Bewegte Ladungen in Feldern

Elektrizitätslehre

Bewegte Ladungen in Feldern

  • Wie funktioniert eine Bildröhre?
  • Warum schützt das Erdmagnetfeld vor kosmischer Strahlung?
  • Wie funktionieren Teilchenbeschleuniger?
  • Kann man die Masse von Elektronen messen?
  • Wie groß ist die kleinste Ladung?
Die Bewegung von elektrischen Ladungen in elektrischen Feldern hat für den Bau von Oszilloskopen (Prüfgeräte in der Elektronik) und Fernsehröhren eine hohe technische Bedeutung.
  • Damit die Bewegung der Ladungen nicht durch Stöße mit Luftmolekülen o.ä. gestört wird, muss man dafür sorgen, dass sich die Ladungen in einem evakuierten Raum, z.B. in einer luftleer gepumpten Glasröhre, bewegen können.
  • Zur Erzeugung - insbesondere von Elektronen - verwendet man den von Thomas Alva Edison gefundenen Glühelektrischen Effekt. Hierbei wird eine im Vakuum befindliche Heizwendel durch Stromfluss so stark erhitzt, dass sie glüht. In diesem Zustand können Elektronen aus der Heizwendel austreten (man sagt salopp "Elektronen werden aus der Wendel abgedampft") und eine negative Raumladungswolke um die Heizwendel bilden. Dieser Vorgang hat eine große Ähnlichkeit mit dem Heraustreten von Atomen aus einer Flüssigkeit beim Verdampfen bzw. Verdunsten.
  • Um die aus der Heizwendel austretenden Elektronen zu beschleunigen und einen feinen Elektronenstrahl zu erzeugen, bringt man in die Nähe der Heizwendel (Kathode) eine positiv geladene Elektrode mit Loch (Anode). Dabei werden die aus der Kathode austretenden Elektronen in einem elektrischen Längsfeld so stark auf die Anode zu beschleunigt, dass sie durch das Anodenloch jenseits der Anode fliegen und dort einen feinen Strahl schneller Elektronen bilden.
    Hinweis:
    Zur besseren Bündelung der Elektronen (Fokussierung) verwendet man meist noch eine weitere Elektrode zwischen Kathode und Anode, den sogenannten Wehneltzylinder, auf den wir hier aber nicht näher eingehen. Die Einheit aus Kathode, Wehneltzylinder und Anode wird auch als Elektronenkanone bezeichnet.

  • Trifft der Elektronenstrahl auf einen mit einer geeigneten Schicht bestrichenen Schirm, so leuchtet dieser im Auftreffpunkt des Elektronenstrahls z.B. in der Farbe grün oder blau auf.
  • Durch sogenannte Ablenkplattenpaare (parallel ausgerichtete Metallplatten) kann der Elektronenstrahl quer zur ursprünglichen Flugrichtung beeinflusst werden. In der folgenden Animation ist die Beeinflussung des Elektronenstrahls durch ein vertikal gerichtetes elektrisches Querfeld dargestellt.

  • Der Vorteil dieser Beeinflussung durch ein elektrisches Querfeld ist:
  • Auf Grund der geringen Trägheit der Elektronen (extrem geringe Masse) folgt der Elektronenstrahl nahezu ohne Verzögerung den Spannungsschwankungen an den Ablenkplatten.
  • Die Auslenkung am Leuchtschirm ist proportional zur Spannung an den jeweiligen Ablenkplatten, so dass die Spannungsmessung auf eine Streckenmessung zurückgeführt werden kann.
  • Somit stellt eine evakuierte Röhre mit Elektronenkanone und Ablenkplatten eine Vorrichtung dar, mit der schnell wechselnde Spannungen optisch dargestellt werden können. Man bezeichnet diese Röhren nach ihrem Erfinder Karl Ferdinand Braun als Braunsche Röhren.
  • Bei den sogenannten Oszilloskopen wird an die Vertikal-Ablenkplatten die zu messende Spannung und an die Horizontal-Ablenkplatten eine sogenannte Sägezahnspannung angelegt. Die Sägezahnspannung sorgt für eine unverzerrte Darstellung des zeitlichen Verlaufs der Messspannung. Vergleiche hierzu auch die detaillierten Seiten (nur für Experten) zum Oszilloskop.


