Impulserhaltung und Stöße

1. Stufe: \[{m_{{\rm{A}}{\rm{,1}}}} = 229{\rm{t}} + 17,7{\rm{t}} + 34,9{\rm{t}} + 3,7{\rm{t}} + 10,5{\rm{t}} + 1,25{\rm{t}} + 0,527{\rm{t}} + 0,440{\rm{t}} + 1,98{\rm{t}} = 300{\rm{t}}\] \[{m_{{\rm{E}}{\rm{,1}}}} = 300{\rm{t}} - 229{\rm{t}} = 71{\rm{t}}\] Damit ergibt sich \[{Q_1} = \frac{{{m_{{\rm{A}}{\rm{,1}}}}}}{{{m_{{\rm{E}}{\rm{,1}}}}}} = \frac{{300{\rm{t}}}}{{71{\rm{t}}}} = 4,23\] \[{F_{{\rm{Schub}}{\rm{,1}}}} = {v_{{\rm{rel}}{\rm{,1}}}} \cdot \frac{{\Delta {m_{{\rm{T}}{\rm{,1}}}}}}{{\Delta {t_1}}} \Leftrightarrow {v_{{\rm{rel}}{\rm{,1}}}} = \frac{{{F_{{\rm{Schub}}{\rm{,1}}}} \cdot \Delta {t_1}}}{{\Delta {m_{{\rm{T}}{\rm{,1}}}}}} \Rightarrow {v_{{\rm{rel}}{\rm{,1}}}} = \frac{{4 \cdot 677 \cdot {{10}^3}{\rm{N}} \cdot 206{\rm{s}}}}{{229 \cdot {{10}^3}{\rm{kg}}}} = 2,44\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{s}}}\] \[{v_{\rm{B},1}} = {v_{{\rm{rel}}{\rm{,1}}}} \cdot \ln \left( {{Q_1}} \right) \Rightarrow {v_{\rm{B},1}} = 2,44\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{s}}} \cdot \ln \left( {4,23} \right) = 3,51\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{s}}}\]

2. Stufe: \[{m_{{\rm{A}}{\rm{,2}}}} = 300{\rm{t}} - \left( {229{\rm{t}} + 17,7{\rm{t}}} \right) = 53,3{\rm{t}}\] \[{m_{{\rm{E}}{\rm{,2}}}} = 53,3{\rm{t}} - 34,9{\rm{t}} = 18,4{\rm{t}}\] Damit ergibt sich \[{Q_2} = \frac{{{m_{{\rm{A}}{\rm{,2}}}}}}{{{m_{{\rm{E}}{\rm{,2}}}}}} = \frac{{53,3{\rm{t}}}}{{18,4{\rm{t}}}} = 2,90\] \[{F_{{\rm{Schub}}{\rm{,2}}}} = {v_{{\rm{rel}}{\rm{,2}}}} \cdot \frac{{\Delta {m_{{\rm{T}}{\rm{,2}}}}}}{{\Delta {t_2}}} \Leftrightarrow {v_{{\rm{rel}}{\rm{,2}}}} = \frac{{{F_{{\rm{Schub}}{\rm{,2}}}} \cdot \Delta {t_2}}}{{\Delta {m_{{\rm{T}}{\rm{,2}}}}}} \Rightarrow {v_{{\rm{rel}}{\rm{,2}}}} = \frac{{768 \cdot {{10}^3}{\rm{N}} \cdot 124{\rm{s}}}}{{34,9 \cdot {{10}^3}{\rm{kg}}}} = 2,73\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{s}}}\] \[{v_{\rm{B},2}} = {v_{{\rm{rel}}{\rm{,2}}}} \cdot \ln \left( {{Q_2}} \right) \Rightarrow {v_{\rm{B},2}} = 2,73\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{s}}} \cdot \ln \left( {2,90} \right) = 2,89\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{s}}}\]

3. Stufe: \[{m_{{\rm{A}}{\rm{,3}}}} = 53,3{\rm{t}} - \left( {34,9{\rm{t}} + 3,7{\rm{t}}} \right) = 14,7{\rm{t}}\] \[{m_{{\rm{E}}{\rm{,3}}}} = 14,7{\rm{t}} - 10,5{\rm{t}} = 4,2{\rm{t}}\] Damit ergibt sich \[{Q_3} = \frac{{{m_{{\rm{A}}{\rm{,3}}}}}}{{{m_{{\rm{E}}{\rm{,3}}}}}} = \frac{{14,7{\rm{t}}}}{{4,2{\rm{t}}}} = 3,50\] \[{F_{{\rm{Schub}}{\rm{,3}}}} = {v_{{\rm{rel}}{\rm{,3}}}} \cdot \frac{{\Delta {m_{{\rm{T}}{\rm{,3}}}}}}{{\Delta {t_3}}} \Leftrightarrow {v_{{\rm{rel}}{\rm{,3}}}} = \frac{{{F_{{\rm{Schub}}{\rm{,3}}}} \cdot \Delta {t_3}}}{{\Delta {m_{{\rm{T}}{\rm{,3}}}}}} \Rightarrow {v_{{\rm{rel}}{\rm{,3}}}} = \frac{{62 \cdot {{10}^3}{\rm{N}} \cdot 725{\rm{s}}}}{{10,5 \cdot {{10}^3}{\rm{kg}}}} = 4,28\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{s}}}\] \[{v_{\rm{B},3}} = {v_{{\rm{rel}}{\rm{,3}}}} \cdot \ln \left( {{Q_3}} \right) \Rightarrow {v_{\rm{B},3}} = 4,28\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{s}}} \cdot \ln \left( {3,50} \right) = 5,35\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{s}}}\]

Damit ergibt sich die Endgeschwindigkeit der Rakete zu \[{v_{{\rm{B}}{\rm{,ges}}}} = {v_{{\rm{B}}{\rm{,1}}}} + {v_{{\rm{B}}{\rm{,2}}}} + {v_{{\rm{B}}{\rm{,3}}}} \Rightarrow {v_{{\rm{B}}{\rm{,ges}}}} = 3,51\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{s}}} + 2,89\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{s}}} + 5,35\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{s}}} = 11,8\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{s}}}\]