Impulserhaltung und Stöße

Aufgabe

Zweistufige Rakete

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

**Abb. 1** Skizze einer zweistufigen Rakete

Mit der Raketengleichung \(v = \left| {{v_{{\rm{rel}}}}} \right| \cdot \ln \left( {\frac{{{m_{\rm{A}}}}}{{{m_E}}}} \right)\); \({\frac{{{m_{\rm{A}}}}}{{{m_E}}}}\) heißt Massenquotient Q lassen sich nun einige Überlegungen anstellen, die zu einem tieferen Verständnis der Raketenphysik führen.

Wie die ersten beiden Aufgaben zeigen, ist mit einstufigen Raketen das Erreichen einer stabilen Umlaufbahn kaum möglich. Die Lösung des Problems bringen mehrstufige Raketen. Sobald der Brennstoff der 1. Stufe aufgebraucht ist, wird diese abgesprengt; sie fällt zusammen mit ihren besonders schwergewichtigen Motoren ins Meer. Von diesem Ballast befreit arbeiten dann die Motoren der 2. Stufe wesentlich effektiver. Analoges gilt für eventuell zusätzliche Stufen.

Wir machen folgende vereinfachende Annahmen:

Die Masse des Raktenkörpers jeder Stufe beträgt \(10\%\) der entsprechenden Brennstoffmasse. Hinzu kommt noch eine gewisse Nutzlast.
Bei Brennschluss der 1. Stufe sei die Geschwindigkeit von \(4,5\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{s}}}\) erreicht, bei Brennschluss der 2. Stufe das Doppelte.
Jede Stufe verwendet den gleichen Brennstoff, die Ausstoßgeschwindigkeit betrage – nicht ganz realistisch - ca. \(3,7\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{s}}}\).
Die Startmasse sei \(50\rm{t}\).

Berechne für die erste Raketenstufe, wie viel Treibstoff in der Stufe zu befördern ist, die Masse der Stufe und die Nutzlast, die sie erreicht.

Berechne für die zweite Raketenstufe, wie viel Treibstoff in der Stufe zu befördern ist, die Masse der Stufe und die Nutzlast, die sie erreicht.

Stelle die Ergebnisse übersichtlich in einer Tabelle dar.

Lösung

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Vorlesen

Gegeben sind \({m_{{\rm{A}}{\rm{,1}}}} = {m_{\rm{A}}} = 50{\rm{t}}\) ; \({m_{{\rm{K}}{\rm{,1}}}} = 0,10 \cdot {m_{{\rm{T}}{\rm{,1}}}}\) ; \({m_{{\rm{A}}{\rm{,2}}}} = {m_{{\rm{L}}{\rm{,1}}}}\) ; \({m_{{\rm{K}}{\rm{,2}}}} = 0,10 \cdot {m_{{\rm{T}}{\rm{,2}}}}\) ; \({v_{{\rm{B}}{\rm{,2}}}} = 9,0\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{s}}}\); \({v_{{\rm{rel}}}} = 3,7\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{s}}}\)

1. Stufe

\[{v_{{\rm{B}}{\rm{,1}}}} = {v_{{\rm{rel}}}} \cdot \ln \left( {{Q_1}} \right) \Leftrightarrow \ln \left( {{Q_1}} \right) = \frac{{{v_{{\rm{B}}{\rm{,1}}}}}}{{{v_{{\rm{rel}}}}}} \Leftrightarrow {Q_1} = {e^{\frac{{{v_{{\rm{B}}{\rm{,1}}}}}}{{{v_{{\rm{rel}}}}}}}} \Rightarrow {Q_1} = {e^{\frac{{4,5\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{s}}}}}{{3,7\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{s}}}}}}} = 3,4\] \[{Q_1} = \frac{{{m_{{\rm{A}}{\rm{,1}}}}}}{{{m_{{\rm{E}}{\rm{,1}}}}}} = \frac{{{m_{\rm{A}}}}}{{{m_{{\rm{E}}{\rm{,1}}}}}} = \frac{{{m_{{\rm{T}}{\rm{,1}}}} + {m_{{\rm{K}}{\rm{,1}}}} + {m_{{\rm{L}}{\rm{,1}}}}}}{{{m_{{\rm{K}}{\rm{,1}}}} + {m_{{\rm{L}}{\rm{,1}}}}}} \Leftrightarrow {m_{{\rm{K}}{\rm{,1}}}} + {m_{{\rm{L}}{\rm{,1}}}} = \frac{{{m_{\rm{A}}}}}{{{Q_1}}}\] Einsetzen der gegebenen Werte liefert \[{m_{{\rm{K}}{\rm{,1}}}} + {m_{{\rm{L}}{\rm{,1}}}} = \frac{{50{\rm{t}}}}{{3,4}} = 15{\rm{t}}\] Damit erhält man \[{m_{\rm{A}}} = {m_{{\rm{T}}{\rm{,1}}}} + {m_{{\rm{K}}{\rm{,1}}}} + {m_{{\rm{L}}{\rm{,1}}}} \Leftrightarrow {m_{{\rm{T}}{\rm{,1}}}} = {m_{\rm{A}}} - \left( {{m_{{\rm{K}}{\rm{,1}}}} + {m_{{\rm{L}}{\rm{,1}}}}} \right) \Rightarrow {m_{{\rm{T}}{\rm{,1}}}} = 50{\rm{t}} - 15{\rm{t}} = 35{\rm{t}}\]
\[{m_{{\rm{K}}{\rm{,1}}}} = 0,10 \cdot {m_{{\rm{T}}{\rm{,1}}}} \Rightarrow {m_{{\rm{K}}{\rm{,1}}}} = 0,10 \cdot 35{\rm{t}} = 3,5{\rm{t}}\]
\[{m_{\rm{A}}} = {m_{{\rm{T}}{\rm{,1}}}} + {m_{{\rm{K}}{\rm{,1}}}} + {m_{{\rm{L}}{\rm{,1}}}} \Leftrightarrow {m_{{\rm{L}}{\rm{,1}}}} = {m_{\rm{A}}} - \left( {{m_{{\rm{T}}{\rm{,1}}}} + {m_{{\rm{K}}{\rm{,1}}}}} \right) \Rightarrow {m_{{\rm{L}}{\rm{,1}}}} = 50{\rm{t}} - \left( {35{\rm{t}} + 3,5{\rm{t}}} \right) = 11,5{\rm{t}}\]

