Kräfteaddition und -zerlegung

Mechanik

Kräfteaddition und -zerlegung

  • Ziehen zwei immer stärker als einer?
  • Was ist eigentlich ein „Kräfteparallelogramm“?
  • Warum müssen Messer immer scharf sein?

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Wirken zwei oder mehr Kräfte auf einen Körper, so kannst du diese durch eine einzige resultierende Kraft \(\vec{F_{\rm{r}}}\) ersetzen.
  • Die Richtung und den Betrag (die Stärke) der resultierenden Kraft kannst du grafisch ermitteln.
  • Zeigen die angreifenden Kräfte in unterschiedliche Richtungen, so addierst du diese mittels Kräfteparallelogramm oder Kräftedreieck.

Resultierende Kraft beim Wirken mehrerer Kräfte

Wirken zwei Kräfte \(\vec {{F_1}} \) und \(\vec {{F_2}} \) auf einen Körper, so kannst du diese beiden Kräfte zu einer resultierenden Kraft \(\vec {F_{\rm {r}}}\) addieren. Die resultierende Kraft \(\vec {{F_r}}\) hat auf den Körper die gleiche Wirkung wie \(\vec {{F_1}} \) und \(\vec {{F_2}} \) zusammen. Du kannst also \(\vec {{F_1}} \) und \(\vec {{F_2}} \) durch die resultierende Kraft \(\vec {F_{\rm {r}}} \) ersetzen. Daher wird \(\vec {F_{\rm {r}}} \) auch Ersatzkraft genannt. Die resultierende Kraft \(\vec {F_{\rm {r}}} \) zweier Kräfte kannst du einfach zeichnerisch bestimmen.

Addition von gleichgerichteten Kräften

Kräfteaddition zweier gleich gerichteter Kräfte
Abb.
1
Kräfteaddition zweier gleich gerichteter Kräfte

Wirken zwei Kräfte \(\vec {{F_1}} \) und \(\vec {{F_2}} \) mit gleicher Wirkungslinie auf einen Körper, so findest du die resultierende Kraft \(\vec {F_{\rm {r}}} \) graphisch wie in Abb.1 indem du die beiden Kraftvektoren "aneinanderzeichnest". Der Vektor der resultierenden Kraft zeigt dann in die selbe Richtung wie die aneinandergereihten Einzelkräfte und ist genau so lang wie die beiden aneinandergezeichneten Kraftvektoren zusammen.

Rechnerisch kannst du hier auch die Beträge der beiden Kräfte addieren und erhältst den Betrag der resultierenden Kraft. In unserem Beispiel also \(F_1+F_2=F_{\rm r}\)

Tipp: Es ist ratsam, bei der zeichnerischen Lösung die Ersatzkraft in einer anderen Farbe (z.B. blau) zu zeichnen als die Ausgangskräfte. Streiche dann die Ausgangskräfte mit der Farbe der Ersatzkraft durch, um anzudeuten, dass du für weitere Überlegungen nur noch die Ersatzkraft betrachten musst. Diese Methode erleichtert besonders bei Problemen mit vielen Kräften die Lösung.

Addition von entgegengesetzt gerichteten Kräften

Addition zweier entgegengesetzt gerichteter Kräfte
Abb.
2
Addition zweier entgegengesetzt gerichteter Kräfte

Sind wie in Abb.2 die beiden Kräfte \(\vec {{F_1}} \) und \(\vec {{F_2}} \) genau entgegengesetzt gerichtet, so zeichnest du beide Kräfte übereinander. Dabei sollten sie links auf gleicher Linie anfangen. Die resultierende Kraft  \(\vec {F_{\rm {r}}}\) ist dann das fehlenden Stück des kürzeren Kraftvektors im vergleich mit dem längeren Vektor. Die resultierende Kraft zeigt dabei immer in Richtung des längeren Kraftvektors.

Rechnerisch kannst du hier vom Betrag der größeren Kraft den Betrag der kleineren Kraft abziehen und erhältst den Betrag der resultierenden Kraft. In unsrem Beispiel also \(F_2-F_1=F_{\rm r}\).

