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Grundwissen

Raketenphysik

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Der Antrieb von Raketen beruht auf dem Rückstoßprinzip beim Ausströmen des Treibstoffs aus der Rakete.
  • Unter bestimmten Annahmen kann man die Geschwindigkeit und die Höhe der Rakete nach dem Ausströmen des gesamten Treibstoffs berechnen.
  • Beide Größen sind unter anderem von der Ausströmgeschwindigkeit des Treibstoffs und dem Massenverhältnis von Rakete mit zu Rakete ohne Treibstoff abhängig.
Aufgaben Aufgaben

Hinweis: Im folgenden Artikel gehen die Betrachtungen teilweise deutlich über den Stoff der 10. Klasse hinaus. Diese Seite ist also nur für physikalisch sehr aufgeschlossene Schülerinnen und Schüler mit Ausdauer und guten Mathematikkenntnissen gedacht, die deutlich über den verbindlichen Stoff hinausschauen wollen. Wenn du nicht alles verstehst, brauchst du also kein schlechtes Gewissen zu haben. Für "Experten" ist dieser Artikel aber eine Herausforderung.

Raketenprinzip

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Abb. 1 Prinzipieller Aufbau einer Rakete

Für alle Arten der Fortbewegung ist das Wechselwirkungsprinzip "action gegengleich reactio" von Isaac NEWTON (1642 - 1726) von entscheidender Bedeutung: Ein Körper stößt sich von einem anderen Körper ab, und der andere Körper setzt den einen Körper in Bewegung.

Beim Start zu einem \(100\,\rm{m}\)-Lauf übt der Läufer eine Kraft auf den Startblock aus (actio) und der Startblock seinerseits eine Kraft auf den Läufer (reactio). Man könnte etwas kürzer sagen: "Der Läufer drückt sich vom Startblock ab".

Die Frage ist nun, von welcher Materie sich eine Rakete im Weltall "abdrücken" soll. Die Antwort lautet: vom Treibstoff, den sie selbst mit sich führt. Die Treibstoffgase werden mit hoher Geschwindigkeit ausgestoßen. Die Rakete (genauer der Raketenmotor) übt eine Kraft auf die Gasteilchen aus (actio) und die Gasteilchen ihrerseits eine Kraft auf die Rakete (reactio). Man könnte vereinfacht sagen: "Die Rakete drückt sich vom ausgestoßenen Treibstoffgas ab".

Raketengleichung von ZIOLKOWSKI

Ziel der folgenden Überlegungen ist, aus den technischen Daten einer Rakete berechnen zu können, welche Geschwindigkeit die Rakete am Ende der Treibstoffverbrennung besitzen wird; die Gleichung, die wir als Ergebnis erhalten, nennt man nach ihrem "Entdecker", dem russischen Physiker Konstantin Eduardowitsch ZIOLKOWSKI (1857 - 1935) die Raketengleichung von ZIOLKOWSKI. Aus der hergeleiteten Formel lässt sich schließlich auch die Höhe berechnen, in der sich die Rakete nach dem Ausbrennen der Triebwerke befindet.

Herleitung der Bewegungsgleichung

Obwohl eine Rakete ihren Treibstoff kontinuierlich ausstößt, betrachten wir zur Herleitung der Formel eine Rakete, die in kleinen Zeitspannen \(\Delta t\) kleine Treibstoffmengen \(\Delta m\)1 ausstößt; wir werden später unser Vorgehen genauer rechtfertigen, es führt aber zum exakten Ergebnis.