  • In einer braunschen Röhre werden Elektronen an der Heizwendel "abgedampft" und durch die Spannung UA zur Anode hin beschleunigt. Durch ein Loch in der Anode gelangen sie in einen feldfreien Raum.
  • Im Kondensator werden sie in die y-Richtung durch die Spannung UK beschleunigt.
  • Nachdem sie den Kondensator verlassen haben fliegen sie im nun wieder feldfreien Raum geradlinig weiter und treffen schließlich auf den Schirm, wo sie einen Leuchtfleck hinterlassen.


In der folgenden Animation ist die Bewegung eines Elektrons im elektrischen Längs- und Querfeld dargestellt. Die eingezeichneten Geschwindigkeitspfeile zeigen ihnen an, wo und in welche Richtung Beschleunigungen auftreten.

Das Ziel der nun folgenden Rechnungen ist es, die Streckenlängen \(y_1\) und \(y_2\) durch einstellbare Größen wie Beschleunigungsspannung \(U_{\rm{B}}\) und Kondensatorspannung \(U_{\rm{C}}\) und festen Größen wie Plattenabstand \(d\), Länge der Kondesatorplatte \(y\) und Entfernung zum Schirm \(b\) auszudrücken.

Bestimmung der Endgeschwindigkeit vox am Ende des Längsfeldes (nichtrelativistische Rechnung)

Die kinetische Energie des Teilchens ist gleich der Feldarbeit

\[{\textstyle{1 \over 2}} \cdot {m_e} \cdot v_{0x}^2 = e \cdot {U_a}\quad \quad \quad {v_{0x}} = \sqrt {\frac{{2 \cdot e \cdot {U_A}}}{{{m_e}}}} \quad \left( 1 \right)\]

Berechnung der Strecke y2

Zur Bestimmung der Steigung m der Bahngeraden rechts vom Kondensator kann man die Ableitung m der Bahngleichung an der Stelle x = l bilden. Die Strecke y2 ergibt sich dann als y2 = m·b

\[\begin{array}{l}m = y'(x) = \frac{{e \cdot {U_k}}}{{{m_e} \cdot d \cdot v_{0x}^2}} \cdot x\quad \Rightarrow \quad y'(l) = \frac{{e \cdot {U_k}}}{{{m_e} \cdot d \cdot v_{0x}^2}} \cdot l\\\quad \quad {y_2} = y'(l) \cdot b\quad \Rightarrow \quad {y_2} = \frac{{e \cdot {U_k}}}{{{m_e} \cdot d \cdot v_{0x}^2}} \cdot l \cdot b\end{array}\]

Berechnung der Gesamtablenkung

\[\begin{array}{l}y = {y_1} + {y_2}\quad \Rightarrow \quad y = {\textstyle{1 \over 2}} \cdot \frac{{e \cdot {U_k}}}{{{m_e} \cdot d \cdot v_{0x}^2}} \cdot {l^2} + \frac{{e \cdot {U_k}}}{{{m_e} \cdot d \cdot v_{0x}^2}} \cdot l \cdot b\\\quad \quad \quad y = \frac{{e \cdot {U_k} \cdot l}}{{{m_e} \cdot d \cdot v_{0x}^2}} \cdot \left( {\frac{l}{2} + b} \right)\end{array}\]

Man sieht aus dem Ergebnis, dass die Gesamtablenkung proportional zur Kondensatorspannung U ist. Man kann also mit der Röhre die Spannungsmessung auf eine Längenmessung zurückführen.

Hinweis: In den obigen Abschnitten wurde die Bewegung von Ladungen im Vakuum bei Anwesenheit elektrischer Felder behandelt. Bewegen sich die Ladungen z.B. im "zähen Medium" Luft, so tritt neben den bisher betrachteten Kräften auch noch eine Reibungskraft auf. Wie in einem solchen Fall vorzugehen ist, wird am Beispiel des Millikan-Versuchs näher erläutert.

Treten Elektronen (z.B. nach der Beschleunigung durch eine Beschleunigungsspannung \({{U_{\rm{B}}}}\) in einer "Elektronenkanone" mit der (Anfangs-)Geschwindigkeit \({v_{{\rm{x,0}}}} = \sqrt {\frac{{2 \cdot e \cdot {U_{\rm{B}}}}}{{{m_e}}}} \)) senkrecht zu den Feldlinien in ein homogenes elektrisches Feld z.B. das eines Plattenkondensators mit dem Plattenabstand \(d\), an dem eine Spannung \({{U_{\rm{K}}}}\) anliegt, ein, so bewegen sie sich im Bereich dieses Feldes auf einer Parabelbahn. Die folgende Animation veranschaulicht die wichtigsten physikalischen Größen, die bei der Herleitung der Gleichung dieser Parabel benötigt werden.