Kräfteparallelogramm zur Addition von Kräften mit unterschiedlicher Richtung

Addition zweier unterschiedlich gerichteter Kräfte
Abb.
3
Addition zweier unterschiedlich gerichteter Kräfte

Wirken wie in Abb. 3 auf einen Körper zwei Kräfte \(\vec {{F_1}} \) und \(\vec {{F_2}} \) mit gleichem Angriffspunkt aber in verschiedene Richtungen, also mit verschiedener Wirkungslinie, so ermittelst du die resultierende Kraft \(\vec {F_{\rm {r}}}\) wie in Abb. 3 mithilfe eines Kräfteparallelogramms oder eines Kräftedreiecks.

Aus geometrischer Sicht sind dabei im Parallelogramm die Richtungen und Längen der Seiten gegeben und du suchst die Länge und Richtung der Diagonalen, die die resultierende Kraft darstellt.

Im Kräftedreieck verschiebst du den Angriffspunkt von einem der beiden Kraftverktoren an das Ende des anderen Kraftvektors. Dabei veränderst lässt du die Richtung des Vektors unverändert. Der resultierende Kraftvektor ist dann die Verbindung vom Angriffspunkt des ersten Kraftvektors zur Spitze des zweiten Kraftvektors. Dieses Vorgehen funktioniert auch problemlos für mehr als zwei Kräfte. Du musst lediglich durch Parallelverschiebungen alle Kräfte aneinanderreihen. Das genaue Vorgehen zeigt dir die Simulation im Artikel Gesamtkraft mehrerer Kräfte.

Rechnerisch kannst du den Betrag und die Richtung der resultierenden in solchen Fällen erst später mithilfe von trigonometrischen Funktionen (Sinus, Kosinus, Tangens) berechnen.

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Greifen mehrere Kräfte an einem Punkt an, kannst du die resultierende Kraft \(F_{\rm{r}}\) zeichnerisch bestimmen.
  • Dazu verschiebst du den Vektor einer Kraft unter Beibehaltung von Betrag und Richtung so, dass der Vektor an der Spitze der anderen Kraft beginnt (Parallelverschiebung).
  • Die resultierende Kraft \(F_{\rm{r}}\) ist der Vektor vom Angriffspunkt der Kräfte bis zur Spitze des Vektors, den du zuletzt verschoben hast.

In der Simulation lässt du mehrere Kräfte (violett) an einem als punktförmig angenommenen Körper angreifen. Dabei änderst du den Betrag und die Richtung der Kräfte durch anklicken und ziehen beliebig. Durch klick auf "Gesamtkraft ermitteln" führt die Simulation die notwendigen Parallelverschiebungen der Kräfte durch, um die resultierende Kraft \(F_{\rm{r}}\) zu ermitteln. Die resultierende Kraft \(F_{\rm{r}}\) wird in rot dargestellt.

Zahl der Einzelkräfte
©  W. Fendt 1998
HTML5-Canvas nicht unterstützt!
1 Bestimmung der Gesamtkraft mehrerer Kräfte, die an einem (als punktförmig angenommenen) Körper angreifen

Bedienhinweise

In dem Auswahlfeld auf der linken Seite kannst du die Zahl der Einzelkräfte einstellen. Beträge und Richtungen dieser Einzelkräfte (violett) veränderst du, indem du mit gedrückter Maustaste bzw. Touchgeste die Pfeilspitzen an die gewünschten Stellen ziehst.

Wenn du wissen willst, welche resultierende Kraft \(F_{\rm{r}}\) insgesamt auf den Körper ausgeübt wird, musst du die einzelnen Kräfte mit einer sogenannten Vektoraddition zusammenführen. Sobald du auf den Schaltknopf "Gesamtkraft ermitteln" klickst, führt das Programm die dazu erforderlichen Parallelverschiebungen der Kraftpfeile au. Anschließend zeichnet die Simulation den Vektor für die resultierende Kraft oder Ersatzkraft in rot ein.

Mit dem unteren Schaltknopf kann man die Konstruktion wieder löschen.

Wir danken Herrn Walter Fendt für die Erlaubnis, diese HTML5/Javascript-Animation auf LEIFIphysik zu nutzen.

Erfahrungsgemäß bereitet die Kräftezerlegung mehr Schwierigkeiten als die Kräfteadditon. Mit den folgenen Vorübungen sollen diese Schwierigkeiten teilweise beseitigt werden.

