuhr stets die gleiche Höhe

Die Zinken einer angeschlagenen Stimmgabel schwingen

Ein Federpendel schwingt nahezu ungedämpft und anschließend gedämpft

Ein EKG wird aufgezeichnet

In den oben dargestellten Animationen sind Vorgänge dargestellt, die sich weitgehend auf die gleiche Weise wiederholen. Man sagt zu diesen Vorgängen auch periodische Vorgänge. Wir beschäftigen uns im Folgenden mit periodischen Bewegungen.

Definition

Die Bewegung eines Körpers heißt Periodische Bewegung (griech. περίοδος (períodos): das Herumgehen), wenn

  • der Körper nach gleichlangen Zeitabschnitten immer wieder den gleichen Bewegungszustand, d.h. den gleichen Ort und die gleiche Geschwindigkeit und die gleiche Beschleunigung, besitzt.

Die Periodendauer \(T\) ist die Länge des Zeitabschnitts, nach dem sich der gleiche Bewegungszustand (siehe oben) wiederholt. Das Formelzeichen für die Periodendauer ist \(T\), für die Einheit der Periodendauer gilt \(\left[ T \right] = 1{\rm{s}}\).

Ein Körper bewegt sich also periodisch mit der Periodendauer \(T = 1{\rm{s}}\), wenn er nach jeweils \(1{\rm{s}}\) den gleichen Bewegungszustand (siehe oben) besitzt.

Die Frequenz \(f\) (lat. frequentia: die Häufigkeit) ist der Kehrwert der Periodendauer \(T\): \(f = \frac{1}{T}\). Das Formelzeichen für die Frequenz ist \(f\), für die Einheit der Frequenz gilt \(\left[ f \right] = \left[ {\frac{1}{T}} \right] = \frac{1}{{1{\rm{s}}}} = 1{\rm{Hz}}\) (Hz: HERTZ, nach dem deutschen Physiker Heinrich HERTZ (1857 - 1894)).

Ein Körper bewegt sich also periodisch mit der Frequenz \(f = 1{\rm{Hz}}\), wenn er 1 Mal pro \(1\rm{s}\) den gleichen Bewegungszustand (siehe oben) besitzt.

Die Periodendauer \(T\) bei den im Bild aufgezeichneten Herzschlägen sei \(T=0,75\rm{s}\). Berechne daraus die Herzfrequenz in \(\frac{{\rm{1}}}{{\rm{s}}}\) und \(\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{min}}}}\).

 

Eine besondere Form von periodischen Bewegungen sind die sogenannten Schwingungen.

Definition

Die Bewegung eines Körpers heißt Schwingung, wenn

  • der Körper Teil eines physikalischen Systems mit einer eindeutigen stabilen Gleichgewichtslage (das ist die Lage, in die das System ohne äußeren Einfluss stets wieder zurückkehrt), der sogenannten Ruhelage oder Nulllage ist,

  • der Körper eine Periodische Bewegung durch diese Ruhelage vollführt, d.h. nach gleichlangen Zeitabschnitten immer wieder den gleichen Bewegungszustand, d.h. den gleichen Ort und die gleiche Geschwindigkeit und die gleiche Beschleunigung, besitzt (siehe oben).

Ein physikalisches System, das Schwingungen ausführen kann, heißt Oszillator (lat. oscillare: schaukeln). Der Begriff der Ruhelage ist etwas missverständlich, da ein schwingender Körper in der Ruhelage gerade nicht ruht, sondern sich durch diesen Punkt hindurchbewegt. Diejenigen Orte dagegen, an denen der schwingende Körper seine Bewegungsrichtung umkehrt, an denen er somit ruht und die Geschwindigkeit \(v=0\) besitzt, bezeichnet man als Umkehrpunkte.

Üblicherweise vollzieht sich eine Schwingung symmetrisch um die Nullage, d.h. es gibt genau zwei Umkehrpunkte, die symmetrisch um die Ruhelage liegen.

Die Schwingungsdauer \(T\) ist die Länge des Zeitabschnitts, nach dem sich der gleiche Bewegungszustand (siehe oben) wiederholt. Das Formelzeichen für die Schwingungsdauer ist \(T\), für die Einheit der Schwingungsdauer gilt \(\left[ T \right] = 1{\rm{s}}\).

Ein Körper schwingt also mit der Schwingungsdauer \(T = 1{\rm{s}}\), wenn er nach jeweils \(1{\rm{s}}\) den gleichen Bewegungszustand (siehe oben) besitzt.