UH
UB
UK
Ladung
Elektrisches Feld
Elektron
Position des Elektrons
Elektrische Kraft
Beschleunigung
Geschwindigkeit
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Man wählt das Koordinatensystem zur Beschreibung der Bahn der Elektronen üblicherweise so, dass dessen \(x\)-Achse parallel und damit die \(y\)-Achse senkrecht zu den Platten des Kondensators verläuft. Als Koordinatenursprung wählt man den Punkt, an dem die Elektronen parallel zur \(x\)-Achse in das homogene elektrische Feld eintreten. Dann gilt

Elektronen im Elektrischen Querfeld

Im Bereich des homogenen elektrischen Feldes bewegen sich die Elektronen auf einer Parabelbahn mit der Bahnkurve
\[y(x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{{{U_{\rm{K}}}}}{{d \cdot {U_{\rm{B}}}}} \cdot {x^2}\]
Dabei ist \({{U_{\rm{B}}}}\) die Beschleunigungsspannung der "Elektronenkanone", \({{U_{\rm{K}}}}\) die am Plattenkondensator anliegende Spannung und \(d\) der Plattenabstand dieses Kondensators.

Hat der Plattenkondensator die Länge \(l\), so beträgt die Ablenkung der Elektronen beim Austritt aus dem Plattenkondensator
\[y(l) = \frac{1}{4} \cdot \frac{{{U_{\rm{K}}}}}{{d \cdot {U_{\rm{B}}}}} \cdot {l^2}\]
Die Elektronen treten dabei unter einem Winkel der Weite \(\alpha\) mit
\[\tan \left( \alpha  \right) = y'\left( l \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{U_{\rm{K}}}}}{{d \cdot {U_{\rm{B}}}}} \cdot l\]
aus dem Plattenkondensator aus.

Weder durch Ausmessen der Bahnkurve \(y(x)\) noch durch Messen der Ablenkung \(y(l)\) oder der Weite \(\alpha \) des Austrittswinkels lassen sich Informationen über Ladung \(e\), die Masse \(m_e\) oder die spezifische Ladung \(\frac{e}{{{m_e}}}\) der Elektronen gewinnen.

Leite die Gleichung der Parabelbahn her, auf der sich die Elektronen durch das homogene elektrische Feld bewegen.

Ein stromdurchflossener Leiter erfährt im Magnetfeld eine Kraft (sofern die Stromrichtung nicht parallel zur Feldrichtung ist). Die Richtung dieser Kraft können Sie mit der UVW-Regel der rechten Hand ermitteln (vgl. entsprechende Grundwissensseite).

Das obige Versuchsergebnis soll nun noch auf eine andere Weise interpretiert werden. Vielleicht denken Sie sich, dass ihnen eine Versuchsdeutung bereits ausreicht. Sie werden aber sehen, dass diese neue Deutung allgemeiner und somit leistungsfähiger ist.

Es kommt nur zur Auslenkung der Leiterschaukel, wenn im Kreis ein Strom festzustellen ist. Strom bedeutet in der "mikroskopischen Vorstellung" das Fließen von Ladungen. Hier setzt nun die Umdeutung des obigen Versuches an:

Wenn die Lampe leuchtet so bewegen sich z.B. negative Ladungsträger vom Minus- zum Pluspol, d.h. bei dem im Magnetfeld befindlichen Leiterstück von vorne nach hinten (in die Zeichenebene). Die senkrecht zum Magnetfeld bewegten Ladungsträger erfahren nun eine Kraft nach links und "ziehen das Leiterstück mit" in dem sie sich bewegen, das Leiterstück geht nach links.

Die Kraft auf das Leiterstück ist also die Summe der vielen kleinen Kräfte die jeweils auf die bewegten Ladungsträger im Magnetfeld wirken. Man nennt die Kraft auf bewegte Ladungsträger im Magnetfeld nach ihrem Entdecker H. A. Lorentz: Lorentzkraft

Geht man davon aus, dass der Strom durch positive Ladungsträger bewirkt wird (diese müssten dann vom Pluspol zum Minuspol, also aus der Zeichenebene heraus fließen), so müssen diese positiven Ladungsträger auch eine Lorentzkraft nach links erfahren, um das Versuchsergebnis zu erklären.