Bei der Kräftezerlegung besteht aus geometrischer Sicht die Aufgabe, aus einer vorgegebenen Parallelogrammdiagonalen (am Beispiel der schiefen Ebene ist das die Gewichtskraft) und den Richtungen der Parallelogrammseiten (am Beispiel der schiefen Ebene sind das die Richtungen von Hangabtriebskraft und Normalenkomponente der Gewichtskraft) das Parallelogramm zu konstruieren. Die Richtungen der Parallelogrammseiten sind dabei durch das physikalische Problem vorgegeben. Wir unterscheiden drei verschiedene Fälle:

1 Wenn nur die Diagonale, aber keine Richtungen für die Seiten des Parallelogramms gegeben sind, gibt es unendlich viele Möglichkeiten für die Parallelogrammkonstruktion

geg.: Parallelogrammdiagonale (schwarz); ges.: Parallelogramm

Die Animation in Abb. 1 zeigt, dass nur die Vorgabe der Parallelogrammdiagonalen zu keinem eindeutig festgelegtem Parallelogramm führt.

Physikalisch bedeutet dies, dass eine Kraft auf beliebig viele Arten zerlegt werden kann, wenn die Richtungen der Komponenten, in welche die Kraft zerlegt werden soll, nicht bekannt sind.

2 Wenn nur die Diagonale und die Richtung einer Seite eines Parallelogramms gegeben sind, gibt es unendlich viele Möglichkeiten für die Parallelogrammkonstruktion

geg.: Parallelogrammdiagonale (schwarz) und die Richtung einer Parallelogrammseite (gestrichelte rote Linie); ges.: Parallelogramm

Die Animation in Abb. 2 zeigt, dass die Vorgabe der Parallelogrammdiagonalen und der Richtung nur einer Parallelogrammseite zu keinem eindeutig festgelegten Parallelogramm führt.

Physikalisch bedeutet dies, dass eine Kraft auf beliebig viele Arten zerlegt werden kann, wenn nur die Richtung einer Komponente bekannt ist.

3 Wenn die Diagonale und die Richtungen beider Seiten eines Parallelogramms gegeben sind, gibt es nur eine Möglichkeit für die Parallelogrammkonstruktion

geg.: Parallelogrammdiagonale (schwarz) und die Richtungen zweier Parallelogrammseiten (gestrichelte Linien); ges.: Parallelogramm

Die Animation in Abb. 3 zeigt, dass die Vorgabe der Parallelogrammdiagonalen und der Richtungen zweier Parallelogrammseiten in der Regel zu einem eindeutig festgelegten Parallelogramm führt.

Physikalisch bedeutet dies, dass eine Kraft in der Regel auf eindeutige Weise in Komponenten zerlegt werden kann, wenn die Richtungen der beiden Komponenten bekannt sind.

Nach diesen Übungen solltest du in der Parallelogramm-Konstruktion fit sein. In der Physik geht es nun noch darum, bei vorgegebener resultierender Kraft die dem Problem angepassten Richtungen der Komponenten zu finden. Hierzu ist es sinnvoll, möglichst viele Musteraufgaben zu probieren.

Verständnisaufgabe

Zeichne in den vier Beispielen das Parallelogramm, welches als Diagonale die schwarze Strecke hat und dessen Seiten parallel zu den rot gestrichelten Linien sind.

Lösung

Beispiel: Schiefe Ebene

Kräftezerlegung an der schiefen Ebene
Abb.
1
Kräftezerlegung an der schiefen Ebene

Bei physikalischen Problemen ist es oft sinnvoll, eine Kraft durch eine Kombination von zwei Kräften zu ersetzen, deren Richtungen vorgegeben bzw. durch ein physikalisches Problem bestimmt sind. So möchtest du z.B. bei einem Gegenstand auf der schiefen Ebene (siehe Abb. 1) aus der bekannten Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) eines Gegenstands die Hangabtriebskraft \(\vec F_{\rm{G,\parallel}}\) berechnen, die parallel zur schiefen Ebene verläuft, Auch die Kraft \(\vec F_{\rm{G,\bot}}\) senkrecht zur Ebene, die man als  Normalkomponente der Gewichtskraft bezeichnet, ist häufig von Interesse z.B. um Reibungskräfte zu bestimmen. 