Die Frequenz \(f\) (lat. frequentia: die Häufigkeit) ist der Kehrwert der Schwingungsdauer \(T\): \(f = \frac{1}{T}\). Das Formelzeichen für die Frequenz ist \(f\), für die Einheit der Frequenz gilt \(\left[ f \right] = \left[ {\frac{1}{P}} \right] = \frac{1}{{1{\rm{s}}}} = 1{\rm{Hz}}\) (HERTZ nach dem deutschen Physiker Heinrich HERTZ (1857 - 1894)).

Ein Körper schwingt also mit der Frequenz \(f = 1{\rm{Hz}}\), wenn er 1 Mal pro \(1\rm{s}\) den gleichen Bewegungszustand (siehe oben) besitzt.

Nach dieser Festlegung wären sowohl das Trampolinspringen als auch der sich ständig wiederholende Herzschlag zwar Periodische Bewegungen, aber keine Schwingungen, weil die Bewegungen nicht symmetrisch um die Ruhelage herum ablaufen. Auch Kreisbewegungen sind sind zwar periodische Bewegungen, aber keine Schwingungen, da es bei ihnen keine eindeutig festgelegte Ruhelage gibt. Periodische Bewegungen, die nicht symmetrisch um die Ruhelage heraum ablaufen, können aber meistens durch zwei einzelne Schwingungen beschrieben werden, die jeweils nur einen halben Teil der Bewegung abdecken.

Die Begriffe Schwingungsdauer und Frequenz beschreiben zwar recht gut das zeitliche Verhalten eines Oszillators, nicht aber das räumliche. Aus diesem Grund sind weitere Definitionen nötig.

Definition

Die Elongation \(x\) , besser \(x(t)\) (lat. elongare: entfernen, fernhalten) ist der von der Ruhelage aus gemessene Ort des Körpers (zu einem Zeitpunkt \(t\)). Eine Elongation \(x(t)\) ist also der Funktionswert der Zeit-Orts-Funktion zum Zeitpunkt \(t\). Das Formelzeichen für die Elongation ist \(x\), für die Einheit der Elongation gilt \(\left[ x \right] = 1{\rm{m}}\).

Die Skalierung der Elongation wird üblicherweise so gewählt, dass die Ruhelage durch die Elongation \(x=0\) (nicht unbedingt bei \(t=0\)) beschrieben wird. Die sind der Grund dafür, dass man die Ruhelage auch als Nulllage der Schwingung bezeichnet (siehe oben). Bei dieser Skalierung erhält man sowohl positive als auch negative Werte für die Elongation.

Die Amplitude \({\hat x}\) (lat. amplitudo: die Geräumigkeit) ist der Betrag des Maximalwertes der Elongation. Das Formelzeichen für die Amplitude ist \({\hat x}\), für die Einheit der Amplitude gilt \(\left[ {\hat x} \right] = 1{\rm{m}}\).

Die Amplitude ist per Definition immer positiv. Sie ist wegen der Symmetrie der Schwingung um die Ruhelage der (gleich große) Abstand zwischen der Nulllage und den beiden Umkehrpunkten.

Eine nähere Analyse mechanischer Schwingungen zeigt, dass zum Auftreten einer Schwingung stets eine Rückstellkraft \({{\vec F}_{{\rm{Rück}}}}\)notwendig ist, die auf den Gleichgewichtspunkt hin gerichtet ist. In den folgenden Animationen sind beim Faden- und beim Federpendel die Rückstellkräfte rot eingezeichnet.

Was man allgemein unter einer Schwingung versteht, wurde bei der Besprechung der eindimensionalen Bewegungen bereits behandelt. Im Folgenden geht es um eine wichtige Sonderform der Schwingung, nämliche der harmonischen Schwingung, die man etwas salopp auch als Sinusschwingung bezeichnet.

Festlegung:
Unter einer harmonischen Schwingung versteht man denjenigen Bewegungstyp, der sich aus der Projektion der Kreisbewegung ergibt.

