Kräfteaddition und -zerlegung

Mechanik

Kräfteaddition und -zerlegung

  • Ziehen zwei immer stärker als einer?
  • Was ist eigentlich ein „Kräfteparallelogramm“?
  • Warum müssen Messer immer scharf sein?

Schiefe Ebenen im Alltag

Schrotleiter:
Eine schiefe Ebene bildet mit der Horizontalebene den spitzen Neigungswinkel α. Schon seit alters her wird die schiefe Ebene als Vorrichtung, mit der man Kraft "sparen" kann, eingesetzt. Diese "Kraftersparnis" soll am Beispiel eines Bierfahrers, der ein Fass auf seinen Wagen heben will, nochmals erläutert werden. Will der Mann ein Faß direkt auf den Wagen heben, so muss er eine Hubkraft aufwenden, die gleich der Gewichtskraft des Fasses ist. Da volle Fässer z.T. eine Gewichtskraft haben, welche die Möglichkeiten des Mannes übersteigen, verwendet er eine Rampe (Fachwort: Schrotleiter).

Kräftezerlegung an einer schiefen Ebene am Beispiel des Verladens eines Bierfasses auf einen LKW

Dadurch muss der Bierfahrer sowohl beim Laden als auch beim Entladen eine geringere Kraft aufwenden als beim direkten Hoch- bzw. Herunterheben. Allerdings muss er diese geringere Kraft auch über eine längere Strecke wirken lassen als bei der lotrechten Bewegung.

 

 

Ägyptische Pyramiden:
Zu den größten Leistungen der Frühzeit (ca. 2500 Jahr v. Chr.) zählt der Bau der Pyramiden in Ägypten, die als Grabstätten der Pharaonen dienten. Am bekanntesten sind wohl die drei Pyramiden von Gizeh (nähe Kairo), von denen die größte die Cheops-Pyramide ist. Sie wurde in etwa 20 Jahren aufgebaut.

Hier einige Daten der Cheopspyramide:

  • Gesamtvolumen ca. 2,6 Mio. Kubikmeter
  • Gesamtmasse ca. 6,9 Mio. Tonnen
  • Höhe ca. 147 m; Seitenlänge der quadratischen Grundfläche ca. 230 m
  • Das Kernmauerwerk besteht aus Kalksteinquadern. Jeder Quader hat etwa die Masse von 2,7 Tonnen.
  • Die Granitquader für die Deckenkonstruktion der Grabkammer kamen aus dem ca. 800 km entfernten Assuan. Sie wurden über den Nil verschifft und wogen ca. 50 Tonnen pro Stück.
  • Man schätzt, dass etwa 20 000 - 30 000 Arbeiter mit dem Bau der großen Pyramide beschäftigt waren.
Wie es die damaligen Baumeister schafften, die mehreren Millionen der tonnenschweren Steine hoch zu hieven und exakt aneinander zu schlichten, ist auch heute noch nicht ganz klar. Manche Forscher meinen, dass die Ägypter Rampen (schiefe Ebenen) um die Pyramiden errichteten und auf diesen das schwere Baumaterial heranschafften.
Neuere Überlegungen lehnen die "Rampen-Theorie" ab und gehen davon aus, dass einfache Hebemaschinen verwendet wurden. Wie diese aber ausgesehen und funktioniert haben, darüber besteht große Uneinigkeit. Einig ist man sich wohl nur darüber, dass die Ägypter noch keine Flaschenzüge kannten.
via Wikimedia Commons
Passstraßen - Serpentinenwege:
Das Transportieren von Waren über hohe Pässe hat schon lange Tradition. Noch heute werden z.B. im Himalya mit Eselskarawanen Waren auf gepflasterten Serpentinenwegen in abgelegene Täler transportiert. In den Alpen führen inzwischen weitgehend Straßen in die Bergdörfer. Damit die Fahrzeuge nicht zu hohe Steigungen und damit Hangabriebskräfte überwinden müssen, baut man lange Serpentinenstraßen, die eine Art "aufgewickelte" schiefe Ebene darstellen.

