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Grundwissen

Raketenphysik

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Hinweis: Im folgenden Artikel gehen die Betrachtungen teilweise deutlich über den Stoff der 10. Klasse hinaus. Diese Seite ist also nur für physikalisch sehr aufgeschlossene Schülerinnen und Schüler mit Ausdauer und guten Mathematikkenntnissen gedacht, die deutlich über den verbindlichen Stoff hinausschauen wollen. Wenn du nicht alles verstehst, brauchst du also kein schlechtes Gewissen zu haben. Für "Experten" aber eine Herausforderung!

Raketenprinzip

Für alle Arten der Fortbewegung gilt das gleiche Prinzip: Man stößt sich von einer bestimmten Materie ab. Betrachten Sie die Fortbewegung zu Lande, zu Wasser und in der Luft unter diesem Aspekt. Im Weltraum gibt es keine Materie von der man sich "abdrücken" könnte, daher muss diese Materie mitgeführt werden. In der Praxis stößt die Rakete meist heiße Gase mit hoher Geschwindigkeit aus und verliert dabei Masse. In der Massenveränderlichkeit eines Wechselwirkungspartners liegt der Unterschied zu den Problemen, die bisher mit dem Impulssatz behandelt wurden.

Raketengleichung von ZIOLKOWSKI

Ziel der folgenden Überlegungen ist, aus den technischen Daten einer Rakete berechnen zu können, welche Geschwindigkeit die Rakete am Ende der Treibstoffverbrennung besitzen wird; die Gleichung, die wir als Ergebnis erhalten, nennt man nach ihrem "Entdecker", dem russischen Physiker Konstantin Eduardowitsch ZIOLKOWSKI die Raketengleichung von ZIOLKOWSKI. Aus der hergeleiteten Formel lässt sich schließlich auch die Höhe berechnen, in der sich die Rakete nach dem Ausbrennen der Triebwerke befindet.

Obwohl eine Rakete ihren Treibstoff kontinuierlich ausstößt, betrachten wir zur Herleitung der Formel eine Rakete, die in kleinen Zeitspannen \(\Delta t\) kleine Treibstoffmengen \(\Delta m\) ausstößt; wir werden später unser Vorgehen genauer rechtfertigen, es führt aber auch zum exakten Ergebnis.

Der Vorgang eines solchen portionsweisen Treibstoffausstoßes soll von einem ruhenden Beobachter aus beschrieben werden. Dieser sieht zum Zeitpunkt \(t\) die Rakete mit der Masse \(m\) mit der Geschwindigkeit \(v\) nach rechts fliegen (wir rechnen nach rechts  gerichtete Geschwindigkeiten hier positiv). In der nun folgenden Zeitspanne \(\Delta t\) stößt die Rakete die kleine Menge \(\Delta m\) Treibstoff entgegen ihrer Bewegungsrichtung aus, wodurch sich die Masse der Rakete verringert, die Geschwindigkeit der Rakete dagegen zunimmt. Am Ende dieser Zeitspanne, d.h. zum Zeitpunkt \(t + \Delta t\), sieht der Beobachter nun die Rakete mit der Masse \(m - \Delta m\) mit der Geschwindigkeit  \(v+ \Delta v\) nach rechts fliegen, gleichzeitig aber auch den Treibstoff mit der Masse \(\Delta m\) mit einer gewissen Geschwindigkeit \(- v_{\rm{T}}\) nach links fliegen (wir rechnen deshalb diese Geschwindigkeit negativ). Die folgende Abbildung zeigt die oben beschriebene Situation.

Für die durch den Treibstoffausstoß verursachte Impulsänderung \(\Delta p\) gilt nun\[\begin{eqnarray}\Delta p &=& p(t + \Delta t) - p(t)\\ &=& \left[ {\left( {m - \Delta m} \right) \cdot \left( {v + \Delta v} \right) + \Delta m \cdot \left( { - {v_{\rm{T}}}} \right)} \right] - m \cdot v\\ &=& \left[ {m \cdot v + m \cdot \Delta v - \Delta m \cdot v - \Delta m \cdot \Delta v - \Delta m \cdot {v_{\rm{T}}}} \right] - m \cdot v\\ &=& m \cdot v + m \cdot \Delta v - \Delta m \cdot v - \Delta m \cdot \Delta v - \Delta m \cdot {v_{\rm{T}}} - m \cdot v\\ &=& m \cdot \Delta v - \Delta m \cdot v - \Delta m \cdot \Delta v - \Delta m \cdot {v_{\rm{T}}}\\ &=& m \cdot \Delta v - \Delta m \cdot \underbrace {\left( {v + \Delta v + {v_{\rm{T}}}} \right)}_{{v_{{\rm{rel}}}}} \quad(1)\end{eqnarray}\]Hierbei ist \(v_{\rm{rel}} = {v + \Delta v + {v_{\rm{T}}}}\) die Relativgeschwindigkeit, mit der die Rakete ihren Treibstoff ausstößt.