Hinweise:

  • Versuche und Überlegungen, die in diesem Kapitel durchgeführt werden, zeigen, dass z.B. das Federpendel oder auch das Fadenpendel harmonische Schwingungen ausführen.
  • Der Einfachheit halber beschreibt man in der Schule meist eine harmonische Schwingung, die beim Phasenwinkel φ = 0° startet. Dies bedeutet, dass in der folgenden Animation der Körper seine Kreisbewegung beim Winkel φ = 0° startet und sich in die mathematisch positive Richtung dreht (Gegenuhrzeigersinn).
    Für den allgemeineren Fall (d.h. befindet sich der Körper zur Zeit t = 0 bei der Kreisbewegung schon bei einem Winkel φ ungleich Null) wird die Beschreibung etwas komplizierter. Dies ist auf der folgenden Seite (Verallgemeinerung), die sich an besonders Interessierte wendet, dargestellt.
Bezeichnungen
Beziehungen
f: Schwingungsfrequenz T: Schwingungsdauer
\[\begin{array}{l}T = \frac{1}{f}\\\omega  = 2\pi  \cdot f = \frac{{2\pi }}{T}\end{array}\]
φ: Phasenwinkel ω: Kreisfrequenz
y(t): Elongation

\(\hat y\): Maximale Auslenkung

v(t): Geschwindigkeit des Schwingers \(\hat v\): Maximalgeschwindigkeit
a(t): Beschleunigung des Schwingers \(\hat a\): Maximalbeschleunigung

Zeit-Orts-Gesetz der harmonischen Schwingung

Mit Hilfe eines Schattenwurfs wird der auf dem Kreis gleichförmig rotierende Punkt auf eine Wand projiziert.

  • Mit Hilfe des Schalters "Projektion" kann man sich die Bewegung des Schattenbildes auf der y-Achse einprägen. Die größte Auslenkung aus der Nulllage wird mit \(\hat y\) bezeichnet.
  • Wenn Sie die Entstehung der Zeit Orts-Funktion (t-y-Funktion) der projizierten Bewegung betrachten wollen, so drücken Sie den Schalter "Projektion und Zeit-Orts-Kurve".

Bei den gegebenen Anfangsbedingungen ergibt sich (φ = 0° bei t = 0; Drehung im Gegenuhrzeigersinn) ergibt sich als Zeit-Orts-Graph eine Sinuskurve. Dies sieht man auch ohne Animation durch die Betrachtung der y-Komponente ry des Radiusvektors im rechtwinkligen Dreieck mit dem Winkel φ. Für ry gilt:

ry = r·sinφ   oder    ry(t)= r·sin(ω·t)

Bei der Schwingung bezeichnen wir die Auslenkung in y-Richtung mit y(t) und die maximale Auslenkung (welche dem Radius r der Kreisbahn entspricht) mit \(\hat y\). Somit gilt dann:

\[y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)\]

 

 

Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz

Zeit-Beschleunigungsgesetz-Gesetz

Zusammenfassung der Bewegungsgleichungen für die harmonische Schwingung (φ = 0° bei t = 0; Drehung im Gegenuhrzeigersinn)

Zeit-Orts-Gesetz:
\[y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right)\]





Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz:
\[v(t) = \hat v \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right) \Rightarrow v(t) = \hat y \cdot \omega \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right)\]

Zeit-Beschleunigungs-Gesetz:
\[a(t) = - \hat a \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right) \Rightarrow a(t) = - \hat y \cdot {\omega ^2} \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)\]

 


Lineares Kraftgesetz

Durch Verwendung von Newton II erkennt man mit Hilfe des Zeit-Beschleunigungsgesetzes:
\(F(t) = m \cdot a(t) =  - m \cdot {\omega ^2} \cdot y(t)\) oder \(F \sim y\)

Fazit : Bei einer harmonischen Schwingung liegt ein lineares Kraftgesetz vor. Der Proportionalitätsfaktor zwischen Kraft und Elongation ist \(m \cdot {\omega ^2}\).

Der Vergleich der Federschwingung (es liegt nach Hooke ein lineares Kraftgesetz vor) mit der projizierten Kreisbewegung zeigt:

Um den Nachweis zu führen, dass eine harmonische Schwingung vorliegt, reicht daher der Nachweis des linearen Kraftgesetzes.

Zusammenfassung

Rücktreibende Kraft - Richtgröße - Schwingungsdauer

´

Wendet man auf die Zeit-Beschleunigungs-Beziehung das Gesetz von Newton II (\(F = m·a\)) an und berücksichtigt man noch die Zeit-Orts-Beziehung, so ergibt sich
\[F(t) =  - m \cdot {\omega ^2} \cdot y(t)\]

Aus dieser Beziehung ist die Proportionalität zwischen der Kraft und der Auslenkung abzulesen (lineares Kraftgesetz). Die Proportionalitätskonstante \(C = m \cdot {\omega ^2}\) wird als Richtgröße bezeichnet.

