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Grundwissen

Kräfte an der schiefen Ebene (rechnerisch)

Das Wichtigste auf einen Blick

Überlegungen am rechtwinkligen Dreieck ermöglichen eine rechnerische Addition bzw. Zerlegung von Kräften - insbesondere auch an der schiefen Ebene.

Für den Betrag \(F_{\rm{G,\parallel}}\) der parallel zur Ebene wirkende Hangabtriebskraft gilt \(F_{\rm{G,\parallel}}=F_{\rm G}\cdot \frac{h}{l}=F_{\rm G}\cdot \sin(\alpha)\).

Für den Betrag \(F_{\rm{G,\bot}}\) der senkrecht zur Ebene wirkende Normalkomponente der Gewichtskraft gilt \(F_{\rm{G,\bot}}=F_{\rm G}\cdot \frac{b}{l}=F_{\rm G}\cdot \cos(\alpha)\).

Aufgaben Aufgaben

Zwei ähnliche Dreiecke

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Abb. 1 Rechnerische Bestimmung der Kräfte an der schiefen Ebene

Um die Kräfte auf einen Köper auf einer schiefene Ebene rechnerisch zu bestimmen, hilft eine geometrische Betrachtung der Situation.

Die schiefe Ebene kannst du als rechtwinkliges Dreieck auffassen. Dabei ist die Länge der schiefen Ebene \(l\) die Hypotenuse. Bezogen auf den Neigungswinkel der Ebene mit der Winkelweite \(\alpha\) ist weiter die Höhe \(h\) die Gegenkathete und die Breite \(b\) die Ankathete.

Das rechtwinklige Dreieck der schiefen Ebene ist ähnlich zu dem rechtwinkligen Dreieck, welches die Kräfte \(\vec F_{\rm{G}}\), \(\vec F_{\rm{G,\bot}}\) und die parallel verschobene Kraft \(\vec F_{\rm{G,\parallel}}\) aufspannen. Hier ist die Gewichtskraft \(\vec{F_{\rm{G}}}\) die Hypotenuse. Bezogen auf den Winkel mit der Weite \(\alpha\) ist die Hangabtriebskraft \(\vec{F_{\rm{G,\parallel}}}\) die Gegenkathete und die Normalkomponente der Gewichtskraft \(\vec{F_{\rm{G,\bot}}}\) die Ankathete.

Berechnung der Kräfte über Längenverhältnisse

Da die beiden Dreiecke ähnlich sind, ist das Verhältnis von den entsprechenden Seitenlängen beider Dreiecke zueinander gleich. Da bei physikalischen Problemen häufig die Gewichtskraft des Körpers auf der schiefen Ebene bekannt ist, berechnest du die Hangabtriebskraft mit\[\frac{F_{\rm{G,\parallel}}}{F_{\rm{G}}}=\frac{h}{l}\Leftrightarrow F_{\rm{G,\parallel}}=F_{\rm{G}}\cdot \frac{h}{l}\quad (1)\]Die Normalkomponente der Gewichtskraft ist entsprechend\[\frac{F_{\rm{G,\bot}}}{F_{\rm{G}}}=\frac{b}{l}\Leftrightarrow F_{\rm{G,\bot}}=F_{\rm{G}}\cdot \frac{b}{l}\quad (2)\]Natürlich kannst du aus den Gleichungen \((1)\) und \((2)\) auch die Gewichtskraft des Körpers ausrechnen, wenn die Hangabtriebskraft oder die Normalkomponente der Gewichtskraft bekannt ist. Dazu musst du die Gleichung nach der Gewichtskraft \(F_{\rm{G}}\) auflösen.

Berechnung mit Sinus und Kosinus

Wenn die entsprechenden Maße der Ebene nicht bekannt sind, sondern lediglich die Weite \(\alpha\) des Neigungswinkels der schiefen Ebene gegeben ist, benötigst du die trignometrischen Funktionen Sinus und Kosinus, um die Beträge der Kräfte an der schiefen Ebene rechnerisch zu bestimmen. Im rechtwinkligen Kräftedreieck gilt für die Beträge der Kräfte\[\text{Hangabtriebskraft: }F_{\rm{G,\parallel}}=F_{\rm{G}}\cdot \sin(\alpha)\]\[\text{Normalkomponente der Gewichtskraft: }F_{\rm{G,\bot}}=F_{\rm{G}}\cdot \cos(\alpha)\]

Hinweis: Achte bei konkreten Rechnungen darauf, dass dein Taschenrechner auf "Degree" oder "DEG" steht. Zum Testen gib einfach \(\sin(30^{\circ})\) ein. Bei richtiger Einstellung ist \(\sin(30^{\circ})=0{,}5\).

Aufgabe

Ein Bierfass (Betrag der Gewichtskraft \(F_{\rm{G}}=300\,\rm{N}\)) rollt von einer \(1{,}0\,\rm{m}\) hohen Ladefläche über eine \(5{,}0\,\rm{m}\) lange Rampe hinunter auf den Boden.

Berechne den Betrag der Hangabtriebskraft, die dabei auf das Fass wirkt.

Lösungsvorschläge

Lösung

Allgemein gilt für den Betrag der Hangabtriebskraft an schiefen Ebene \(F_{\rm{G,\parallel}}=F_{\rm{G}}\cdot \frac{h}{l}\). Einsetzen der gegebenen Werte führt zu\[F_{\rm{G,\parallel}}=300\,\rm{N}\cdot \frac{1{,}0\,\rm{m}}{5{,}0\,\rm{m}}=60\,\rm{N}\]

Julia will ihren Schlitten (Betrag der Gewichtskraft \(F_{\rm{G}}=50\,\rm{N}\)) einen schneebedeckten Hang nach oben ziehen, den man als schiefe Ebene mit einem Neigungswinkel der Weite \(\alpha=30^{\circ}\) ansehen kann.

Berechne den Betrag der Hangabtriebskraft, die Julia beim Ziehen überwinden muss, und den Betrag der Normalkomponente der Gewichtskraft.

Lösung

Für den Betrag der Hangabtriebskraft an der schiefen Ebene gilt \(F_{\rm{G,\parallel}}=F_{\rm{G}}\cdot \sin(\alpha)\), also ist hier \(F_{\rm{G,\parallel}}=50\,\rm{N}\cdot \sin(30^{\circ})=25\,\rm{N}\).

Für den Betrag der Normalkomponente der Gewichtskraft gilt \(F_{\rm{G,\bot}}=F_{\rm{G}}\cdot \cos(\alpha)\), also ist hier \(F_{\rm{G,\parallel}}=50\,\rm{N}\cdot \cos(30^{\circ})=43\,\rm{N}\).

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Kräfte an der schiefen Ebene (rechnerisch)

Übungsaufgaben