Die Schraube - eine schiefe Ebene:
Schrauben stellen in unserer Zeit ein universelles Befestigungsmittel dar. Sie haben inzwischen die Nägel in vielen Bereichen abgelöst. Früher fertigte man Schrauben aus Holz in Handarbeit und nutzte sie für den Vortrieb bei einfachen Maschinen. So kannte man in sehr früher Zeit bei Weinpressen die Holzschraube.

Auch heute werden schraubenartige Gebilde, nämlich Spindeln für den Vortrieb von Präzisionsmaschinen - wie einer Drehbank - genutzt.

 

 

Den Zusammenhang zwischen einer Schraube und einer schiefen Ebene siehst du am besten, wenn du dir ein rechtwinkliges Dreieck aus Papier schneidest und dieses Dreieck um einen Zylinder wickelst. Wenn du mit einem Filzstift den oberen (orangen) Rand des Dreiecks auf dem Zylinder nachzeichnest, entsteht eine Schraubenlinie am Zylinder. Fräst man die Schraubenlinie aus, so entsteht eine Schraube. Dreht man diese um eine volle Drehung in ein Gewinde, so schiebt sich die Schraube um die Höhe h in das Gewinde. Man bezeichnet h als Ganghöhe der Schraube.

An der schiefen Ebene (z.B. Schrotleiter) hast du gesehen, dass bei einer geringen Neigung eine relativ kleine Kraft (gegengleich der Hangabtriebskraft) aufzubringen ist, um einen schweren Körper (große Gewichtskraft) nach oben zu befördern.
Umgekehrt braucht man bei einer Schraube mit geringer Ganghöhe eine relativ kleine Kraft Fu am Umfang, um eine große Kraft Fa in Achsrichtung der Schraube zu bewirken.
 


 

In den Bergen

Ein Skifahrer fährt im Schuss einen Hang mit einem Neigungswinkel von \(30^\circ \) hinunter. Auf den Skifahrer mit Ausrüstung wirkt eine Gewichtskraft von \(0,70{\rm{kN}}\).

  1. Bestimme zeichnerisch den Betrag der Hangabtriebskraft.

  2. Bestimme ebenfalls zeichnerisch den Betrag der Kraft, mit der die beiden Skier zusammen auf die Schneedecke drücken. Hinweis: Die Lage des Angriffspunktes der Gewichtskraft ist durch angedeutet.

 

Der Skifahrer setzt nun zum Schwung an. Dazu richtet er sich rasch aus der Hocke auf. (Hochbewegung)

  1. Versuche mit Hilfe des Trägheitssatzes zu begründen, warum am Ende des Aufrichtens die Kraft, mit der die Skier auf den Schnee drücken, kleiner wird (schwer: evtl. nur Musterlösung anschauen).

  2. Erläutere, warum die Hochbewegung am Beginn eines Schwunges das Drehen der Skier erleichtert.

Die abgebildete Gondelbahn hat, wenn sie mit 15 Personen besetzt ist, eine Gewichtskraft von \(20{\rm{kN}}\).

  1. Zerlege die Gewichtskraft der Gondel in eine zum Tragseil parallele Komponente und eine Komponente senkrecht zum Tragseil. Alle Kraftpfeile beginnen im Punkt .

  2. Die Gondel wird über ein Zugseil mit konstanter Geschwindigkeit nach oben gezogen. Zeichne die Zugkraft ein. Ermittle aus der Zeichnung den Betrag dieser Kraft, wenn die Rollreibungskraft vernachlässigt werden darf.

 

Im steilen Gelände schlängeln sich Wanderwege meist in Windungen (Serpentinen) nach oben. Warum werden Wege so angelegt?