Außerdem sieht man aus dieser Beziehung, dass die Kraft stets das entgegengesetzte Vorzeichen der Auslenkung besitzt. Ist z.B. y positiv, so ist die Kraft negativ, d. h. sie zeigt in die negative y-Richtung. Die Kraft ist also stets zum Nullpunkt der Schwingung hingerichtet. Man bezeichnet sie daher auch als rücktreibende Kraft.

Zwischen der Richtgröße C und der Schwingungsdauer T gibt es den folgenden Zusammenhang:
\[m \cdot {\omega ^2} = C \Leftrightarrow {\omega ^2} = \frac{C}{m} \Rightarrow \omega  = \sqrt {\frac{C}{m}} \]
und wegen \(\omega  = 2 \cdot \pi  \cdot f\) bzw. \(\omega  = \frac{{2 \cdot \pi }}{T}\) ergibt sich
\[f = \frac{1}{{2 \cdot \pi }}\sqrt {\frac{C}{m}} \]
\[T = 2 \cdot \pi \sqrt {\frac{m}{C}} \]

Energiebetrachtung bei der Schwingung

Bei der mechanischen Schwingung ist ein periodisches Hin- und Herpendeln zwischen den zwei Energieformen "kinetische Energie" und "potentielle Energie" zu beobachten.
Speziell beim ungedämpften Federpendel gilt:
\[\begin{eqnarray}{E_{{\rm{ges}}}} &=& {E_{{\rm{pot}}}} + {E_{{\rm{kin}}}}\\ &=& \frac{1}{2} \cdot m \cdot v{(t)^2} + \frac{1}{2} \cdot D \cdot y{(t)^2}\\ &=& \frac{1}{2} \cdot m \cdot {\left( {\hat y \cdot \omega  \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t + \varphi } \right)} \right)^2} + \frac{1}{2} \cdot D \cdot {\left( {\hat y \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t + \varphi } \right)} \right)^2}\\ &=& \frac{1}{2} \cdot m \cdot {{\hat y}^2} \cdot {\omega ^2} \cdot \cos {\left( {\omega  \cdot t + \varphi } \right)^2} + \frac{1}{2} \cdot D \cdot {{\hat y}^2} \cdot \sin {\left( {\omega  \cdot t + \varphi } \right)^2}\\ &=& \frac{1}{2} \cdot m \cdot {{\hat y}^2} \cdot {\omega ^2} \cdot \cos {\left( {\omega  \cdot t + \varphi } \right)^2} + \frac{1}{2} \cdot \left( {m \cdot {\omega ^2}} \right) \cdot {{\hat y}^2} \cdot \sin {\left( {\omega  \cdot t + \varphi } \right)^2}\\ &=& \frac{1}{2} \cdot m \cdot {{\hat y}^2} \cdot {\omega ^2} \cdot \underbrace {\left( {\cos {{\left( {\omega  \cdot t + \varphi } \right)}^2} + \sin {{\left( {\omega  \cdot t + \varphi } \right)}^2}} \right)}_1\\ &=& \frac{1}{2} \cdot m \cdot {{\hat y}^2} \cdot {\omega ^2}\end{eqnarray}\]
Die Gesamtenergie der Schwingung ist also zeitlich konstant.

Hinweis: Das periodische Hin- und Herpendeln zwischen zwei Energieformen ist ein allgemeines Kennzeichen einer Schwingung. So tritt z.B. bei den elektromagnetischen Schwingungen ein Hin- und Herpendeln zwischen "elektrischer Energie" und "magnetischer Energie" auf.

Zur Beschreibung einer harmonischen Schwingung wird im Allgemeinen die Sinusfunktion verwendet. In der Form \(y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right)\) oder \(y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\frac{{2\pi }}{T} \cdot t} \right)\) stellt die Sinusfunktion nur einen Spezialfall dar. Hierbei hat die Schwingung zur Zeit \({t = 0}\) die Auslenkung (Elongation) null und beginnt in die positive y-Richtung zu schwingen.

Will man die harmonische Schwingung allgemeiner beschreiben, so wählt man die Funktion \(y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t + \varphi_0 } \right)\) oder \(y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\frac{{2\pi }}{T} \cdot t + \varphi_0 } \right)\).