Selbstverständlich müssen die parallel zur Ebene wirkende Kraft \(\vec F_{\rm{G,\parallel}}\) und die senkrecht dazu wirkende Kraft \(\vec F_{\rm{G,\bot}}\) zusammen gleichwertig zur gegebenen Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) des Gegenstandes sein. Die Vektorsumme von  \(\vec F_{\rm{G,\parallel}}\) und \(\vec F_{\rm{G,\bot}}\) muss also mit der Gewichtskraft übereinstimmen. Unter Beachtung dieser Voraussetzung kannst du eine Kraft in in zwei Komponenten zerlegen.

Hinweis: Normalkräfte oder Normalkomponenten einer Kraft stehen immer senkrecht zu einer bestimmten Ebene - daher der Begriff Normalkomponente der Gewichtskraft.

Geometrische Beschreibung des Problems

Rein geometrisch sind von einem Parallelogramm die Länge und die Richtung der Diagonalen gegeben. Zusätzlich sind die Richtungen der Seiten bekannt. Gesucht sind die Seitenlängen des Parallelogramms.

Übertragen auf das Beispiel der schiefen Ebene bedeutet dies:
Gegeben ist ein Körper der Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) auf einer schiefen Ebene. Gesucht sind die Komponenten der Gewichtskraft parallel zur schiefen Ebene, also die Hangabtriebskraft\(\vec F_{\rm{G,\parallel}}\), und senkrecht zur schiefen Ebene, also \(\vec F_{\rm{G,\bot}}\).

Zeichnerische Lösung des Problems

Um die beiden Teilkomponenten zeicherisch zu bestimmen, zeichnest du zwei Geraden, die zu den vorgegebenen Richtungen parallel sind und durch die Pfeilspitze des gegebenen Kraftvektors gehen. Auf diese Weise entsteht das so genannte Kräfteparallelogramm (siehe Abb. 2). Die gesuchten Beträge der Komponenten kannst du nun anhand der Seitenlängen dieses Parallelogramms ablesen bzw. abmessen.

Alternativ kannst du auch eine sog. Parallelverschiebung eines Kraftvektors durchführen. Du verschiebst du eine der beiden Kraftvektoren parallel entlang des anderen Kraftvektors, also ohne das sich seine dabei Richtung ändert. Du verschiebst den Kraftvektor so lange, bis der verschobene Kraftvektor gerade durch die Spitze der Kraftvektors der gegebenen Gewichtskraft verläuft. Aus dem sich so ergebenden Dreieck kannst du wieder die Beträge der Kräfte, die den Länge der Vektoren entsprechen, abmessen.

Simulation der Kräftezerlegung in zwei Komponenten

Die folgede Simulation zeigt das Vergehen bei der Zerlegung einer Kraft in zwei Komponenten. Auch gibt die Simulation die Beträge der beiden Kraftkomponenten an, die du durch Abmessen bestimmst. In späteren Schuljahren kannst du diese auch berechnen.

Betrag der gegebenen Kraft
N
Winkelgrößen
1. Winkel:°
2. Winkel:°
Beträge der Kraftkomponenten
1. Komponente:?N
2. Komponente:?N
©  W. Fendt 2003
HTML5-Canvas nicht unterstützt!
2 Zerlegung einer Kraft in zwei Komponenten

Bedienhinweise

Die gegebene Kraft und die Richtungen der gesuchten Kraftkomponenten lassen sich wahlweise mit der Maus (bei gedrückter Maustaste) oder mit Hilfe der drei Eingabefelder eingeben ("Enter"-Taste nicht vergessen!). Klickt man mit der Maus auf den oberen der beiden Schaltknöpfe ("Komponenten ermitteln"), so wird die beschriebene Konstruktion ausgeführt, und die Beträge der beiden Komponenten erscheinen auf der Schaltfläche. Mit dem unteren Schaltknopf lässt sich die Konstruktion wieder löschen.

Wir danken Herrn Walter Fendt für die Erlaubnis, diese HTML5/Javascript-Animation auf LEIFIphysik zu nutzen.