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Abb. 2 Massen und Geschwindigkeiten von Rakete und ausgestoßenem Treibstoff zu den Zeitpunkten \(t\) und \(t+\Delta t\)

Der Vorgang eines solchen portionsweisen Treibstoffausstoßes soll von einem ruhenden Beobachter aus beschrieben werden und ist in Abb. 2 dargestellt. Der Beobachter sieht zum Zeitpunkt \(t\) die Rakete mit der Masse \(m\) mit der Geschwindigkeit \(v\) nach oben fliegen (wir rechnen nach oben  gerichtete Geschwindigkeiten hier positiv). In der nun folgenden Zeitspanne \(\Delta t\) stößt die Rakete die kleine Menge \(\Delta m\)1 Treibstoff entgegen ihrer Bewegungsrichtung aus, wodurch sich die Masse der Rakete verringert, die Geschwindigkeit der Rakete dagegen zunimmt. Am Ende dieser Zeitspanne, d.h. zum Zeitpunkt \(t + \Delta t\), sieht der Beobachter nun die Rakete mit der Masse \(m - \Delta m\) mit der Geschwindigkeit  \(v+ \Delta v\) nach oben fliegen, gleichzeitig aber auch den Treibstoff mit der Masse \(\Delta m\) mit der Geschwindigkeit \(u\) nach unten fliegen (wir rechnen diese Geschwindigkeit negativ).

Für die durch den Treibstoffausstoß verursachte Impulsänderung \(\Delta p\) gilt nun\[\begin{eqnarray}\Delta p &=& p(t + \Delta t) - p(t)\\ &=& \left[ {\left( {m - \Delta m} \right) \cdot \left( {v + \Delta v} \right) + \Delta m \cdot u } \right] - m \cdot v\\ &=& \left[ m \cdot v + m \cdot \Delta v - \Delta m \cdot v - \Delta m \cdot \Delta v + \Delta m \cdot u \right] - m \cdot v\\ &=& m \cdot v + m \cdot \Delta v - \Delta m \cdot v - \Delta m \cdot \Delta v + \Delta m \cdot u - m \cdot v\\ &=& m \cdot \Delta v - \Delta m \cdot v - \Delta m \cdot \Delta v + \Delta m \cdot u\\ &=& m \cdot \Delta v - \Delta m \cdot \underbrace {\left( {v + \Delta v - u} \right)}_{{=: v_{{\rm{rel}}}}} \quad(1)\end{eqnarray}\]Die Größe \(v_{\rm{rel}} = {v + \Delta v - u}\) bezeichnet man als relative Austrittsgeschwindigkeit oder Ausströmgeschwindigkeit; sie beschreibt, mit welcher Geschwindigkeit die Rakete den Treibstoff ausstößt.

Wir dividieren nun obiges \(\Delta p\) durch \(\Delta t\) und erhalten \[\frac{{\Delta p}}{{\Delta t}} = \frac{{m \cdot \Delta v - \Delta m \cdot {v_{{\rm{rel}}}}}}{{\Delta t}} = m \cdot \frac{{\Delta v}}{{\Delta t}} - \frac{{\Delta m}}{{\Delta t}} \cdot {v_{{\rm{rel}}}}\]Lässt man nun \(\Delta t\) immer kleiner werden (und geht man somit vom portionsweisen Ausstoßen des Treibstoffs zum kontinuierlichen Ausstoß über), so kann man in obiger Beziehung die Differenzenquotienten \(\frac{{\Delta v}}{{\Delta t}}\) und \(\frac{{\Delta m}}{{\Delta t}}\) durch die Differentialquotienten \(\frac{{dv}}{{dt}}\) und \(\frac{{dm}}{{dt}}\) ersetzen. Wir erhalten\[\frac{{dp}}{{dt}} = m \cdot \frac{{dv}}{{dt}} - \underbrace {\frac{{dm}}{{dt}}}_{ = : \mu } \cdot {v_{{\rm{rel}}}}\]Die Größe \(\mu = \frac{{dm}}{{dt}}\)1 bezeichnet man als Massenstrom oder Durchsatz; sie beschreibt, wieviel Treibstoffmasse pro Zeiteinheit von der Rakete ausgestoßen wird.

