Unser Musterradler Richard, dessen Masse samt Fahrrad \(m=90\,\rm{kg}\) beträgt, möchte mit konstanter Geschwindigkeit einen Berg hinauf fahren. Auch hier muss er nicht nur den Radwiderstand \(F_{\rm{Rad}}\) und den Luftwiderstand \(F_{\rm{L}}\) ausgleichen (siehe Reibungskräfte beim Fahrradfahren), sondern sich noch zusätzlich plagen: Er muss gegen die Hangabtriebskraft "ankämpfen". Es gilt:\[F_{\rm{Steig}}=F_{\rm {G,\parallel}}\]
Wie die Hangabtriebskraft \(F_{\rm {G,\parallel}}\) zu berechnen ist, zeigt die folgende Abb. 1:
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Das Kräftedreieck, welches durch \(F_{\rm {G,\bot}}\), \(F_{\rm {G,\parallel}}\) und \(F_{\rm {G}}\) gebildet wird, ist dem Dreieck, das durch \(b\), \(h\) und \(l\) gebildet wird, ähnlich. Somit gilt:\[\frac{F_{\rm {G,\parallel}}}{{{F_G}}} = \frac{h}{l}\quad \Leftrightarrow\quad {F_\rm {G,\parallel}} = {F_G} \cdot \frac{h}{l}\]
Aktuell bist du evtl. noch darauf angewiesen aus dem Neigungswinkel \(\alpha\) der schiefen Ebene das Verhältnis von \(h\) und \(l\) geometrisch zu ermitteln. Wenn die Gewichtskraft \(F_{\rm {G}}\) bekannt ist, kannst Du dann die Hangabtriebskraft \(F_{\rm {G,\parallel}}\) bestimmen. Die Steigungswiderstandskraft \(F_{\rm{Steig}}\), die du bei der Bergfahrt aufbringen musst, ist gerade genau so groß, aber entgegengesetzt gerichtet. Falls du schon Sinus und Kosinus kennst, kannst du mithilfe des Taschenrechners und dem Sachverhalt das \(\frac{h}{l}=\sin(\alpha)\) ist, die Hangabtriebskraft \(F_{\rm {G,\parallel}}\) mit \(F_{\rm {G,\parallel}}=F_{\rm{G}}\cdot \sin(\alpha)\) ohne großen Aufwand bestimmen.
Steigungsangaben im Straßenverkehr
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Bei größeren Steigungen einer Straße findest du meist ein entsprechendes Schild (siehe Abb. 2). Das Schild besagt, dass die Steigung der Straße z.B. 12% ist. Dies bedeutet, dass \(\frac{h}{b} = 0{,}12\) ist. In der folgenden Tabelle ist zur Steigung der jeweilige Neigungswinkel \(\alpha\) der schiefen Ebene und das Verhältnis \(\frac{F_{\rm {G,\parallel}}}{F_{\rm{G}}} = \frac{h}{l}\) gegeben.
| Steigungsangabe | 0% | 2% | 4% | 6% | 8% | 10% | 12% | 14% | 16% | 18% | 20% |
| Neigungswinkel α | 0,0° | 1,1° | 2,3° | 3,4° | 4,6° | 5,7° | 6,8° | 8,0° | 9,1° | 10,2° | 11,3° |
| \(\frac{F_{\rm {G,\parallel}}}{F_{\rm{G}}} = \frac{h}{l}\) | 0,00 | 0,02 | 0,04 | 0,06 | 0,08 | 0,10 | 0,12 | 0,14 | 0,16 | 0,18 | 0,20 |
Aufgabe
Aufgabe
Formuliere mit Hilfe der Tabelle eine einfache Merkregel, mit der du aus der Steigung das Verhältnis \(\frac{h}{l}\) bestimmen kannst.
Beispiel mit Musterradfahrer
Musterradfahrer Richard besitzt mit seinem Fahrrad eine Masse von \(m=90\,\rm{kg}\) und fährt einen Berg mit einer Steigung von \(14\%\) nach oben. Um den Betrag der Hangabtriebskraft \(F_{\rm {G,\parallel}}\) zu berechnen, den Richard ausgleichen muss, um weiter mit konstanter Geschwindigkeit den Berg nach oben zu fahren, nutzt du den Ansatz \[F_{\rm {G,\parallel}} = {F_{\rm{G}}} \cdot \frac{h}{l}\Leftrightarrow F_{\rm {G,\parallel}} = m \cdot g \cdot \frac{h}{l}\]\[\Rightarrow F_{\rm {G,\parallel}} = 90\,{\rm{kg}} \cdot 10\,\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} \cdot 0{,}14 = 130\,\rm{N}=1{,}3 \cdot {10^2}{\rm{N}}\]
Aus dem Ergebnis der Aufgabe siehst du auch, dass die Kraft, die du als Radfahrer aufbringen musst, um einen Anstieg mit konstanter Geschwindigkeit nach oben zu radeln bei üblichen Daten wesentlich höher ist als die auszugleichende Radwiderstandskraft \(F_{\rm{Rad}}\), die aus der Rollreibungskraft \(F_{\rm{RR}}\) und dem Reibungswiderstand \(F_{\rm{R}}\) von Lagern und Kette besteht und beim Musterradfahrer Richard lediglich \(F_{\rm{Rad}}=4\,\rm{N}\) beträgt (siehe Reibungskräfte beim Fahrradfahren).