Bezeichnungen

\(\hat y\): Amplitude (maximale Auslenkung); \(\left[ {\hat y} \right] = 1\rm{m}\)   \(T\): Schwingungsdauer; \(\left[ T \right] = 1{\rm{s}}\)
\(\omega \): Kreisfrequenz; \({\left[ \omega  \right] = \frac{{\rm{1}}}{{\rm{s}}}}\)   \(\varphi_0 \): Phasenverschiebung
\(f\): Frequenz; \({\left[ f \right] = \frac{{\rm{1}}}{{\rm{s}}} = 1{\rm{Hz}}}\)      

Wichtige Beziehungen

\[f = \frac{1}{T}\] \[\omega = 2\pi \cdot f\]

Im Weiteren soll nun gezeigt werden, wie sich der Graph der Grundfunktion \(y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\frac{{2\pi }}{T} \cdot t} \right)\) mit \(\hat y = 1\rm{cm}\), \(T = 6,3{\rm{s}}\) und \({\varphi_0  = 0}\) verändert, wenn man die Amplitude \({\hat y}\), die Kreisfrequenz \(\omega \) oder die Phasenverschiebung \(\varphi_0 \) variiert.

1. Änderung der Amplitude

Der Graph der Grundfunktion wird in \(y\)-Richtung gestreckt bzw. gestaucht.
Allgemeiner Funktionsterm
y(t) = ŷ·sin(ω·t + φo)

Amplitude
ŷ =



Spezieller Funktionsterm
y(t)=sin(t)
 

2. Änderung der Kreisfrequenz

Der Graph der Grundfunktion wird in \(t\)-Richtung gestreckt bzw. gestaucht.
Allgemeiner Funktionsterm
y(t) = ŷ·sin(ω·t + φo)

Kreisfrequenz
ω =



Spezieller Funktionsterm
y(t)=sin(t)
 

3. Änderung der Phasenverschiebung

Der Graph der Grundfunktion wird in \(t\)-Richtung verschoben.
Allgemeiner Funktionsterm
y(t) = ŷ·sin(ω·t + φo)

Phasenverschiebung
φo =



Spezieller Funktionsterm
y(t)=sin(t)
 

4. Änderung von Amplitude, Kreisfrequenz und Phasenverschiebung

Hier nun alle Veränderungen in einer Darstellung:
Allgemeiner Funktionsterm
y(t) = ŷ·sin(ω·t + φo)

Amplitude
ŷ =


Kreisfrequenz
ω =

Phasenverschiebung
φo =



Spezieller Funktionsterm
y(t)=sin(t)
 

Anmerkung: Die letzten beiden Animationen zeigen insbesondere, dass \(\sin \left( {\omega  \cdot t + \frac{1}{2}\pi } \right)\) gleich \(\cos \left( {\omega  \cdot t} \right)\) ist

Aufgaben

a) Skizziere die Funktion \(y(t) = 3cm \cdot \sin \left( {\frac{{0,5}}{s} \cdot t - \frac{\pi }{2}} \right)\)

b) Skizziere die Funktion \(y(t) = -2cm \cdot \sin \left( {\frac{2}{s} \cdot t + \frac{\pi }{2}} \right)\)

c) Finde den Funktionsterm zu folgendem Graphen:

d) Finde den Funktionsterm zu folgendem Graphen:

Federpendel Fadenpendel
Kraftgesetz aufgrund der Schwingungsgleichung:
\[F =  - m \cdot {\omega ^2} \cdot y \quad(1)\]
Kraftgesetz aufgrund der Anordnung:
\[{F_{{\rm{rück}}}} =-D \cdot y \quad(2)\]
Kraftgesetz aufgrund der Anordnung:
\[{F_{{\rm{rück}}}} =  - m \cdot g \cdot \sin \left( \alpha  \right)\]
woraus sich für kleine \(\alpha \) und \(\alpha \) im Bogenmaß ergibt
\[{F_{{\rm{rück}}}} =  - m \cdot g \cdot \alpha \]
Mit \(\alpha  = \frac{y}{l}\) ergibt sich dann
\[{F_{{\rm{rück}}}} =  - \frac{{m \cdot g}}{l} \cdot y \quad(3)\]
Vergleich von \((2)\) mit \((1)\) liefert
\[D = m \cdot {\omega ^2} \Leftrightarrow \frac{D}{m} = {\omega ^2} \Rightarrow \omega  = \sqrt {\frac{D}{m}} \]
woraus sich wegen \(T = \frac{{2 \cdot \pi }}{\omega }\) ergibt
\[T = 2 \cdot \pi \sqrt {\frac{m}{D}} \]

Vergleich von \((3)\) mit \((1)\) liefert
\[\frac{{m \cdot g}}{l} = m \cdot {\omega ^2} \Leftrightarrow \frac{g}{l} = {\omega ^2} \Rightarrow \omega  = \sqrt {\frac{g}{l}} \]
woraus sich wegen \(T = \frac{{2 \cdot \pi }}{\omega }\) ergibt
\[T = 2 \cdot \pi \sqrt {\frac{l}{g}} \]

Hinweis: Nur für kleine Winkel kann der Sinus des Winkels durch den Winkel im Bogenmaß ersetzt werden. Das Fadenpendel ist daher nur für kleine Auslenkwinkel ein harmonischer Schwinger.