Brücken

Brücken dienten primär, dazu Flüsse und Schluchten zu "überwinden". Heute werden Brücken z.B. auch dafür eingesetzt, ein ganzes Tal zu "überbrücken" und so für einen schnellen Autoverkehr zu sorgen.
Bei der Belastung von Brücken können sehr große Kräfte auftreten (dies zeigt z.B. schon die Kraftzerlegung beim Heimversuch zum Tauziehen). Durch hochbelastbare Baumaterialien und geschickte Konstruktionen gelang es, die Spannweiten der Brücken immer weiter in die Höhe zu schrauben. Jedem bekannt ist die 1937 erbaute Golden Gate Bridge bei San Francisco mit einer Spannweite von 1280 m (die längste Hängebrücke ist z.Z. ist in Japan mit einer Spannweite von 1991 m).

Schon 2000 v.Chr. sollen sich die Chinesen mit der Kunst des Brückenbaus beschäftigt haben. In der Frühzeit waren neben den kleinen Hängebrücken die sogenannten Balkenbrücken aufgrund ihrer einfachen Bauweise am verbreitetsten. In diesen Balkenbrücken treten jedoch relativ hohe Zug- und Druckkräfte auf, so dass man mit einfachen Baumaterialien bei größeren Spannweiten schnell an Grenzen stieß. Durch das Einfügen von Zwischenpfeilern gelangt man jedoch auch mit diesem Brückentyp zu ansehnliche Spannweiten, wie es die Europa-Brücke bei Innsbruck beweist. Die Balkenbrücke ist auch heute noch der verbreitetste Brückentyp.

Einen erheblichen Fortschritt bedeutete die Bogenbrücke, die gerade im römischen Reich und später bei den Venezianern große Verbreitung fand. Da bei den Bogenbrücken in ersten Linie Druckkräfte auftreten, konnten Materialien wie Sandstein und Granit verwendet werden, die relativ gering auf Zug, aber stark auf Druck belastbar sind. Da die verwendeten Materialien im Gegensatz zum Holz eine hohe Lebensdauer besitzen, können wir heute noch Brücken aus römischer Zeit bewundern.
Die Bogenbrücken erfordern Widerlager, welche die großen horizontal gerichteten Kräfte "aufnehmen". Dabei sind diese Horizontalkräfte umso größer, je flacher (und damit meist eleganter) der Bogen ist. Überlege dir warum dies so ist!
Die Statik der Bogenbrücke "funktioniert" erst dann, wenn alle Steine zwischen den Widerlagern eingepasst sind. Während der Bauphase sind also erhebliche Stützkonstruktionen nötig, die den Baupreis stark in die Höhe treiben.

 

Die imposanteste Brückenform ist wohl die Hängebrücke. Im Himalya werden mit diesem Brückentyp große Schluchten überbrückt (vgl. Bild rechts).
Mit der Hängebrücke sind sehr große Spannweiten möglich, so dass mit ihr z.B. auch Straßen über Meerengen geführt werden können. Die Straße wurde früher an Ketten, später dann an Stahlseilen aufgehängt. In den Seilen treten ausschließlich Zugkräfte, in den Pfeilern (Pylonen), an denen die Tragekonstruktion aufgehängt ist, sind dagegen in erster Linie Druckkräfte festzustellen.
Im Gegensatz zu den Balken- und Bogenbrücken sind die Hängebrücken nicht starr. Dies kann dazu führen, dass ungünstige Windverhältnisse die Brücke in Schwingungen versetzen, was zur Zerstörung der Brücke führen kann (Tacoma-Bridge 1940).




Eine relativ junger Brückentyp ist die Schrägseilbrücke. In der Regel ist sie wirtschaftlicher als die Hängebrücke herzustellen. Darüber hinaus sind an den Brückenrändern nicht so massive Verankerungen notwendig.

An einem Ausschnitt einer Schrägseilbrücke soll nun gezeigt werden, wie die Gewichtskräfte der Fahrbahn in eine Druckkraft auf den Pylon gewandelt werden.

