Auf einer horizontalen Ebene steht ein Mann auf einem Wagen, der reibungsfrei beweglich ist. Mann und Wagen haben zusammen die Masse \(m_{\rm{E}}\). Zusätzlich befinden sich auf dem Wagen \(N\) Pflastersteine (Treibstoff), so dass die Gesamtmasse \(m_{\rm{A}}\) ist. Der Mann wirft nun die Steine in horizontaler Richtung nach hinten, so dass die Relativgeschwindigkeit der Steine bezüglich des Wagens (der Rakete) \(v_{\rm{rel}}\) beträgt (Ausstoßgeschwindigkeit).
a)Leite einen Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit \(v_{\rm{rel}}\), der Geschwindigkeit \(v_{\rm{T}}\) des Geschosses nach dem "Stoß" und der Geschwindigkeit des Wagens (Rakete) \(v\) her.
b)Berechne die Geschwindigkeit \(v_1\) des Wagens nach dem ersten Ausstoß.
c)Berechne nun auch die Geschwindigkeiten des Wagens \(v_2\) und \(v_3\) nach dem zweiten und dritten Ausstoß.
d)Die Geschwindigkeitszunahme des Wagens nach dem 1. Ausstoß sei \(\Delta {v_{10}}\). Die Geschwindigkeitszunahme nach dem 2. Ausstoß \(\Delta {v_{21}}\), nach dem 3. Ausstoß \(\Delta {v_{32}}\).
Erläutere, warum die Geschwindigkeitszunahme der Rakete von Ausstoß zu Ausstoß immer größer wird.
Hinweis: Beachte hierbei, dass Geschwindigkeiten in +x-Richtung positiv, Geschwindigkeiten in -x-Richtung negativ gezählt werden.
b)1. Ausstoß
Der Wagen (die Rakete) bewegt sich vor dem 1. Ausstoß nicht: Wir bezeichnen mit
vT,1: Geschwindigkeit des Treibstoffes nach dem 1. Ausstoß
v0: Geschwindigkeit der Rakete zu Beginn (hier v0 = 0 m/s)
v1: Geschwindigkeit der Rakete nach dem 1. Ausstoß
ΔmT: ausgestoßene Treibstoffmasse
Δm: Änderung der Raketenmasse; Δm = -ΔmT
Da die Summe der Impulse vorher gleich der Summe der Impulse nachher sein muss, gilt\[{m_{\rm{A}}} \cdot {v_0} = \Delta {m_{\rm{T}}} \cdot {v_{{\rm{T}}{\rm{,1}}}} + \left( {{m_{\rm{A}}} + \Delta m} \right) \cdot {v_1}\]mit \((1)\) und \(\Delta {m_{\rm{T}}} = - \Delta m\) ergibt sich\[\begin{eqnarray}{m_{\rm{A}}} \cdot {v_0} &=& - \Delta m \cdot \left( {{v_{{\rm{rel}}}} + {v_1}} \right) + \left( {{m_{\rm{A}}} + \Delta m} \right) \cdot {v_1}\\{m_{\rm{A}}} \cdot \left( {{v_1} - {v_0}} \right) &=& \Delta m \cdot {v_{{\rm{rel}}}}\end{eqnarray}\]Bezeichnen wir die (relative) Geschwindigkeitsänderung \({{v_1} - {v_0}}\) mit \(\Delta {v_{10}}\), so ergibt sich\[\Delta {v_{10}} = \frac{{\Delta m}}{{{m_{\rm{A}}}}} \cdot {v_{{\rm{rel}}}} \Rightarrow \Delta {v_{10}} = \frac{{ - 50{\rm{kg}}}}{{250{\rm{kg}}}} \cdot \left( { - 10\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right) = 2,0\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
c)2. Ausstoß
\[\left( {{m_{\rm{A}}} + \Delta m} \right) \cdot {v_1} = \Delta {m_{\rm{T}}} \cdot {v_{{\rm{T}},2}} + \left( {{m_{\rm{A}}} + 2 \cdot \Delta m} \right) \cdot {v_2}\]Analog zum ersten Ausstoß ergibt sich\[\Delta {v_{21}} = \frac{{\Delta m}}{{{m_{\rm{A}}} + \Delta m}} \cdot {v_{{\rm{rel}}}} \Rightarrow \Delta {v_{21}} = \frac{{ - 50{\rm{kg}}}}{{200{\rm{kg}}}} \cdot \left( { - 10\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right) = 2,5\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]Da die Rakete vor dem Ausstoß schon die Geschwindigkeit 2,0 m/s besaß, hat sie nach dem 2. Ausstoß die Geschwindigkeit 4,5 m/s.
3. Ausstoß
Da auch hier die Summe der Impulse vorher gleich der Summe der Impulse nachher sein muss, gilt\[\left( {{m_{\rm{A}}} + 2 \cdot \Delta m} \right) \cdot {v_2} = \Delta {m_{\rm{T}}} \cdot {v_{{\rm{T}},3}} + \left( {{m_{\rm{A}}} + 3 \cdot \Delta m} \right) \cdot {v_3}\]und schließlich\[\Delta {v_{32}} = \frac{{\Delta m}}{{{m_{\rm{A}}} + 2 \cdot \Delta m}} \cdot {v_{{\rm{rel}}}} \Rightarrow \Delta {v_{32}} = \frac{{ - 50{\rm{kg}}}}{{150{\rm{kg}}}} \cdot \left( { - 10\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right) = 3,3\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]Da die Rakete vor dem Ausstoß schon die Geschwindigkeit 4,5 m/s besaß, hat sie nach dem 3. Ausstoß die Geschwindigkeit 7,8 m/s.
d)Der Geschwindigkeitszuwachs wird bei jedem Ausstoß größer, da die zu beschleunigende Masse des Wagens (der Rakete) abnimmt.