Wirkt nun auf die Rakete eine äußere Kraft \(F_{\rm{A}}\) wie z.B. die Gravitationskraft oder der Luftwiderstand, so gilt nach der allgemeinen (und klassischen) Formulierung des 2. Axioms von NEWTON \(F_{\rm{A}} = \frac{{dp}}{{dt}}\). Damit erhalten wir\[{F_{\rm{A}}} = \frac{{dp}}{{dt}} \Leftrightarrow {F_{\rm{A}}} = m \cdot \frac{{dv}}{{dt}} - \mu  \cdot {v_{{\rm{rel}}}} \Leftrightarrow m \cdot \frac{{dv}}{{dt}} = {F_{\rm{A}}} + \underbrace {\mu  \cdot {v_{{\rm{rel}}}}}_{ = :{F_{{\rm{Schub}}}}} \Leftrightarrow \frac{{dv}}{{dt}} = \frac{{{F_{\rm{A}}}}}{m} + \frac{\mu }{m} \cdot {v_{{\rm{rel}}}}\]Die Größe \(F_{{\rm{Schub}}} = \mu  \cdot {v_{{\rm{rel}}}}\) bezeichnet man als Schubkraft. Mit \(\frac{{dv}}{{dt}} = a\) erhalten wir schließlich\[a = \frac{{{F_{\rm{A}}}}}{m} + \frac{\mu }{m} \cdot {v_{{\rm{rel}}}}\]Dies ist die Bewegungsgleichung der Rakete. Beachte, dass die die Beschleunigung \(a=a(t)\) im allgemeinen nicht konstant ist, weil die rechte Seite dieser Gleichung nicht konstant ist: durch den Treibstoffausstoß ändert sich auf jeden Fall die Masse \(m = m(t)\) mit der Zeit. Aber auch die Ausströmgeschwindigkeit \({v_{{\rm{rel}}}}\) und der Massenstrom \(\mu\) können sich mit der Zeit ändern. Schließlich kann sich auch die äußere Kraft \(F_{\rm{A}}\) z.B. im Fall der Gravitationskraft mit der Höhe oder der Luftwiderstand mit der Höhe und der Geschwindigkeit ändern. Berücksichtigt man diese möglichen Änderungen, so lautet die Bewegungsgleichung\[a(t) = \frac{{{F_{\rm{A}}}(v;h;t)}}{m(t)} + \frac{\mu(t) }{m(t)} \cdot {v_{{\rm{rel}}}(t)}\quad (*)\]

Um Aussagen über die Brennschlussgeschwindigkeit \({v_{\rm{E}}} = v({t_{\rm{E}}})\) und die erreichbare Höhe \({h_{\rm{E}}} = h({t_{\rm{E}}})\) zum Zeitpunkt \({t_{\rm{E}}}\) - der sogenannten Brennschlusszeit - machen zu können, muss man die Bewegungsgleichung der Rakete integrieren. Dieses Verfahren lernt man üblicherweise erst im Mathematikunterricht der Oberstufe.

1 Da die Masse der Rakete im Lauf der Zeit abnimmt, sind die Größen \(\Delta m\), \(\frac{\Delta m}{\Delta t}\) und \(\frac{dm}{dt}\) strenggenommen negativ. Auch die Größe \(\mu\) wird in der Literatur oft durch \(\mu = -\frac{dm}{dt}\) definiert. Da dann aber die Masse der Rakete nach dem Treibstoffausstoß mit \(m+\Delta m\) und der ausgestoßene Treibstoff mit \(-\Delta m\) bezeichnet werden müsste (was alles irgendwie komisch aussieht), rechnen wir die oben genannten Größen positiv. Das Ergebnis unserer Betrachtungen ist trotzdem vollkommen korrekt.

Integration der Bewegungsgleichung

Um aus der Bewegungsgleichung \((*)\) die Geschwindigkeit \(v(t)\) und die Höhe \(h(t)\) in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) und damit die Brennschlussgeschwindigkeit \({v_{\rm{E}}}\) und die erreichbare Höhe \({h_{\rm{E}}}\) der Rakete am Ende der Brennphase der Triebwerke  bestimmen zu können führen wir zuerst einige Bezeichnungen ein.