Nach der klassischen Formulierung \({F_{\rm{A}}} = \frac{{\Delta p}}{{\Delta t}}\) von NEWTONs 2. Axiom ergibt sich nun\[{F_{\rm{A}}} = \frac{{\Delta p}}{{\Delta t}} = \frac{{m \cdot \Delta v - \Delta m \cdot {v_{{\rm{rel}}}}}}{{\Delta t}} = m \cdot \frac{{\Delta v}}{{\Delta t}} - {v_{{\rm{rel}}}} \cdot \frac{{\Delta m}}{{\Delta t}}\]Lässt man nun \(\Delta t\) immer kleiner werden (und geht man somit vom portionsweisen Ausstoßen des Treibstoffs zum kontinuierlichen Ausstoß über), so kann man in obiger Beziehung die Differenzenquotienten \(\frac{{\Delta v}}{{\Delta t}}\) und \(\frac{{\Delta m}}{{\Delta t}}\) durch die Differentialquotienten \(\frac{{dv}}{{dt}}\) und \(\frac{{dm}}{{dt}}\) ersetzen. Daraus folgt dann\[{F_{\rm{A}}} = m \cdot \frac{{dv}}{{dt}} - {v_{{\rm{rel}}}} \cdot \frac{{dm}}{{dt}} \Leftrightarrow m \cdot \frac{{dv}}{{dt}} = {v_{{\rm{rel}}}} \cdot \frac{{dm}}{{dt}} + {F_{\rm{A}}} \quad(2)\]Nun bezeichnet man den (bei kontinuierlichem Treibstoffausstoß mit gleichbleibender Ausstoßgeschwindigkeit) konstanten Wert \({v_{{\rm{rel}}}} \cdot \frac{{dm}}{{dt}}\) als Schubkraft \({F_{{\rm{Schub}}}}\) der Rakete, d.h.\[{F_{{\rm{Schub}}}} = {v_{{\rm{rel}}}} \cdot \frac{{dm}}{{dt}} \quad(3)\]Damit wird \((2)\) zu\[m \cdot \frac{{dv}}{{dt}} = {F_{{\rm{Schub}}}} + {F_{\rm{A}}} \quad(4)\]Dies ist die Bewegungsgleichung der Rakete; sie hängt also von der Schubkraft und äußeren Kräften (z.B. Gravitationskräften) ab, die bei den vorangegangenen Betrachtungen außer Acht gelassen wurden.

Um Aussagen über die Brennschlussgeschwindigkeit \({v_{\rm{B}}} = v({t_{\rm{B}}})\) und die erreichbare Höhe \({h_B} = h({t_{\rm{B}}})\) zum Zeitpunkt \({t_{\rm{B}}}\) - der sogenannten Brennschlusszeit - machen zu können, muss man die Bewegungsgleichung integrieren. Dieses Verfahren lernt man üblicherweise erst im Mathematikunterricht der Oberstufe. Für die Integration werden die folgenden vereinfachenden Annahmen gemacht:

Der Treibstoff wird im Zeitintervall \(0 \le t \le {t_{\rm{B}}}\) ausgestoßen.

Die Relativgeschwindigkeit \({v_{{\rm{rel}}}}\) ist während der Brennzeit konstant.

Der sogenannte Massenstrom \(\frac{{dm}}{{dt}}\) der ausgestoßenen Gase ist konstant.

Nimmt man an, dass die Rakete nur eine Stufe hat und der Start im Gravitationsfeld der Erde stattfindet (\({F_{\rm{A}}} =  - m \cdot g\), Minuszeichen, da die Gravitationskraft der Schubkraft entgegenwirkt) und dass die Änderung der Fallbeschleunigung und der Luftwiderstandskraft vernachlässigt werden können, so ergibt sich durch Einsetzen und Umformen\[m \cdot \frac{{dv}}{{dt}} = {v_{{\rm{rel}}}} \cdot \frac{{dm}}{{dt}} - m \cdot g \Leftrightarrow \frac{{dv}}{{dt}} = {v_{{\rm{rel}}}} \cdot \frac{{dm}}{{m \cdot dt}} - g \Leftrightarrow dv = {v_{{\rm{rel}}}} \cdot \frac{{dm}}{m} - g \cdot dt\]Integriert man diese Gleichung, so folgt\[\int\limits_0^{{v_{\rm{B}}}} {dv}  = {v_{{\rm{rel}}}} \cdot \int\limits_{{m_{\rm{B}}}}^{{m_0}} {\frac{{dm}}{m}}  - g \cdot \int\limits_0^{{t_{\rm{B}}}} {dt} \]Dabei ist \({{m_0}}\) die Masse der vollgetankten Rakete beim Start und \({{m_{\rm{B}}}}\) die Masse der Rakete beim Brennschluss, also ohne den Treibstoff. Bestimmen der Stammfunktionen und Einsetzen der Grenzen liefert\[{v_{\rm{B}}} = {v_{{\rm{rel}}}} \cdot \ln \left( {\frac{{{m_0}}}{{{m_{\rm{B}}}}}} \right) - g \cdot {t_{\rm{B}}}\]die sogenannte Raketengleichung von ZIOLKOWSKI. Durch eine weitere Integration erhält man – jetzt ohne ausführliche Rechnung – die nach Brennschluss erreichte Höhe \({h_B}\)\[{h_B} = \frac{{{v_{{\rm{rel}}}} \cdot {m_{\rm{B}}}}}{{\frac{{dm}}{{dt}}}} \cdot \left[ {\frac{{{m_{\rm{B}}}}}{{{m_0}}} - 1 - \ln \left( {\frac{{{m_0}}}{{{m_{\rm{B}}}}}} \right)} \right] - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t_{\rm{B}}}^2\]