Im Folgenden werden theoretische Grundlagen für die Behandlung von harmonischen Schwingungen bereitgestellt. Die Schwingungsgleichung für die freie, ungedämpfte, harmonische Schwingung ist Lehrstoff. Die gedämpfte, freie Schwingung und die Schwingung mit äußerer Krafteinwirkung gehören nicht unbedingt zum Pflichtstoff. Sie sollten sich aber wenigstens in die Ansätze für die entsprechenden Differentialgleichungen hineindenken können.

Differentialgleichung und deren Lösung bei der ungedämpften Schwingung

 

Lässt man den Gleiter in der nebenstehenden Animation nach der Auslenkung los, so kann er frei schwingen. Dies bedeutet, dass keine von außen aufgeprägte Kraft auf das schwingungsfähige System einwirkt. Da sich der Gleiter reibungsfrei auf der Unterlage bewegen kann (Idealisierung), ist die Schwingung ungedämpft.

Wird der Gleiter losgelassen, so wirkt auf ihn als resultierende Kraft die stets rücktreibenden Kraft \({F_{\rm{F}}}=-D \cdot x\) des Federsystems, welches einer Federhärte vom Betrag \(D\) haben soll. Dabei bedeutet rücktreibend: Ist der Gleiter in die positive \(x\)-Richtung ausgelenkt, zeigt die Federkraft \(F\) in die negative \(x\)-Richtung und umgekehrt; dieses Verhalten wird mathematisch durch das Minuszeichen im Term für die Federkraft beschrieben.

Nach dem 2. Newtonschen Axiom gilt somit
\[m \cdot a=-D \cdot x \Leftrightarrow m \cdot a + D \cdot x = 0\]
Beachtet man nun, dass \(x = x(t)\) und \(a = a(t) = \ddot x(t)\) (die Beschleunigung ist die zweite zeitliche Ableitung des Ortes), so kann man die obige Gleichung schreiben als
\[m \cdot \ddot x(t) + D \cdot x(t) = 0 \quad(1)\]
Diese (Differential-)Gleichung bezeichnet man als die Differentialgleichung der freien, ungedämpften, harmonischen Schwingung.

Bemerkungen

In Gleichung \((1)\) kommt die Variable \(x\) (Auslenkung) und deren Ableitung (hier 2. Ableitung) vor. Man nennt eine solche Gleichung Differentialgleichung. In der Physik deutet man die zeitliche Ableitung als Punkt über der Variablen an.

Das Finden von Lösungen von Differentialgleichungen gehört zur Hochschul-Mathematik. Wir sind bescheidener und überzeugen uns, dass ein Lösungsansatz die Differentialgleichung erfüllt. Da die Schwingung ungedämpft ist, bietet sich eine Sinus- oder Kosinusfunktion an. Wir wählen die Kosinusfunktion, da zu Beginn der Schwingung der Gleiter maximal ausgelenkt ist.

Lösungsansatz

freie, ungedämpfte, harmonische Schwingung

Aus der Beobachtung der freien, ungedämpften, harmonischen Schwingung (vgl. Abbildung rechts) lässt sich vermuten, dass die Zeit-Orts-Funktion die Form
\[x(t) = \hat x \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t} \right)\quad(2)\]
hat, wobei \(\hat x\) die durch die Anfangsauslenkung der Schwingung bestimmte Amplitide der Schwingung und \(\omega\) die durch die Parameter \(m\) und \(D\) noch zu bestimmende Kreisfrequenz der Schwingung ist. Durch Differenzieren von \((\)2) erhält man
\[\dot x(t) =  - \omega  \cdot \hat x \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right)\]
und daraus
\[\ddot x(t) =  - {\omega ^2} \cdot \hat x \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t} \right)\quad(3)\]
Setzt man \((2)\) und \((3)\) in die Differentialgleichung \((1)\) ein, so folgt
\[m \cdot \left( { - {\omega ^2} \cdot \hat x \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t} \right)} \right) + D \cdot \hat x \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {-m \cdot {\omega ^2} + D} \right) \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t} \right) = 0\quad(4)\]
Die linke Seite der Gleichung \((4)\) wird nur dann ständig gleich Null sein, wenn gilt
\[-m \cdot {\omega ^2} + D = 0 \Leftrightarrow {\omega ^2} = \frac{D}{m} \Rightarrow \omega  = \sqrt {\frac{D}{m}} \quad(5)\]
Somit ist eine Lösung der Differentialgleichung \((1)\)
\[x(t) = \hat x \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t} \right)\;{\rm{mit}}\;\omega  = \sqrt {\frac{D}{m}} \]