Wir denken uns die Fahrbahn in gleiche Abschnitte aufgeteilt. Die Gewichtskraft eines solchen Abschnitts links vom Pylon werde mit Fg,l bezeichnet. Diese Gewichtskraft kann in eine Komponente parallel zur Fahrbahn (Ff,l) und in eine Komponente die längs des Schrägseils zieht (Fs,l) zerlegt werden. Die Zugkraft Fs,l kann längs des Seiles nach oben zum Pylon verschoben werden. Entsprechendes gilt für ein Fahrbahnstück rechts vom Pfeiler. Die Kräfte Fs,l und Fs,r haben als Resultierende eine Druckkraft längs des Pylons, welche von diesem gut "aufgenommen werden kann. Die Horizontalkräfte links und rechts parallel zur Fahrbahn sind im Gleichgewicht.

Hinweise:

 

Verständnisaufgabe

Materialeigenschaften

Einen Brückenbauer interessiert vor allen Dingen, wie stark bestimmte Materialien durch Zugkräfte und Druckkräfte belastbar sind. Als Materialgrößen hat man die sogenannte Zugfestigkeit und Druckfestigkeit eingeführt, welche beide in der Einheit N/mm2 angegeben werden. In der Tabelle findest du die Werte von zwei Materialien, die beim Brückenbau eine wesentliche Rolle spielen: Stahl und Beton. Zusätzlich haben wir noch die entsprechenden Werte von menschlichen Knochen angegeben.

Materialeigenschaften
Material Zugfestigkeit in \(\frac{N}{mm^2}\) Druckfestigkeit in \(\frac{N}{mm^2}\)
Stahl 800 500
Beton 4 20
menschliche Knochen 100 150

 

Aus der Tabelle sieht man, dass Beton dem Stahl sowohl in der Zug- als auch in der Druckfestigkeit deutlich unterlegen ist. Außerdem erkennt man, dass das im Vergleich zum Stahl billige Baumaterial Beton deutlich mehr auf Druck als auf Zug belastbar ist.

Bruecken Materialeigenschaften LKW
Abb.
11
Ein schwerer Lastwagen wird nun auf der Fahrbahndecke einer reinen Betonbrücke abgesetzt.

Erläutere, welche physikalischen Prozesse beim Aufsetzen des Lastwagens in der Betondecke der Brücke ablaufen.

Lösung

Die Brücke wird verformt. Im oberen Teil der Betondecke treten Druckkräfte und im unteren Teil Zugkräfte auf. Da der Beton nur geringe Zugkräfte aushält, kommt es zur Rissbildung im unteren Teil der Betondecke, welche u. U. zur Zerstörung führen kann.

Bruecken Materialeigenschaften LKW
Abb.
12
Ein LKW auf einer Betonbrücke verformt den Beton. Im unteren Teil der Betonbrücke bilden sich Risse.

Durch den Einbau eines Stahlträgers der die Länge der Brücke besitzt, soll diese stabilisiert werden. Erläutere, an welcher Stelle man diesen Träger am sinnvollsten in die dicke Betondecke einbaut.

Lösung

Bruecken Materialeigenschaften LKW
Abb.
13
Der Stahlträgers, welcher hohe Zugkräfte aushält, sollte in den unteren Teil der Betondecke eingezogen werden, da dort die Zugkräfte am größten sind.

Verständnisaufgabe

Fachwerkbrücke

Damit in einer Brückendecke nicht zu hohe Biegespannungen eine Zerstörung bewirken, kann man ein Stahlgerüst (wie skizziert) aufbauen, das an die Balkenkonstruktion eines Fachwerkbaus erinnert. Zeige durch geeignete Kraftzerlegungen, wie sich die Gewichtskraft des Lastwagens auf die einzelnen Träger "verteilt". Kennzeichne Zugkräfte in grüner und Druckkräfte in blauer Farbe.

Bruecken Fachwerk LKW
Abb.
14
Die Fahrbahn einer Fachwerkbrücke wird durch einen LKW belastet.

Lösung

Die Animation (Abb. 15) zeigt Schritt für Schritt wie die auftretenden Kräfte durch die Fachwerkskonstruktion verteilt werden.