Um die Richtung der Lorentzkraft zu ermitteln arbeitet man zweckmäßig mit zwei UVW-Regeln:

UVW-Regel der linken Hand für negative Ladungsträger
UVW-Regel der rechten Hand für positive Ladungsträger

Mit Hilfe dieser neuen UVW-Regeln kann man nun auch die Kraftrichtung auf freie Ladungsträger ermitteln, die nicht in einen Leiter "eingesperrt" sind. Vergleichen Sie hierzu die Deutung der Versuchsergebnisse beim Fadenstrahlrohr.

Schon in einer vorangegangenen Jahrgangsstufe hast du erfahren, dass die Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld letztlich durch die Kraft auf die im Leiter "eingesperrten", sich bei Stromfluss bewegenden Ladungsträger zu erklären ist. Die auf die im Magnetfeld bewegten Ladungsträger wirkende Kraft heißt Magnetische Kraft, für die zugehörige Formel erhält man
\[{F_m} = B \cdot {I_L} \cdot \Delta l\]
Für den Strom kann man auch den Quotienten aus der im Leiterstück der Länge Δl befindlichen freien Ladung ΔQ und der Zeitspanne Δt schreiben
\[{F_m} = B \cdot \frac{{\Delta Q}}{{\Delta t}} \cdot \Delta l\quad \left( 1 \right)\]
Für die durch die Testfläche in der Zeit Δt geflossene Ladung ΔQ lässt sich auch schreiben:
\[\Delta Q = N \cdot e\quad \left( 2 \right)\]
Setzt man (2) in (1) und sortiert die Größen etwas um, so erhält man
\[{F_m} = B \cdot N \cdot e \cdot \frac{{\Delta l}}{{\Delta t}}\quad \left( 3 \right)\]
Der Quotient aus Δl und Δt ist die als konstant angenommene Geschwindigkeit v der Ladungsträger. Somit kann man für (3) auch schreiben:
\[{F_m} = B \cdot N \cdot e \cdot v\]
Fm stellt die gesamte Kraft auf alle N Ladungsträger im betrachteten Leiterabschnitt dar. Für die Kraft auf einen Ladungsträger, die man als Lorentzkraft bezeichnet erhält man dann:
\[{F_{lor}} = \frac{{{F_m}}}{N}\quad \Rightarrow \quad {F_{lor}} = e \cdot B \cdot v\]
Die für die freien Elektronen in einem Leiter (Leitungselektronen) hergeleitete Beziehung lässt sich für jede beliebige Ladung der Stärke q, die sich senkrecht zu den Feldlinien eines homogenen Magnetfeldes der Flussdichte B mit der Geschwindigkeit v bewegt, verallgemeinern:
\[{{F_{\rm{L}}} = q \cdot B \cdot v\;für\;\vec v \bot \vec B}\]
Wie du aus der Mittelstufe bereits weisst, steht der Vektor der Lorentzkraft senkrecht auf der durch den Geschwindigkeitsvektor und dem Vektor der Flussdichte aufgespannten Ebene.

Hinweise

  • Weil der Vektor der Lorentzkraft stets senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor steht, also stets senkrecht zur Bewegungsrichtung wirkt, bleibt der Geschwindigkeitsbetrag des geladenen Teilchen konstant. Allerdings ändert sich durch den Einfluss der Lorentzkraft die Bewegungsrichtung.
  • Im homogenen Magnetfeld ist die Flussdichte B überall gleich groß. Bei konstanter Ladung, Geschwindigkeit und Flussdichte (siehe obige Formel für Flor) bleibt daher der Betrag der Lorentzkraft konstant.
  • Als Folge einer Kraft deren Betrag konstant und deren Richtung stets senkrecht zur momentanen Bewegungsrichtung ist, ergibt sich als Teilchenbahn eine Kreisbahn. Dabei stellt die Lorentzkraft die für die Kreisbewegung erforderliche Zentripetalkraft dar.
  • Mechanisches Analogon: Kugel an Faden, welche auf einer Kreisbahn herumgeschleudert wird. Die Zentripetalkraft wird durch die Kraft aufgebracht, welche der Faden auf die Kugel ausübt.
  • Bewegt sich ein geladenes Teilchen nicht senkrecht, sondern unter einem Winkel α zur Richtung der Feldlinien, so gilt für die Lorentzkraft \[{F_{lor}} = q \cdot B \cdot v \cdot \sin \alpha \]Aus obiger Beziehung ist zu erkennen, dass bei der Bewegung geladener Teilchen parallel zu den Magnetfeldlinien (α = 0°) keine Lorentzkraft auftritt.

