Befindet sich ein Körper der Masse \(m\) in einer Höhe \(h\) über der Erdoberfläche, dann gilt für die potenzielle Energie \(E_{\rm{pot}}\) des Systems Erde-Körper\[{E_{{\rm{pot}}}}\left( {{r_{\rm{E}}} + h} \right) = - G \cdot m \cdot {M_{\rm{E}}} \cdot \frac{1}{{{r_{\rm{E}}} + h}}\]Einsetzen der gegebenen Werte \(m=500\,\rm{kg}\) und \(h=400\,\rm{km}\) ergibt\[{E_{{\rm{pot}}}}\left( {{r_{\rm{E}}}+400\,{\rm{km}}} \right)=-6{,}674 \cdot {10^{-11}}\,\frac{{{{\rm{m}}^3}}}{{{\rm{kg}}\,{{\rm{s}}^2}}} \cdot 500\,{\rm{kg}} \cdot 5{,}972 \cdot {10^{24}}\,{\rm{kg}} \cdot \frac{1}{{6371 \cdot {{10}^3}\,{\rm{m}} + 400 \cdot {{10}^3}\,{\rm{m}}}} = - 2{,}94 \cdot {10^{10}}\,{\rm{J}}\]
b)
Wenn sich der Satellit auf einer Kreisbahn um die Erde befindet, wirkt die Gravitationskraft \({\vec F}_{\rm{G}}\) als Zentripetalkraft \({\vec F}_{\rm{ZP}}\). Somit gilt\[\begin{eqnarray}{F_{{\rm{ZP}}}} &=& {F_{\rm{G}}}\\m \cdot {\omega ^2} \cdot \left( {{r_{\rm{E}}} + h} \right) &=& G \cdot \frac{{m \cdot {M_{\rm{E}}}}}{{{{\left( {{r_{\rm{E}}} + h} \right)}^2}}}\\{\omega ^2} &=& G \cdot \frac{{{M_{\rm{E}}}}}{{{{\left( {{r_{\rm{E}}} + h} \right)}^3}}}\\\omega &=& \sqrt {G \cdot \frac{{{M_{\rm{E}}}}}{{{{\left( {{r_{\rm{E}}} + h} \right)}^3}}}} \end{eqnarray}\]Einsetzen der gegebenen Werte \(m=500\,\rm{kg}\) und \(h=400\,\rm{km}\) ergibt für die Winkelgeschwindigkeit\[\omega = \sqrt {6{,}674 \cdot {{10}^{ - 11}}\frac{{{{\rm{m}}^3}}}{{{\rm{kg}}\,{{\rm{s}}^2}}} \cdot \frac{{5{,}972 \cdot {{10}^{24}}\,{\rm{kg}}}}{{{{\left( {6371 \cdot {{10}^3}\,{\rm{m}} + 400 \cdot {{10}^3}\,{\rm{m}}} \right)}^3}}}} = 1{,}13 \cdot {10^{ - 3}}\,\frac{1}{{\rm{s}}}\]Damit ergibt sich für die Bahngeschwindigkeit\[v = \omega \cdot r \Rightarrow v = 1{,}13 \cdot {10^{ - 3}}\,\frac{1}{{\rm{s}}} \cdot \left( {6371 \cdot {{10}^3}\,{\rm{m}} + 400 \cdot {{10}^3}\,{\rm{m}}} \right) = 7{,}67 \cdot {10^3}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 7{,}67\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{s}}}\]
c)
Mit der Bahngeschwindigkeit aus Aufgabenteil b) erhalten wir für die kinetische Energie\[{E_{{\rm{kin}}}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2} \Rightarrow {E_{{\rm{kin}}}} = \frac{1}{2} \cdot 500\,{\rm{kg}} \cdot {\left( {7{,}67 \cdot {{10}^3}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)^2} = 1{,}47 \cdot {10^{10}}\,{\rm{J}}\]