Differentialgleichung und deren Lösung bei der gedämpften Schwingung

 

Lässt man den Gleiter in der nebenstehenden Animation nach der Auslenkung los, so kann er frei schwingen. Dies bedeutet, dass keine von außen aufgeprägte Kraft auf das schwingungsfähige System einwirkt. Da sich der Gleiter nicht reibungsfrei auf der Unterlage bewegen kann, ist die Schwingung gedämpft.

Wird der Gleiter losgelassen, so wirkt auf ihn als resultierende Kraft die Summe der stets rücktreibenden Kraft \({F_{\rm{F}}}=-D \cdot x\) des Federsystems und der stets entgegen der Bewegung gerichteten Reibungskraft \({F_{\rm{R}}}=-k \cdot v\). Zur Vereinfachung wird angenommen, dass die Reibungskraft proportional zur Geschwindigkeit ist.

Nach dem 2. Newtonschen Axiom gilt somit
\[m \cdot a=-D \cdot x - k \cdot v \Leftrightarrow m \cdot a + k \cdot v + D \cdot x = 0\]
Beachtet man nun, dass \(x = x(t)\), \(v = v(t) = \dot x(t)\) (die Geschwindigkeit die erste zeitliche Ableitung des Ortes) und \(a = a(t) = \ddot x(t)\) (die Beschleunigung ist die zweite zeitliche Ableitung des Ortes), so kann man die obige Gleichung schreiben als
\[m \cdot \ddot x(t) + k \cdot \dot x(t) + D \cdot x(t) = 0\quad(1)\]
Diese (Differential-)Gleichung bezeichnet man als die Differentialgleichung der freien, gedämpften, harmonischen Schwingung.

Auch hier versuchen wir einen sinnvollen Lösungsansatz zu bestätigen. Allerdings gibt es bei der gedämpften Schwingung in Abhängigkeit von den Werten der Parameter \(m\), \(k\) und \(D\) drei unterschiedliche Lösungsansätze. Zur Unterscheidung der drei Lösungsansätze formen wir \((1)\) um zu
\[{\ddot x}(t) + \frac{k}{m} \cdot {\dot x}(t) + \frac{D}{m} \cdot x(t) = 0\quad(1')\]
und führen die neuen Parameter \(\delta  = \frac{k}{{2 \cdot m}}\) und \({\omega _0} = \sqrt {\frac{D}{m}} \) ein, so dass \((1')\) in
\[{\ddot x}(t) + 2 \cdot \delta  \cdot {\dot x}(t) + {\omega _0}^2 \cdot x(t) = 0\quad(1'')\]
übergeht. Die Fallunterscheidung ist nun wie folgt:

Schwingfall (gedämpfte harmonische Schwingung); die e-Funktion ist die Einhüllende

1. Fall (schwache Dämpfung, Schwingfall): \({\delta ^2} - {\omega _0}^2 < 0\)

Aus der Beobachtung der freien, gedämpften, harmonischen Schwingung (vgl. Abbildung rechts) lässt sich vermuten, dass die Zeit-Orts-Funktion die Form
\[x(t) = \hat x \cdot {e^{-\delta  \cdot t}} \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t} \right) \quad(2)\]
hat, wobei \(\hat x\) die durch die Angangsauslenkung der Schwingung bestimmte Amplitide der Schwingung, \(\omega\) die durch die Parameter \(m\), \(D\) und \(k\) noch zu bestimmende Kreisfrequenz der Schwingung und \(\delta\) eine ebenfalls noch zu bestimmende Konstante darstellt, die die Stärke des Abfallens der Amplitude bestimmt.

Bildet man vom Lösungsansatz die erste und zweite zeitliche Ableitung und setzt in die Differentialgleichung \((1)\) ein, so erhält man nach einer etwas langwierigen Rechnung
\[\delta  = \frac{k}{{2 \cdot m}}\;{\rm{und}}\;\omega  = \sqrt {\frac{D}{m} - {\delta ^2}} \]

Wenn Sie wissen wollen, wie man zu den Ergebnissen für \(\delta \) und \(\omega \) gelangt, so gehen Sie bitte zur einfachen Theorieseite oder zur komplizierteren Theorieseite.