Wir betrachten die Situation, dass Elektronen (z.B. nach der Beschleunigung durch eine Beschleunigungsspannung \({{U_{\rm{B}}}}\) in einer "Elektronenkanone") mit der Geschwindigkeit \(v_0\) (z.B. \(v_0 = \sqrt {\frac{{2 \cdot e \cdot {U_{\rm{B}}}}}{{{m_e}}}} \)) senkrecht zu den Feldlinien in ein homogenes Magnetisches Feld (z.B. das in der Mittelebene eines HELMHOLTZ-Spulenpaares mit dem Spulenradius \(R\) und der Windungszahl \(N\), durch das ein Strom der Stärke \({{I_{\rm{S}}}}\) fließt) eintreten.

Die folgende Animation veranschaulicht die wichtigsten physikalischen Größen, die in dieser Situation von Bedeutung sind.

Heizspannung
UH

Beschleunigungsspannung
UB

Spulenstrom
IS

 Strom (physikalisch)
 Magnetisches Feld
 Elektron
Position des Elektrons
 Magnetische Kraft
 Beschleunigung
 Geschwindigkeit
 

Elektronen im homogenen Magnetischen Feld (Eintritt senkrecht zu den Feldlinien)

Im Bereich des homogenen Magnetischen Feldes bewegen sich die Elektronen mit konstanter Bahngeschwindigkeit auf einer Kreisbahn; für den Radius dieser Kreisbahn gilt
\[r = \frac{{m_e \cdot v_0}}{{e \cdot B}} \quad (1)\]
Dabei ist \(e\) die Ladung der Elektronen, \(m_e\) die Masse der Elektronen, \(v_0\) die Geschwindigkeit der Elektronen beim Eintritt in das Magnetische Feld und \(B\) der Betrag der Flussdichte des Magnetischen Feldes.

Für die Umlaufdauer \(T\), d.h. die Zeit, die die Elektronen für einen Umlauf der Kreisbahn benötigen, gilt
\[T = \frac{{2 \cdot \pi  \cdot m_e}}{{e \cdot B}}\]
Auffällig ist, dass die Umlaufdauer \(T\) unabhängig von der Bahngeschwindigkeit \(v_0\) des Teilchens ist.

Für den Fall der Beschleunigung der Elektronen in einer "Elektronenkanone" mit der Beschleunigungsspannung \({{U_{\rm{B}}}}\) und der Erzeugung des homogenen Magnetischen Feldes durch ein HELMHOLTZ-Spulenpaar mit Spulenradius \(R\) und Windungszahl \(N\), durch das ein Strom der Stärke \({{I_{\rm{S}}}}\) fließt, ergibt sich für den Radius der Kreisbahn
\[r = \frac{{\sqrt 2  \cdot }}{{\sqrt {\frac{e}{{{m_e}}}}  \cdot {\mu _0} \cdot \frac{8}{{{{\sqrt 5 }^3}}} \cdot \frac{N}{R}}} \cdot \frac{{\sqrt {{U_{\rm{B}}}} }}{{{I_{\rm{S}}}}} \quad (2)\]
Umformen dieser Gleichung liefert
\[\frac{e}{{{m_e}}} = \frac{{125 \cdot {R^2}}}{{32 \cdot {\mu _0}^2 \cdot {N^2}}} \cdot \frac{{{U_{\rm{B}}}}}{{{r^2} \cdot {I_{\rm{S}}}^2}} \quad (2')\]
Durch Ausmessen des Kreisradius \(r\) und Messen der anderen relevanten Größen lässt sich die spezifische Ladung \(\frac{e}{{{m_e}}}\) des Elektrons und damit bei bekannter Ladung \(e\) die Masse \(m_e\) des Elektrons bestimmen. Es ergibt sich
\[\frac{e}{{{m_e}}} = 1,76 \cdot {10^{11}}\frac{{{\rm{As}}}}{{{\rm{kg}}}}\]
sowie
\[{{m_e} = 9,11 \cdot {{10}^{ - 31}}{\rm{kg}}}\]

Begründe, dass sich die Elektronen unter den oben genannten Bedingungen mit konstanter Bahngeschwindigkeit auf einer Kreisbahn bewegen.