Tab. 1 Bezeichnungen zur Integration der Bewegungsgleichung der Rakete
  Zeit Masse Geschwindigkeit Höhe
Anfang der Brennphase \(0\) \(m_{\rm{A}}\) \(0\) \(0\)
Brennphase \(t\) \(m(t)\) \(v(t)\) \(h(t)\)
Ende der Brennphase \(t_{\rm{E}}\) \(m_{\rm{E}}\) \(v_{\rm{E}}\) \(h_{\rm{E}}\)

Um die Bewegungsgleichung integrieren zu können müssen wir einige Annahmen machen:

  • Die Austrittsgeschwindigkeit \(v_{\rm{rel}}\) des Treibstoffs ist während der gesamten Brennphase der Triebwerke konstant.
  • Der Treibstoff wird in der Brennphase \(0 \le t \le {t_{\rm{E}}}\) vollständig ausgestoßen.
  • Der Massenstrom \(\mu = \frac{{dm}}{{dt}}\) des ausgestoßenen Treibstoffs ist während der gesamten Brennphase der Triebwerke konstant.

Aus den beiden letzten Annahmen folgt für den Massenstrom\[\mu  =  \frac{{dm}}{{dt}} = \frac{{{m_{\rm{A}}} - {m_{{\rm{E}}}}}}{{{t_{{\rm{E}}}}}}\]und damit für die Masse \(m(t)\)\[m(t) = {m_{\rm{A}}} - \frac{{{m_{\rm{A}}} - {m_{{\rm{E}}}}}}{{{t_{\rm{E}}}}} \cdot t = {m_{\rm{A}}} - \mu  \cdot t\]Beachte hierzu, dass \(m(0) = {m_{\rm{A}}}\) und \(m({t_{{\rm{E}}}}) = {m_{{\rm{E}}}}\).

Wir machen weiter die (unrealistische) Annahme, dass keine äußeren Kräfte auf die Rakete wirken, d.h. in der Bewegungsgleichung \((*)\) ist \(F_{\rm{A}} = 0\). Die folgenden Rechnungen können leicht auf den Fall einer konstanten Gravitationskraft \(F_{\rm{A}} = - m \cdot g\) erweitert werden; die Ergebnisse entsprechender Rechnungen geben wir unten an.

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Abb. 3 \(t\)-\(a\)-Diagramm der Bewegung einer Rakete mit \(v_{\rm{rel}}=2\,\rm{\frac{km}{s}}\), \(m_{\rm{A}}=13\,\rm{t} \), \(m_{\rm{E}}=4\,\rm{t} \) und \(t_{\rm{E}}=70\,\rm{s}\)

Somit lautet die Bewegungsgleichung \((*)\)\[a(t) = {v_{{\rm{rel}}}} \cdot \frac{\mu }{{{m_{\rm{A}}} - \mu  \cdot t}}\]bzw. unter Berücksichtigung der konstanten Gravitationskraft\[a(t) = {v_{{\rm{rel}}}} \cdot \frac{\mu }{{{m_{\rm{A}}} - \mu  \cdot t}} - g\]Abb. 3 zeigt das \(t\)-\(a\)-Diagramm der Bewegung einer Rakete mit \(v_{\rm{rel}}=2\,\rm{\frac{km}{s}}\), \(m_{\rm{A}}=13\,\rm{t} \), \(m_{\rm{E}}=4\,\rm{t} \) und \(t_{\rm{E}}=70\,\rm{s}\) sowohl ohne als auch mit Berücksichtigung einer konstanten Gravitationskraft mit \(g=9{,}81\,\rm{\frac{m}{s^2}}\).