Raketenantrieb mittels Tabellenkalkulation

Die Modellrechnung mit dreimaligem Ausstoß kann man tabellarisch zusammenfassen:

N: Zahl der Ausstöße
m: Gesamtmasse (veränderlich!)
mA: Anfangsmasse der gesamten Rakete
Δv: Geschwindigkeitsänderung der Rakete beim Ausstoß
v: Geschwindigkeit der Rakete nach dem Ausstoß
N
m
Δv
v
0
mo = mA
---
v0 = 0
1
m1 = mo +Δm
\[\Delta {v_{10}} = \frac{{\Delta m}}{{{m_0}}} \cdot {v_{{\rm{rel}}}}\]
v1 = v0 +Δv10
2
m2 = m1 +Δm
\[\Delta {v_{21}} = \frac{{\Delta m}}{{{m_1}}} \cdot {v_{{\rm{rel}}}}\]
v2 = v1 +Δv21
3
m3 = m2 +Δm
\[\Delta {v_{32}} = \frac{{\Delta m}}{{{m_2}}} \cdot {v_{{\rm{rel}}}}\]
v3 = v2 +Δv32
Hieraus ergibt sich der folgende Algorithmus:
\[ m_\text{neu} = m_\text{alt} + \Delta m \]
 
\[ \Delta v = \frac{\Delta m}{m_\text{alt}} \cdot v_\text{rel} \]


Beachten Sie, das Vorzeichen von \[ \Delta m = \frac{m_\text{E} - m_\text{A}}{N} \]

\[ v_\text{neu} = v_\text{alt} + \Delta v \]

In dem folgenden Tabellenblatt kann man die Anfangsmasse mA und die Endmasse mE des gesamten Gefährts, die Zahl N der Ausstöße und die Relativgeschwindigkeit vrel vorgeben. Aus diesen Werten berechnet die Tabellenkalkulation dann jeweils die Geschwindigkeitszunahme Δv und die Geschwindigkeit der Rakete.

zum Tabellenblatt

a) Variieren Sie die Zahl N der Ausstöße bei festem mA, mE und vrel. Wie ändert sich durch den "verfeinerten" Ausstoß die Endgeschwindigkeit vB (Brennschlussgeschwindigkeit) des Wagens (der Rakete)?
b) Variieren Sie bei festem N, mA, und mE die Ausstoßgeschwindigkeit vrel und machen Sie eine Aussage über den Zusammenhang der Endgeschwindigkeit vB mit vrel.
c) Variieren Sie bei festem N, mA, und vrel die Masse mE. Welchen Einfluss hat die Verringerung von mE auf die Endgeschwindigkeit vB?
d) Fassen Sie die Ergebnisse der Teilaufgaben a-c zusammen und geben Sie eine Empfehlung, was man beim Bau einer Rakete beachten muss, wenn man eine möglichst hohe Endgeschwindigkeit erreichen will.
e)

Die Theorie besagt, dass die Endgeschwindigkeit einer einstufigen Rakete mit der unten angegebenen Beziehung berechenbar ist (Raketengleichung). Berechnen Sie die Endgeschwindigkeit vB mit obiger Formel für solche Werte, die Sie auch bei der Tabellenkalkulation verwendet haben und vergleichen Sie mit der Endgeschwindigkeit der Tabellenkalkulation für relativ hohe N (> 500). Hinweis ln bedeutet "Logarithmus naturalis" (Logarithmus zur Basis e). Diese Funktion finden Sie auf ihrem Taschenrechner.

Es gilt: \[ v_\text{B} = |v_\text{rel}| \cdot \ln \left( \frac{m_\text{A}}{m_\text{E}} \right) \]
Das Verhältnis \( m_\text{A} / m_\text{E}\) wird als Massenquotient Q bezeichnet