Aufgabe

Im Folgenden soll die zu zerlegende Kraft einen festen Betrag haben und der grüne und der violette Winkel sollen gleich groß sein. Versuche unter den gegebenen Randbedingungen einen Wert für die Winkel zu finden, so dass

a)die beiden Kraftkomponenten möglichst groß werden.

b)die beiden Kraftkomponenten möglichst klein werden.

Lösung

a)Die Beträge der Kraftkomponenten werden möglichst groß, wenn die beiden Winkel gegen \(90^\circ \) streben.

b)Haben die beiden Winkel den Wert \(0^\circ \), so ist die Summe der Beträge der beiden Kraftkomponenten minimal.

Das Wichtigste auf einen Blick

Überlegungen am rechtwinkligen Dreieck ermöglichen eine rechnerische Addition bzw. Zerlegung von Kräften - insbesondere auch an der schiefen Ebene.

Für den Betrag \(F_{\rm{G,\parallel}}\) der parallel zur Ebene wirkende Hangabtriebskraft gilt \(F_{\rm{G,\parallel}}=F_{\rm G}\cdot \frac{h}{l}=F_{\rm G}\cdot \sin(\alpha)\).

Für den Betrag \(F_{\rm{G,\bot}}\) der senkrecht zur Ebene wirkende Normalkomponente der Gewichtskraft gilt \(F_{\rm{G,\bot}}=F_{\rm G}\cdot \frac{b}{l}=F_{\rm G}\cdot \cos(\alpha)\).

Zwei ähnliche Dreiecke

Rechnerische Bestimmung der Kräfte an der schiefen Ebene
Abb.
1
Rechnerische Bestimmung der Kräfte an der schiefen Ebene

Um die Kräfte auf einen Köper auf einer schiefene Ebene rechnerisch zu bestimmen, hilft eine geometrische Betrachtung der Situation.

Die schiefe Ebene kannst du als rechtwinkliges Dreieck auffassen. Dabei ist die Länge der schiefen Ebene \(l\) die Hypotenuse. Bezogen auf den Neigungswinkel der Ebene mit der Winkelweite \(\alpha\) ist weiter die Höhe \(h\) die Gegenkathete und die Breite \(b\) die Ankathete.

Das rechtwinklige Dreieck der schiefen Ebene ist ähnlich zu dem rechtwinkligen Dreieck, welches die Kräfte \(\vec F_{\rm{G}}\), \(\vec F_{\rm{G,\bot}}\) und die parallel verschobene Kraft \(\vec F_{\rm{G,\parallel}}\) aufspannen. Hier ist die Gewichtskraft \(\vec{F_{\rm{G}}}\) die Hypotenuse. Bezogen auf den Winkel mit der Weite \(\alpha\) ist die Hangabtriebskraft \(\vec{F_{\rm{G,\parallel}}}\) die Gegenkathete und die Normalkomponente der Gewichtskraft \(\vec{F_{\rm{G,\bot}}}\) die Ankathete.

Berechnung der Kräfte über Längenverhältnisse

Da die beiden Dreiecke ähnlich sind, ist das Verhältnis von den entsprechenden Seitenlängen beider Dreiecke zueinander gleich. Da bei physikalischen Problemen häufig die Gewichtskraft des Körpers auf der schiefen Ebene bekannt ist, berechnest du die Hangabtriebskraft mit\[\frac{F_{\rm{G,\parallel}}}{F_{\rm{G}}}=\frac{h}{l}\Leftrightarrow F_{\rm{G,\parallel}}=F_{\rm{G}}\cdot \frac{h}{l}\quad (1)\]Die Normalkomponente der Gewichtskraft ist entsprechend\[\frac{F_{\rm{G,\bot}}}{F_{\rm{G}}}=\frac{b}{l}\Leftrightarrow F_{\rm{G,\bot}}=F_{\rm{G}}\cdot \frac{b}{l}\quad (2)\]Natürlich kannst du aus den Gleichungen \((1)\) und \((2)\) auch die Gewichtskraft des Körpers ausrechnen, wenn die Hangabtriebskraft oder die Normalkomponente der Gewichtskraft bekannt ist. Dazu musst du die Gleichung nach der Gewichtskraft \(F_{\rm{G}}\) auflösen.