Leite Gleichung \((1)\) für den Radius \(r\) der Kreisbahn her.

Leite die Gleichung für die Umlaufdauer \(T\) auf der Kreisbahn her.

Leite Gleichung \((2)\) für den Radius \(r\) der Kreisbahn her.

Berechne mit \({U_{\rm{B}}} = 200{\rm{V}}\), \({I_{\rm{S}}} = 1,53{\rm{A}}\), \(N=130\), \(R=15,0\rm{cm}\) und \(r=4,0\rm{cm}\) die spezifische Ladung \(\frac{e}{{{m_e}}}\) sowie die Masse \(m_e\) des Elektrons.

Tritt ein geladenes Teilchen nicht unter 90°, sondern schräg zu den Feldlinien in ein homogenes Magnetisches Feld ein, so durchläuft das Teilchen eine Schraubenlinie mit Radius \(r\) und Ganghöhe \(h\).

Berechnung des Radius \(r\) der Schraubenlinie

Der Betrag der zu \({\vec B}\) senkrechten Geschwindigkeitskomponente \({{{\vec v}_\bot }}\) ist \({v_\bot } = v \cdot \sin \left( \alpha  \right)\). Beim Durchlaufen der Schraubenlinie trägt nur noch diese Geschwindigkeitskomponente zur LORENTZ-Kraft bei, die wiederum als Zentripetalkraft wirkt; somit gilt
\[{F_{\rm{L}}} = {F_{{\rm{ZP}}}} \Leftrightarrow q \cdot {v_ \bot } \cdot B = \frac{{m \cdot {v_ \bot }^2}}{r} \Leftrightarrow r = \frac{{m \cdot {v_ \bot }}}{{q \cdot B}} = \frac{{m \cdot v}}{{q \cdot B}} \cdot \sin \left( \alpha  \right)\]

Berechnung der Umlaufdauer \(T\) für einen "Schraubengang"

Da die Umlaufdauer \(T\) unabhängig von der Geschwindigkeit \(v\) des Teilchens ist, ergibt sich hier der gleiche Ausdruck wie bei der Bewegung auf einer Kreisbahn:
\[T = \frac{{2 \cdot \pi  \cdot m}}{{q \cdot B}}\]

Berechnung der Ganghöhe \(h\)

Der Betrag der zu \({\vec B}\) parallelen Geschwindigkeitskomponente \({{{\vec v}_\parallel }}\) ist \({v_\parallel } = v \cdot \cos \left( \alpha  \right)\). Die Ganghöhe ist diejenige Strecke, welche das geladene Teilchen in der Zeit \(T\) mit dieser Geschwindigkeit vom Betrag  \({v_\parallel }\) zurücklegt. Damit ergibt sich
\[h = {v_{||}} \cdot T = {v_{||}} \cdot \frac{{2 \cdot \pi  \cdot m}}{{q \cdot B}} = \frac{{2 \cdot \pi  \cdot m \cdot v}}{{q \cdot B}} \cdot \cos \left( \alpha  \right)\]

Wilhelm WIEN (1864 - 1928)
unbekannter Autor [Public domain], via Wikimedia Commons

Von Wilhelm WIEN (1864 - 1928) stammt der Vorschlag für ein Geschwindigkeitsfilter, welches nur geladene Teilchen einer bestimmten Geschwindigkeit passieren lässt.