Um den zeitlichen Verlauf \(v(t)\) der Geschwindigkeit zu erhalten müssen wir folgendes Integral berechnen:\[\begin{eqnarray}v(t) &=& \int\limits_0^t {a(t)dt} \\ &=& \int\limits_0^t {{v_{{\rm{rel}}}} \cdot \frac{\mu }{{{m_{\rm{A}}} - \mu  \cdot t}}dt} \\ &=& {v_{{\rm{rel}}}} \cdot \mu  \cdot \int\limits_0^t {\frac{1}{{{m_{\rm{A}}} - \mu  \cdot t}}dt} \end{eqnarray}\]Mit der Substitution \({m_{\rm{A}}} - \mu  \cdot t = :s\) und damit \(dt =  - \frac{1}{\mu } \cdot ds\) ergibt sich\[\int {\frac{1}{{{m_{\rm{A}}} - \mu  \cdot t}}dt} \underbrace  = _{{\rm{Subst.}}}\int {\frac{1}{s}\left( { - \frac{1}{\mu }ds} \right)}  =  - \frac{1}{\mu } \cdot \int {\frac{1}{s}ds}  =  - \frac{1}{\mu } \cdot \ln \left( s \right) + C\underbrace  = _{{\rm{Resubst.}}} - \frac{1}{\mu } \cdot \ln \left( {{m_{\rm{A}}} - \mu  \cdot t} \right) + C\]

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Abb. 4 \(t\)-\(v\)-Diagramm der Bewegung einer Rakete mit \(v_{\rm{rel}}=2\,\rm{\frac{km}{s}}\), \(m_{\rm{A}}=13\,\rm{t} \), \(m_{\rm{E}}=4\,\rm{t} \) und \(t_{\rm{E}}=70\,\rm{s}\)

Damit ergibt sich für die Geschwindigkeit \(v(t)\)\[\begin{eqnarray}v(t) &=& {v_{{\rm{rel}}}} \cdot \mu  \cdot \left[ { - \frac{1}{\mu } \cdot \ln \left( {{m_{\rm{A}}} - \mu  \cdot t} \right) + C} \right]_0^t\\ &=&  - {v_{{\rm{rel}}}} \cdot \left[ {\ln \left( {{m_{\rm{A}}} - \mu  \cdot t} \right) - \ln \left( {{m_{\rm{A}}}} \right)} \right]\\ &=&  - {v_{{\rm{rel}}}} \cdot \ln \left( {\frac{{{m_{\rm{A}}} - \mu  \cdot t}}{{{m_{\rm{A}}}}}} \right)\\ &=& {v_{{\rm{rel}}}} \cdot \ln \left( {\frac{{{m_{\rm{A}}}}}{{{m_{\rm{A}}} - \mu  \cdot t}}} \right)\end{eqnarray}\]und hiermit für die Geschwindigkeit \(v_{\rm{E}}\) am Ende der Brennphase\[{v_{\rm{E}}} = v({t_{\rm{E}}}) = {v_{{\rm{rel}}}} \cdot \ln \left( {\frac{{{m_{\rm{A}}}}}{{{m_{\rm{E}}}}}} \right)\]Für den Fall einer konstanten Gravitationskraft ergibt sich \(v(t)={v_{{\rm{rel}}}} \cdot \ln \left( {\frac{{{m_{\rm{A}}}}}{{{m_{\rm{A}}} - \mu  \cdot t}}} \right)-g \cdot t\) und \({v_{\rm{E}}} = {v_{{\rm{rel}}}} \cdot \ln \left( {\frac{{{m_{\rm{A}}}}}{{{m_{\rm{E}}}}}} \right)-g \cdot t_{\rm{E}}\).

Abb. 4 zeigt das \(t\)-\(v\)-Diagramm der Bewegung einer Rakete mit \(v_{\rm{rel}}=2\,\rm{\frac{km}{s}}\), \(m_{\rm{A}}=13\,\rm{t} \), \(m_{\rm{E}}=4\,\rm{t} \) und \(t_{\rm{E}}=70\,\rm{s}\) sowohl ohne als auch mit Berücksichtigung einer konstanten Gravitationskraft mit \(g=9{,}81\,\rm{\frac{m}{s^2}}\).