Berechnung mit Sinus und Kosinus

Wenn die entsprechenden Maße der Ebene nicht bekannt sind, sondern lediglich die Weite \(\alpha\) des Neigungswinkels der schiefen Ebene gegeben ist, benötigst du die trignometrischen Funktionen Sinus und Kosinus, um die Beträge der Kräfte an der schiefen Ebene rechnerisch zu bestimmen. Im rechtwinkligen Kräftedreieck gilt für die Beträge der Kräfte\[\text{Hangabtriebskraft: }F_{\rm{G,\parallel}}=F_{\rm{G}}\cdot \sin(\alpha)\]\[\text{Normalkomponente der Gewichtskraft: }F_{\rm{G,\bot}}=F_{\rm{G}}\cdot \cos(\alpha)\]

Hinweis: Achte bei konkreten Rechnungen darauf, dass dein Taschenrechner auf "Degree" oder "DEG" steht. Zum Testen gib einfach \(\sin(30^{\circ})\) ein. Bei richtiger Einstellung ist \(\sin(30^{\circ})=0{,}5\).

Verständnisaufgabe

Ein Bierfass (Betrag der Gewichtskraft \(F_{\rm{G}}=300\,\rm{N}\)) rollt von einer \(1{,}0\,\rm{m}\) hohen Ladefläche über eine \(5{,}0\,\rm{m}\) lange Rampe hinunter auf den Boden.

Berechne den Betrag der Hangabtriebskraft, die dabei auf das Fass wirkt.

Lösungsvorschläge
Lösung

Allgemein gilt für den Betrag der Hangabtriebskraft an schiefen Ebene \(F_{\rm{G,\parallel}}=F_{\rm{G}}\cdot \frac{h}{l}\). Einsetzen der gegebenen Werte führt zu\[F_{\rm{G,\parallel}}=300\,\rm{N}\cdot \frac{1{,}0\,\rm{m}}{5{,}0\,\rm{m}}=60\,\rm{N}\]

Julia will ihren Schlitten (Betrag der Gewichtskraft \(F_{\rm{G}}=50\,\rm{N}\)) einen schneebedeckten Hang nach oben ziehen, den man als schiefe Ebene mit einem Neigungswinkel der Weite \(\alpha=30^{\circ}\) ansehen kann.

Berechne den Betrag der Hangabtriebskraft, die Julia beim Ziehen überwinden muss, und den Betrag der Normalkomponente der Gewichtskraft.

Lösung

Für den Betrag der Hangabtriebskraft an der schiefen Ebene gilt \(F_{\rm{G,\parallel}}=F_{\rm{G}}\cdot \sin(\alpha)\), also ist hier \(F_{\rm{G,\parallel}}=50\,\rm{N}\cdot \sin(30^{\circ})=25\,\rm{N}\).

Für den Betrag der Normalkomponente der Gewichtskraft gilt \(F_{\rm{G,\bot}}=F_{\rm{G}}\cdot \cos(\alpha)\), also ist hier \(F_{\rm{G,\parallel}}=50\,\rm{N}\cdot \cos(30^{\circ})=43\,\rm{N}\).

1 Gleichgewicht dreier Kräfte, die in verschiedene Richtungen zeigen

Auch drei oder mehr Kräfte, die nicht entgegengesetzt gerichtet sind, können im Kräftegleichgewicht sein. Die Animation in Abb. 1 zeigt diesen Fall: Bei \({F_3} = 3{,}0\,{\rm{N}}\) wurden unter den in der Animation verwendeten Richtungen die Werte \({F_1} = 2{,}9\,{\rm{N}}\) und \({F_2} = 2{,}2\,{\rm{N}}\) gemessen.

Die Kräfte \(\vec{F}_1\), \(\vec{F}_2\) und \(\vec{F}_3\) sind im Gleichgewicht (es tritt keine beschleunigte Bewegung auf).

Ebenso sind die Kräfte \(\vec{F}_3\) und \(\vec{F}_3 ^*\) im Gleichgewicht.

\(\vec{F}_3 ^*\) hat die gleiche Wirkung wie \(\vec{F}_1\) und \(\vec{F}_2\) zusammen. Man sagt auch \(\vec{F}_3 ^*\) ist Ersatzkraft der Komponenten \(\vec{F}_1\) und \(\vec{F}_2\).

Man erhält die Ersatzkraft durch vektorielle Addition der Komponenten (Kräfteparallelogramm!).

Druckversion