Kräfte an einer Fachwerkbrücke
15 Verteilung der Gewichtskraft eines Lastwagens auf die einzelnen Träger einer Fachwerkbrücke

Pathfinder-Mission zum Mars

Am 12.04.1996 landete erstmals ein ferngesteuertes Fahrzeug auf dem Mars. Bei der Konstruktion dieses Fahrzeugs mit dem Namen Sojourner (siehe Foto) mussten viele Details bedacht werden. Mit deinen Kenntnissen aus dem Physikunterricht und der Tatsache, dass am Mars ein Gegenstand nur das 0,4-fache der Gewichtskraft auf der Erde hat, solltest du folgende Fragen beantworten können:

zu Seiten mit weiteren Bildern und Detailinformation der NASA (englisch)

  1. Kann das Fahrzeug auf dem Mars bei gleicher Antriebskraft größere Steigungen überwinden als auf der Erde?

  2. Kann das Fahrzeug auf dem Mars bei gleicher Antriebskraft in der Ebene schneller beschleunigen als auf der Erde (wenn man Reibungskräfte nicht berücksichtigt)?

  3. Kippt das Fahrzeug beim Fahren am Berg leichter um als auf der Erde?

 

Anstiege und Abfahrten beim Fahrradfahren

Unser Musterradler Richard (Masse samt Fahrrad 90 kg) möchte mit konstanter Geschwindigkeit einen Berg hinauf fahren. Auch hier muss er sich wieder zusätzlich plagen, da er gegen die Hangabtriebskraft, die du schon kennst, "ankämpfen" muss. Es gilt:\[F_{\rm{Steig}}=F_{\rm H}\]

Wie die Hangabtriebskraft zu berechnen ist zeigt die folgende Zeichnung:

Das durch FH, FG und FN gebildete "Kraftdreieck" ist dem Dreieck, das durch b,h und l gebildet wird ähnlich. Somit gilt:

\(\frac{{{F_H}}}{{{F_G}}} = \frac{h}{l}\;oder\;{F_H} = {F_G} \cdot \frac{h}{l}\)

Aktuell bist du evtl. noch darauf angewiesen aus dem Neigungswinkel \(\alpha\) der schiefen Ebene das Verhältnis von \(h\) und \(l\) geometrisch zu ermitteln. Wenn die Gewichtskraft bekannt ist, kannst Du dann die Hangabtriebskraft und somit die Steigungswiderstandskraft \(F_{\rm{Steig}}\) bestimmen. Falls du schon Sinus und Kosinus kennst, kannst du mithilfe des Taschenrechners und dem Sachverhalt das \(\frac{h}{l}=\sin(\alpha)\) ist, die Hangabtriebskraft ohne großen Aufwand bestimmen.

Verkehrszeichen Steigung 12%
Abb.
2
Verkehrszeichen Steigung

Bei größeren Steigungen einer Straße findest du meist ein entsprechendes Schild (siehe Abb. 2). Das Schild besagt, dass die Steigung der Straße z.B. 12% ist. Dies bedeutet, dass \(\frac{h}{b} = 0{,}12\) ist. In der folgenden Tabelle ist zur Steigung der jeweilige Neigungswinkel \(\alpha\) der schiefen Ebene und das Verhältnis \(\frac{{{F_H}}}{{{F_G}}} = \frac{h}{l}\) gegeben.

Steigungsangabe 0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14% 16% 18% 20%
Neigungswinkel α 0,0° 1,1° 2,3° 3,4° 4,6° 5,7° 6,8° 8,0° 9,1° 10,2° 11,3°
\(\frac{{{F_H}}}{{{F_G}}} = \frac{h}{l}\) 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20
  1. Betrachte die Tabelle und formuliere eine einfache Merkregel, mit der man aus der Steigung das Verhältnis \(\frac{h}{l}\) bestimmen kann.

  2. Unser Musterradler Richard (Masse mit Fahrrad 90 kg) fährt eine Steigung von 14%. Berechne den Betrag der Neigungswiderstandskraft.

Aus dem Ergebnis der Aufgabe sieht man, dass auch der Neigungswiderstand (wie auch der Beschleunigungswiderstand) bei üblichen Daten wesentlich höher ist als der Radwiderstand.
Selbstverständlich ist der Neigungswiderstand in der Ebene gleich Null.

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