Um den zeitlichen Verlauf \(h(t)\) der Höhe zu erhalten müssen wir folgendes Integral berechnen:\[\begin{eqnarray}h(t) &=& \int\limits_0^t {v(t)dt} \\ &=& \int\limits_0^t {{v_{{\rm{rel}}}} \cdot \ln \left( {\frac{{{m_{\rm{A}}}}}{{{m_{\rm{A}}} - \mu  \cdot t}}} \right)dt} \end{eqnarray}\]Eine Umformung des Integranden erleichtert uns später die Arbeit:\[{v_{{\rm{rel}}}} \cdot \ln \left( {\frac{{{m_{\rm{A}}}}}{{{m_{\rm{A}}} - \mu  \cdot t}}} \right) =  - {v_{{\rm{rel}}}} \cdot \ln \left( {\frac{{{m_{\rm{A}}} - \mu  \cdot t}}{{{m_{\rm{A}}}}}} \right) =  - {v_{{\rm{rel}}}} \cdot \ln \left( {1 - \frac{{\mu  \cdot t}}{{{m_{\rm{A}}}}}} \right)\]Damit erhalten wir\[\begin{eqnarray}h(t) &=& \int\limits_0^t { - {v_{{\rm{rel}}}} \cdot \ln \left( {1 - \frac{{\mu  \cdot t}}{{{m_{\rm{A}}}}}} \right)dt} \\ &=&  - {v_{{\rm{rel}}}} \cdot \int\limits_0^t {\ln \left( {1 - \frac{{\mu  \cdot t}}{{{m_{\rm{A}}}}}} \right)dt} \end{eqnarray}\]Mit der Substitution \(1 - \frac{{\mu  \cdot t}}{{{m_{\rm{A}}}}} = :s\) und damit \(dt =  - \frac{{{m_{\rm{A}}}}}{\mu } \cdot ds\) ergibt sich\[\int {\ln \left( {1 - \frac{{\mu  \cdot t}}{{{m_{\rm{A}}}}}} \right)dt} \underbrace  = _{{\rm{Subst.}}}\int {\ln \left( s \right)\left( { - \frac{{{m_{\rm{A}}}}}{\mu }ds} \right)}  =  - \frac{{{m_{\rm{A}}}}}{\mu } \cdot \int {\ln \left( s \right)ds}  =  - \frac{{{m_{\rm{A}}}}}{\mu } \cdot \left( {s \cdot \left( {\ln \left( s \right) - 1} \right)} \right) + C\underbrace  = _{{\rm{Resubst.}}} - \frac{{{m_{\rm{A}}}}}{\mu } \cdot \left( {\left( {1 - \frac{{\mu  \cdot t}}{{{m_{\rm{A}}}}}} \right)\left( {\ln \left( {1 - \frac{{\mu  \cdot t}}{{{m_{\rm{A}}}}}} \right) - 1} \right)} \right) + C\]

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Abb. 5 \(t\)-\(h\)-Diagramm der Bewegung einer Rakete mit \(v_{\rm{rel}}=2\,\rm{\frac{km}{s}}\), \(m_{\rm{A}}=13\,\rm{t} \), \(m_{\rm{E}}=4\,\rm{t} \) und \(t_{\rm{E}}=70\,\rm{s}\)