Diskussion

Die Dämpfung ist umso größer, je größer der Proportionalitätsfaktor für die Reibung ist. Mit zunehmender Masse des Gleiters wird die Dämpfung geringer.

Die Schwingungsfrequenz geht für \(k \to 0\) in die Schwingungsfrequenz der ungedämpften Schwingung über. Ist die Dämpfung aber nicht mehr gering und damit evtl. zu vernachlässigen, so erkennt man, dass die Schwingungsfrequenz vom Faktor \(k\) und der Masse \(m\) abhängt. Die Schwingungsdauer wird sich also bei merklicher Dämpfung erhöhen.

aperiodischer Grenzfall; abhängig von den Anfangsbedingungen ist auch ein einmaliges Überschwingen möglich

2. Fall (starke Dämpfung, aperiodischer Grenzfall): \({\delta ^2} - {\omega _0}^2 = 0\)

Die Theorie der Differentialgleichungen liefert hier den Lösungsansatz
\[x(t) = \left( {{A_1} + {A_2} \cdot t} \right) \cdot {e^{ - \delta  \cdot t}}\]
der mit den Anfangsbedingungen \(x(0\rm{s}) = {x_0}\) und \(v(0{\rm{s}}) = \dot x(0{\rm{s}}) = {v_0}\) zu der allgemeinen Lösung
\[x(t) = \left( {{x_0} + \left( {{v_0} + \delta  \cdot {x_0}} \right) \cdot t} \right) \cdot {e^{ - \delta  \cdot t}}\]
führt.

Kriechfall

3. Fall (starke Dämpfung, Kriechfall): \({\delta ^2} - {\omega _0}^2 > 0\)

Die Theorie der Differentialgleichungen liefert hier den Lösungsansatz
\[x(t) = \left( {{A_1} \cdot {e^{\Omega  \cdot t}} + {A_2} \cdot {e^{ - \Omega  \cdot t}}} \right) \cdot {e^{ - \delta  \cdot t}}\;{\rm{mit}}\;\Omega  = \sqrt {{\delta ^2} - {\omega _0}^2} \]
der mit den Anfangsbedingungen \(x(0\rm{s}) = {x_0}\) und \(v(0{\rm{s}}) = \dot x(0{\rm{s}}) = {v_0}\) zu der allgemeinen Lösung
\[x(t) = \left( {\frac{{{x_0} \cdot \left( {\Omega  + \delta } \right) + {v_0}}}{{2 \cdot \Omega }} \cdot {e^{\Omega  \cdot t}} + \frac{{{x_0} \cdot \left( {\Omega  - \delta } \right) - {v_0}}}{{2 \cdot \Omega }} \cdot {e^{ - \Omega  \cdot t}}} \right) \cdot {e^{ - \delta  \cdot t}}\]
führt.

Praktische Anwendung der verschiedenen Fälle

Manchmal ist das nahezu ungedämpfte Schwingen eines Systems gar nicht erwünscht. Man unterscheidet verschiedene Dämpfungsgrade:

Schwingfall

Trommeln sind relativ schwach gedämpft

aperiodischer Grenzfall

Das System geht ohne zu schwingen in möglichst kurzer Zeit auf die Nulllage zurück; abhängig von den Anfangsbedingungen ist auch ein einmaliges Überschwingen möglich.

Das Schwingen des Autos aufgrund der Federung ist unerwünscht. Daher werden Stoßdämpfer eingebaut, die nahezu zum aperiodischen Grenzfall führen.

Kriechfall

Die Dämpfung ist so stark, dass das schwingungsfähige System sehr langsam in die Nulllage zurückgeht. In der Skizze ist zum Kriechfall aus Vergleichsgründen noch der aperiodische Grenzfall eingezeichnet.

Bei der Tankanzeige sind schnelle Änderungen in der Anzeige unerwünscht. Sehr starke Dämpfung, so dass der Zeiger in seine Endstellung "kriecht".

Überlegungen zur angeregten Schwingung

 

Wird im Fall der gedämpften Schwingung dem System noch eine zeitlich sich ändernde äußere Kraft \({F_{\rm{A}}}\) aufgeprägt, so ist der Kraftansatz wie folgt abzuändern
\[F = {F_{\rm{F}}} + {F_{\rm{R}}} + {F_{\rm{A}}}\]

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