Wir betrachten die Situation, dass Elektronen (z.B. nach der Beschleunigung durch eine Beschleunigungsspannung \({{U_{\rm{B}}}}\) in einer "Elektronenkanone") mit der Geschwindigkeit \(v_0\) (z.B. \(v_0 = \sqrt {\frac{{2 \cdot e \cdot {U_{\rm{B}}}}}{{{m_e}}}} \)) in einen Bereich eintreten, in dem sowohl ein homogenes Elektrisches Feld (z.B. das eines Plattenkondensators mit dem Plattenabstand \(d\), an dem eine Spannung \({{U_{\rm{K}}}}\) anliegt) als auch ein homogenes Magnetisches Feld (z.B. das in der Mittelebene eines HELMHOLTZ-Spulenpaares mit dem Spulenradius \(R\) und der Windungszahl \(N\), durch das ein Strom der Stärke \({{I_{\rm{S}}}}\) fließt) wirken, wobei die Feldlinien dieser beiden Felder senkrecht zueinander stehen. Die Elektronen treten dabei so in diesen Bereich ein, dass ihr Geschwindigkeitsvektor beim Eintritt sowohl senkrecht zu den Elektrischen als auch zu den Magnetischen Feldlinien steht.

Heizspannung
UH

Beschleunigungsspannung
UB

Kondensatorspannung
UK

Spulenstrom
IS

 Polung
 Elektrisches Feld
 Strom (physikalisch)
 Magnetisches Feld
 Elektron
Position des Elektrons
 Elektrische Kraft
 LORENTZ-Kraft
 Beschleunigung
 Geschwindigkeit
 

Elektronen in orthogonalen homogenen Elektrischen und Magnetischen Feldern (Eintritt senkrecht zu den Feldlinien)

Bei geeigneter Wahl des Betrages \(E\) der Elektrischen Feldstärke und des Betrages \(B\) der Magnetischen Feldstärke bewegen sich die Elektronen auf einer geradlinigen Bahn durch den von den beiden Feldern erfüllten Bereich. In diesem Fall bleibt die Geschwindigkeit \(\vec v\) konstant und für ihren Betrag \(v\) gilt
\[v = \frac{E}{B} \quad(1)\]
Elektronen, die beim Eintritt in den von den beiden Feldern erfüllten Bereich einen anderen Geschwindigkeitsbetrag \(v\) haben, bewegen sich in diesem Fall nicht geradlinig, sondern werden in Richtung der Platten abgelenkt.

Für den Fall der Beschleunigung der Elektronen in einer "Elektronenkanone" mit der Beschleunigungsspannung \({{U_{\rm{B}}}}\), der Erzeugung des homogenen Elektrischen Feldes durch einen Plattenkondensator mit dem Plattenabstand \(d\), an dem eine Spannung \({{U_{\rm{K}}}}\) anliegt und der Erzeugung des homogenen Magnetischen Feldes durch ein HELMHOLTZ-Spulenpaar mit Spulenradius \(R\) und Windungszahl \(N\), durch das ein Strom der Stärke \({{I_{\rm{S}}}}\) fließt, ergibt sich
\[\frac{e}{{{m_e}}} = \frac{{125 \cdot {R^2}}}{{128 \cdot {\mu _0}^2 \cdot {d^2} \cdot {N^2}}} \cdot \frac{{{U_{\rm{K}}}^2}}{{{I_{\rm{S}}}^2 \cdot {U_{\rm{B}}}}}\quad(2)\]

Durch Messen der relevanten Größen lässt sich die spezifische Ladung \(\frac{e}{{{m_e}}}\) des Elektrons und damit bei bekannter Ladung \(e\) die Masse \(m_e\) des Elektrons bestimmen. Es ergibt sich
\[\frac{e}{{{m_e}}} = 1,76 \cdot {10^{11}}\frac{{{\rm{As}}}}{{{\rm{kg}}}}\]
sowie
\[{{m_e} = 9,11 \cdot {{10}^{ - 31}}{\rm{kg}}}\]

Leite Gleichung \((1)\) für die Bedingung der geradlinigen Bewegung der Elektronen her.

Begründe, warum Elektronen mit anderer als der durch die obige Bedingung festgelegten Geschwindigkeit den von den beiden Feldern erfüllten Bereich nicht geradlinig durchlaufen.

Leite Gleichung \((2)\) zur Bestimmung der spezifischen Ladung \(\frac{e}{{{m_e}}}\) von Elektronen her.

Berechne mit \(d=5,40\rm{cm}\), \(N=320\), \(R=6,80\rm{cm}\), \({U_{\rm{B}}} = 3000{\rm{V}}\), \({U_{\rm{K}}} = 1500{\rm{V}}\) und \({I_{\rm{S}}} = 0,202{\rm{A}}\) die spezifische Ladung \(\frac{e}{{{m_e}}}\) sowie die Masse \(m_e\) des Elektrons.

 

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