Damit ergibt sich für die Höhe \(h(t)\)\[\begin{eqnarray}h(t) &=&  - {v_{{\rm{rel}}}} \cdot \left[ { - \frac{{{m_{\rm{A}}}}}{\mu } \cdot \left( {\left( {1 - \frac{{\mu  \cdot t}}{{{m_{\rm{A}}}}}} \right)\left( {\ln \left( {1 - \frac{{\mu  \cdot t}}{{{m_{\rm{A}}}}}} \right) - 1} \right)} \right) + C} \right]_0^t\\ &=& \frac{{{v_{{\rm{rel}}}} \cdot {m_{\rm{A}}}}}{\mu } \cdot \left[ {\left( {1 - \frac{{\mu  \cdot t}}{{{m_{\rm{A}}}}}} \right)\left( {\ln \left( {1 - \frac{{\mu  \cdot t}}{{{m_{\rm{A}}}}}} \right) - 1} \right) - 1 \cdot \left( {\ln \left( 1 \right) - 1} \right)} \right]\\ &=& \frac{{{v_{{\rm{rel}}}} \cdot {m_{\rm{A}}}}}{\mu } \cdot \left[ {\left( {1 - \frac{{\mu  \cdot t}}{{{m_{\rm{A}}}}}} \right) \cdot \ln \left( {1 - \frac{{\mu  \cdot t}}{{{m_{\rm{A}}}}}} \right) - \left( {1 - \frac{{\mu  \cdot t}}{{{m_{\rm{A}}}}}} \right) + 1} \right]\\ &=& \frac{{{v_{{\rm{rel}}}} \cdot {m_{\rm{A}}}}}{\mu } \cdot \left[ {\left( {1 - \frac{{\mu  \cdot t}}{{{m_{\rm{A}}}}}} \right) \cdot \ln \left( {1 - \frac{{\mu  \cdot t}}{{{m_{\rm{A}}}}}} \right) + \frac{{\mu  \cdot t}}{{{m_{\rm{A}}}}}} \right]\\ &=& \frac{{{v_{{\rm{rel}}}} \cdot {m_{\rm{A}}}}}{\mu } \cdot \left( {1 - \frac{{\mu  \cdot t}}{{{m_{\rm{A}}}}}} \right) \cdot \ln \left( {1 - \frac{{\mu  \cdot t}}{{{m_{\rm{A}}}}}} \right) + {v_{{\rm{rel}}}} \cdot t\\ &=& \frac{{{v_{{\rm{rel}}}} \cdot {m_{\rm{A}}}}}{\mu } \cdot \left( {\frac{{{m_{\rm{A}}} - \mu  \cdot t}}{{{m_{\rm{A}}}}}} \right) \cdot \ln \left( {\frac{{{m_{\rm{A}}} - \mu  \cdot t}}{{{m_{\rm{A}}}}}} \right) + {v_{{\rm{rel}}}} \cdot t\\ &=&  - \frac{{{v_{{\rm{rel}}}} \cdot \left( {{m_{\rm{A}}} - \mu  \cdot t} \right)}}{\mu } \cdot \ln \left( {\frac{{{m_{\rm{A}}}}}{{{m_{\rm{A}}} - \mu  \cdot t}}} \right) + {v_{{\rm{rel}}}} \cdot t\end{eqnarray}\]und hiermit für die Höhe \(h_{\rm{E}}\) am Ende der Brennphase\[{h_{\rm{E}}} = h({t_{\rm{E}}}) =  - \frac{{{v_{{\rm{rel}}}} \cdot {m_{\rm{E}}}}}{\mu } \cdot \ln \left( {\frac{{{m_{\rm{A}}}}}{{{m_{\rm{E}}}}}} \right) + {v_{{\rm{rel}}}} \cdot {t_{\rm{E}}}\]Für den Fall einer konstanten Gravitationskraft ergibt sich \(h(t)=- \frac{{{v_{{\rm{rel}}}} \cdot \left( {{m_{\rm{A}}} - \mu  \cdot t} \right)}}{\mu } \cdot \ln \left( {\frac{{{m_{\rm{A}}}}}{{{m_{\rm{A}}} - \mu  \cdot t}}} \right) + {v_{{\rm{rel}}}} \cdot t-\frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2\) und \({h_{\rm{E}}} = \frac{{{v_{{\rm{rel}}}} \cdot {m_{\rm{E}}}}}{\mu } \cdot \ln \left( {\frac{{{m_{\rm{A}}}}}{{{m_{\rm{E}}}}}} \right) + {v_{{\rm{rel}}}} \cdot {t_{\rm{E}}}-\frac{1}{2} \cdot g \cdot {t_{\rm{E}}}^2 \).

Abb. 5 zeigt das \(t\)-\(h\)-Diagramm der Bewegung einer Rakete mit \(v_{\rm{rel}}=2\,\rm{\frac{km}{s}}\), \(m_{\rm{A}}=13\,\rm{t} \), \(m_{\rm{E}}=4\,\rm{t} \) und \(t_{\rm{E}}=70\,\rm{s}\) sowohl ohne als auch mit Berücksichtigung einer konstanten Gravitationskraft mit \(g=9{,}81\,\rm{\frac{m}{s^2}}\).