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Grundwissen

Zerlegung einer Kraft in zwei Komponenten

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Beispiel: Schiefe Ebene

kraefte_an_der_schiefen_ebene_zeichnerisch4.svg Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Kräftezerlegung an der schiefen Ebene

Bei physikalischen Problemen ist es oft sinnvoll, eine Kraft durch eine Kombination von zwei Kräften zu ersetzen, deren Richtungen vorgegeben bzw. durch ein physikalisches Problem bestimmt sind. So möchtest du z.B. bei einem Gegenstand auf der schiefen Ebene (siehe Abb. 1) aus der bekannten Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) eines Gegenstands die Hangabtriebskraft \(\vec F_{\rm{G,\parallel}}\) berechnen, die parallel zur schiefen Ebene verläuft, Auch die Kraft \(\vec F_{\rm{G,\bot}}\) senkrecht zur Ebene, die man als  Normalkomponente der Gewichtskraft bezeichnet, ist häufig von Interesse z.B. um Reibungskräfte zu bestimmen. 

Selbstverständlich müssen die parallel zur Ebene wirkende Kraft \(\vec F_{\rm{G,\parallel}}\) und die senkrecht dazu wirkende Kraft \(\vec F_{\rm{G,\bot}}\) zusammen gleichwertig zur gegebenen Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) des Gegenstandes sein. Die Vektorsumme von  \(\vec F_{\rm{G,\parallel}}\) und \(\vec F_{\rm{G,\bot}}\) muss also mit der Gewichtskraft übereinstimmen. Unter Beachtung dieser Voraussetzung kannst du eine Kraft in in zwei Komponenten zerlegen.

Hinweis: Normalkräfte oder Normalkomponenten einer Kraft stehen immer senkrecht zu einer bestimmten Ebene - daher der Begriff Normalkomponente der Gewichtskraft.

Geometrische Beschreibung des Problems

Rein geometrisch sind von einem Parallelogramm die Länge und die Richtung der Diagonalen gegeben. Zusätzlich sind die Richtungen der Seiten bekannt. Gesucht sind die Seitenlängen des Parallelogramms.

Übertragen auf das Beispiel der schiefen Ebene bedeutet dies:
Gegeben ist ein Körper der Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) auf einer schiefen Ebene. Gesucht sind die Komponenten der Gewichtskraft parallel zur schiefen Ebene, also die Hangabtriebskraft\(\vec F_{\rm{G,\parallel}}\), und senkrecht zur schiefen Ebene, also \(\vec F_{\rm{G,\bot}}\).

Zeichnerische Lösung des Problems

Um die beiden Teilkomponenten zeicherisch zu bestimmen, zeichnest du zwei Geraden, die zu den vorgegebenen Richtungen parallel sind und durch die Pfeilspitze des gegebenen Kraftvektors gehen. Auf diese Weise entsteht das so genannte Kräfteparallelogramm (siehe Abb. 2). Die gesuchten Beträge der Komponenten kannst du nun anhand der Seitenlängen dieses Parallelogramms ablesen bzw. abmessen.

Alternativ kannst du auch eine sog. Parallelverschiebung eines Kraftvektors durchführen. Du verschiebst du eine der beiden Kraftvektoren parallel entlang des anderen Kraftvektors, also ohne das sich seine dabei Richtung ändert. Du verschiebst den Kraftvektor so lange, bis der verschobene Kraftvektor gerade durch die Spitze der Kraftvektors der gegebenen Gewichtskraft verläuft. Aus dem sich so ergebenden Dreieck kannst du wieder die Beträge der Kräfte, die den Länge der Vektoren entsprechen, abmessen.

Simulation der Kräftezerlegung in zwei Komponenten

Die folgede Simulation zeigt das Vergehen bei der Zerlegung einer Kraft in zwei Komponenten. Auch gibt die Simulation die Beträge der beiden Kraftkomponenten an, die du durch Abmessen bestimmst. In späteren Schuljahren kannst du diese auch berechnen.

Betrag der gegebenen Kraft
N
Winkelgrößen
1. Winkel:°
2. Winkel:°
Beträge der Kraftkomponenten
1. Komponente:?N
2. Komponente:?N
©  W. Fendt 2003
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Abb. 2 Zerlegung einer Kraft in zwei Komponenten

Bedienhinweise

Die gegebene Kraft und die Richtungen der gesuchten Kraftkomponenten lassen sich wahlweise mit der Maus (bei gedrückter Maustaste) oder mit Hilfe der drei Eingabefelder eingeben ("Enter"-Taste nicht vergessen!). Klickt man mit der Maus auf den oberen der beiden Schaltknöpfe ("Komponenten ermitteln"), so wird die beschriebene Konstruktion ausgeführt, und die Beträge der beiden Komponenten erscheinen auf der Schaltfläche. Mit dem unteren Schaltknopf lässt sich die Konstruktion wieder löschen.

Wir danken Herrn Walter Fendt für die Erlaubnis, diese HTML5/Javascript-Animation auf LEIFIphysik zu nutzen.

Aufgabe

Im Folgenden soll die zu zerlegende Kraft einen festen Betrag haben und der grüne und der violette Winkel sollen gleich groß sein. Versuche unter den gegebenen Randbedingungen einen Wert für die Winkel zu finden, so dass

a)die beiden Kraftkomponenten möglichst groß werden.

b)die beiden Kraftkomponenten möglichst klein werden.

Lösung

a)Die Beträge der Kraftkomponenten werden möglichst groß, wenn die beiden Winkel gegen \(90^\circ \) streben.

b)Haben die beiden Winkel den Wert \(0^\circ \), so ist die Summe der Beträge der beiden Kraftkomponenten minimal.