2. Stufe

\[{v_{{\rm{B}}{\rm{,2}}}}^* = {v_{{\rm{rel}}}} \cdot \ln \left( {{Q_2}} \right) \Leftrightarrow \ln \left( {{Q_2}} \right) = \frac{{{v_{{\rm{B}}{\rm{,2}}}}^*}}{{{v_{{\rm{rel}}}}}} \Leftrightarrow {Q_2} = {e^{\frac{{{v_{{\rm{B}}{\rm{,2}}}}^*}}{{{v_{{\rm{rel}}}}}}}} \Rightarrow {Q_2} = {e^{\frac{{4,5\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{s}}}}}{{3,7\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{s}}}}}}} = 3,4\] Dabei ist \({v_{{\rm{B}}{\rm{,2}}}}^*\) die Brennschlussgeschwindigkeit in einem System, in dem die 2. Stufe zu Beginn ruht. Es ergibt sich \[{Q_2} = \frac{{{m_{{\rm{A}}{\rm{,2}}}}}}{{{m_{{\rm{E}}{\rm{,2}}}}}} = \frac{{{m_{{\rm{L}}{\rm{,1}}}}}}{{{m_{{\rm{K}}{\rm{,2}}}} + {m_{{\rm{L}}{\rm{,2}}}}}} \Leftrightarrow {m_{{\rm{K}}{\rm{,2}}}} + {m_{{\rm{L}}{\rm{,2}}}} = \frac{{{m_{{\rm{L}}{\rm{,1}}}}}}{{{Q_2}}}\] Einsetzen der gegebenen Werte liefert \[{m_{{\rm{K}}{\rm{,2}}}} + {m_{{\rm{L}}{\rm{,2}}}} = \frac{{11,5{\rm{t}}}}{{3,4}} = 3,4{\rm{t}}\] Damit erhält man \[{m_{{\rm{L}}{\rm{,1}}}} = {m_{{\rm{T}}{\rm{,2}}}} + {m_{{\rm{K}}{\rm{,2}}}} + {m_{{\rm{L}}{\rm{,2}}}} \Leftrightarrow {m_{{\rm{T}}{\rm{,2}}}} = {m_{{\rm{L}}{\rm{,1}}}} - \left( {{m_{{\rm{K}}{\rm{,2}}}} + {m_{{\rm{L}}{\rm{,2}}}}} \right) \Rightarrow {m_{{\rm{T}}{\rm{,2}}}} = 11,5{\rm{t}} - 3,4{\rm{t}} = 8,1{\rm{t}}\]
\[{m_{{\rm{K}}{\rm{,2}}}} = 0,10 \cdot {m_{{\rm{T}}{\rm{,2}}}} \Rightarrow {m_{{\rm{K}}{\rm{,2}}}} = 0,10 \cdot 8,1{\rm{t}} = 0,81{\rm{t}}\]
\[{m_{{\rm{L}}{\rm{,1}}}} = {m_{{\rm{T}}{\rm{,2}}}} + {m_{{\rm{K}}{\rm{,2}}}} + {m_{{\rm{L}}{\rm{,2}}}} \Leftrightarrow {m_{{\rm{L}}{\rm{,2}}}} = {m_{{\rm{L}}{\rm{,1}}}} - \left( {{m_{{\rm{T}}{\rm{,2}}}} + {m_{{\rm{K}}{\rm{,2}}}}} \right) \Rightarrow {m_{{\rm{L}}{\rm{,2}}}} = 11,5{\rm{t}} - \left( {8,1{\rm{t}} + 0,81{\rm{t}}} \right) = 2,6{\rm{t}}\]

	1. Stufe	2. Stufe	Summe
Treibstoff in \(\rm{t}\)	\(35,0\)	\(8,1\)	\(43,1\)
Raketenkörper in \(\rm{t}\)	\(3,5\)	\(0,8\)	\(4,3\)
Nutzlast in \(\rm{t}\)	---	\(2,6\)	\(2,6\)
Summe in \(\rm{t}\)	\(38,5\)	\(11,5\)	\(50,0\)